定积分在几何上的应用体积、弧长_第1页
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文档简介

1、1. 平行截面面积为已知的立体体积,二、立体的体积,2. 旋转体的体积,A(x),x,a,b,1. 平行截面面积为已知的立体体积,x+dx,解,取坐标系如图，,例1,底圆方程为,体积,截面面积,思考: 可否选择 y 作积分变量 ?,此时截面面积是什么 ?,如何用定积分表示体积 ?,提示:,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,一平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周,圆柱,圆锥,圆台,2. 旋转体的体积,而成的立体称为旋转体定直线称为旋转轴,则旋转体的体积为,注意：该积分公式的适用条件,体积为,解,直线 方程为,例3,x,例4. 计算由椭圆,所围图形绕 x 轴旋转而,转而成的椭球体的

2、体积.,解: 方法1 利用直角坐标方程,则,(利用对称性),方法2 利用椭圆参数方程,则,特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积,解,例 5,y 处的截面面积,注意：该积分公式的适用条件,解,例7. 计算由摆线 一拱 与x轴 所围的图形绕 y轴旋转而成的立体体积.,解,(柱壳法),利用这个公式，可知上 例6 中,解,常见错误,截面是环面,例 8,旋转轴不是坐标轴的情形:,已知平行截面面面积已知的立体体积,旋转体的体积,绕 x 轴 :,绕 y 轴 :,(柱壳法),小结：,三、平面曲线的弧长,1. 平面曲线的弧长的概念,直角坐标情形,极坐标情形,参数方程情形,2. 平面曲线的弧长的计算公式,1. 平面曲线的弧长的概念,定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.,弧长微元,弧长,2. 平面曲线的弧长计算公式,(1) 曲线方程为直角坐标表示,注： 上限大于下限,曲线弧为,弧长,2.曲线方程为参数表示,曲线弧为,弧长,3.曲线方程为极坐标表示,注意：,解,所求弧长为,例2.,解,例3. 计算摆线,一拱,的弧长 .,解:,例4. 求阿基米德螺线,相应于 02,一段的弧长 .,解:,例5. 求连续曲线段,解:,的弧长.,解,平面曲线弧长的概念,直角坐标系下,参数方程情形下,极坐标系下,弧微分,弧长的公式,小 结,作 业 P258 习题5-2 计算体积：(A) 8(1

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