定积分概念与性质

1、定积分,定积分概念与性质,分割,取近似,求和,取极限,2.变速直线运动的路程,（1）分割,（2）取近似,(3)求和,（4）取极限,二.定积分的定义,1.定义,曲边梯形的面积,变速运动的路程,定理1. 设f(x)在区间a,b上有界,且有有限个第一类间断点,则f(x)在a,b上可积.,注,(1)定积分是一个数值,与被积函数有关。,(2)定积分的值与区间的分法无关,2.定积分存在的充分条件,(3)定积分的值只与区间长度有关，,与 的取法无关,3.定积分的几何意义,例1 利用定积分的定义计算,三.定积分的性质,对于c在区间 a,b之内或之外, 结论同样成立,几何解释： 在a,b上至少存在一点,使曲边梯

2、形的面积等 于以 为高的一个矩形面积,定积分与原函数的关系,一.变上限的定积分及其导数,定理表明: (1)连续函数一定存在原函数 (2) 把定积分与原函数之间 建立起联系,二.牛顿-莱布尼兹公式,第四节 定积分的换元积分法与分布积分法,一.定积分的换元积分法,注意: 换元的同时一定要换限,二.定积分的分布积分法,定积分应用,定积分的微元分析法,用定积分表示的量U必须具备三个特征 :,一 . 能用定积分表示的量所必须具备的特征,(3) 部分量 的近似值可表示为,二 .微元分析法,则U相应地分成许多部分量;,用定积分表示量U的基本步骤:,(1) U是与一个变量x的变化区间a,b有关的量;,(2)

3、U 对于区间a,b具有可加性.,即如果把区a,b 分成许多部分区间,根据问题的具体情况,选取一个变量,(2) 在区间a,b内任取一个小区间 ,求出相应于这个小区间的部分量 的近似值.,在 处的值 与 的乘积,就把 称为量U的微元且记作 ,即,如果 能近似地表示为a,b上的一个连续函数,例如x为积分变量,并确定其变化区间a,b;,(3) 以所求量U的微元 为被积表达式,在区间a,b上作定积分,得,平面图形的面积,一 直角坐标情形,1 . 曲边梯形,当f(x)在a,b上连续时,由曲线y=f(x)和x=a,x=b及x轴,所围成的曲边梯形面积就是,2. 一般图形,以及两条直线x=a,x=b之间的图形的

4、面积微元为,如果函数 在a,b上连续,且,则介于两条曲线,注意:根据具体的图形特点,也可以选择作为积分变量或者利用图形的对称性简化计算.,例1 求椭圆的面积(如图).,解 由对称性,椭圆的面积,则图形的面积为,则,例2 求由,所围图形面积.,解 两抛物线的交点为(0,0)及(1,1).,取x为积分变量,其变化区间为0,1.由前面讨论可知:,例3 求由,所围图形面积.,解 两曲线的交点为(2,-2)及(8,4).,根据此图形特点,可以选择y作为积分变量,其变化区间为-2,4.,图形的面积微元为:,从而可得图形面积,二. 极坐标情形,1. 曲边扇形,其中r()在 ,上连续,且r()0.,相应于,

5、+d的面积微元为,则图形面积为,设图形由曲线r=r()及射线=, =所围成.,取为积分变量,其变化区间为 ,2. 一般图形,及射线=, =所围图形的面积微元为,则面积为,相应于从 0到2的一段弧与极轴所围图形的面积.,解 如图,可视为=0, = 2及r=a 围成的曲边扇形.则其面积为,由曲线,例4 求阿基米德螺线r=a(a0)上,例5 求r=1与r=1+cos所围公共面积.,解 如图,曲线交点为,由对称性,则,而,三. 参数方程情形,当曲边梯形的曲边为参数方x=(t),y=(t) ,且()=a, ()=b,在,上(t)有连续导数, (t)连续,则曲边梯形面积面积为,在例1中,若采用椭圆的参数方

6、程,则,立体的体积,一. 平行截面面积已知的立体体积,点x且垂直于x 轴的截面面积.,如图,体积微元为dV=A(x)dx, 则体积为,例1 如图,从圆柱体上截下一块楔形体,求其体积.,取x为积分变量,其变化范围为a,b.,设立体介于x=a,x=b之间,A(x)表示过,则,边长分别为y和ytan .因此,如图,过x的截面是直角三角形,解,高为h的正劈锥体的体积.,底边长为2y,高为h.因此,则,过x的截面是等腰三角形,解 如图,例2 求以圆为底,平行且等于底圆直径的线段为顶,称为旋转体.,则如前所述,可求得截面面积,二. 旋转体的体积,则,平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体,设旋转体由

7、图1的曲边梯形绕x轴形成.,图1,同理,如旋转体由图2的曲边梯形绕y轴形成.,例3 求如图直角三角形绕x轴旋转而成的圆锥体的体积.,解 可求得过点O及P(h,r)的直线方程为,由公式得,则体积为,图2,图3,例4 求星形线,绕x轴旋转而成的立体体积,解 由对称性及公式,例5 求圆心在(b,0),半径为a(ba)的圆绕y轴旋转而成的环状体的体积.,解 圆的方程为,则所求体积可视为,曲边梯形绕y轴旋转而成的旋转体的体积之差.,分别与直线y=-a,y=a及y轴所围成的,则,例 证明：由平面图形,绕 轴旋转所成的旋转体的体积为,柱壳法就是把旋转体看成是以y 轴为中心轴的 一系列圆柱形薄壳组成的，,即为

8、圆柱薄壳,当dx很小时，此小柱体的高看作f（x），,以此柱壳的体积作为体积元素，,在区间 上,柱壳体的体积元素为,平面曲线的弧长,光滑曲线可应用定积分求弧长.,若函数y=f(x)的导函数在区间a,b上连续,则称曲线y=f(x)为区间a,b上的光滑曲线,一.直角坐标情形,设光滑曲线方程:,可用相应的切线段近似代替.即,则弧长微元(弧微分),故弧长为,取x为积分变量,变化区间为a,b.,a,b内任意小区间x, x +d x的一段弧长,例1 求曲线,相应于x从a到b的一段弧长.,解,例2 求,的全弧长.,解 y=y(x)的定义域为,故弧长为:,二. 参数方程情形,设光滑曲线方程:,弧长微元,则如前所

9、述,例4 求星形线,的弧长.,解 由对称性及公式,例4 求阿基米德螺线r=a(a0)上 相应于从0到2的一段弧长.,解,三. 极坐标情形,设曲线方程:r=r() (). 化为参数方程:,则,定积分的物理应用,一. 变力沿直线作功,若物体在常力F作用下沿F方向移动s距离,.,由x=a移到x=b,可用微元法解决做功问题.,dW=F(x)dx,则,则W=Fs,若物体在变力F(x)作用下沿力的方向,取x为积分变量,变化区间为a,b.,相应于任意小区间x,x+dx的功的微元,例1 设9.8牛顿的力能使弹簧伸长1厘米,解,从而,由公式,(焦耳),例2 形如圆锥台的水桶内盛满了水(如图),解 设想将水分成许

10、多薄层,问将全部水吸出需作多少功?,(水比重为9800牛顿/立方米),求伸长10厘米需作多少功?,所以k=980.,F=9.8牛顿,而x=0.01米时,已知 F=kx,F=980 x.,吸出各层水所作的功的总和即为所求.,取x为积分变量,变化区间为,则,例3 一桶水重10kg,由一条线密度0.1kg/m的,因此功的微元,吸出这层水的位移近似于x.,的薄层水近似于圆柱,0,2.相应于任意小区间x,x+dx,绳子系着,将它从20m深的井里提上来需作多少功?,解 将水桶从井里提上来所作的功为,将绳子从井里提上来所作的功,则所作的总功为,即变力沿直线作的功为,二. 静液压力,设有一面积为A的平板,水平

11、放置在液体下深度h处,则平板一侧所受压力为 N=hA. (为液体比重),则平板一侧所受压力须用微元法解决.,取x为积分变量,变化区间为a,b.,近似于水深x处水平放置的 长方形窄条所受的压力.,相应于x,x+dx的窄条所受到的压力,如果平板垂直放置在液体下,以如图曲边梯形为例:,则压力微元为dN= xydx= xf(x)dx,因此整个平板所受压力为,例4 一个横放的半径为R的圆柱形油桶内有半桶油(比重),求一个端面所受的压力.,解 由对称性,从而转化为上述曲边梯形情形,即,例5 求如图的等腰梯形水闸门一侧所受的压力.,解 由对称性,也可转化为曲边梯形情形,曲边为,则压力为,三. 引力,由万有引力定律,两质点之间的引力为,若要计算细棒对质点的引力,须用微元法解决.,例6 设有质量为M,长度为l的均匀细杆,任意小段x,x+dx近似于质点,且质量为,则引力微元为,另有一质量为m的质点位于同一直线上,且到杆的近段距离为a,求