复变函数留数.ppt

1、a,1,第五章 留数,1 留数的概念与计算 2 用留数定理计算实积分 3 辐角原理与儒歇定理,a,2,1留数的概念与计算,1、留数的定义与留数定理,a,3,a,4,定义5.1 设 以 为孤立奇点，即 在 的去心邻域 内解析，则称积分 为 在点 的留数（Residue）记为：,a,5,定理6.1 （柯西留数定理） 在围线或复围线 所范围的区域 内，除 外解析，在闭域 上除 外连续，则,a,6,a,7,证：作圆周 使全含于 内且两两不相交，则由柯西积分定理,注：留数定理：求积分转化为求留数；将积分 问题转化为代数问题，即求洛朗展式的负一次 幂的系数问题,a,8,2、留数的求法 求函数在奇点a处的留

2、数即求它在以z0为中心的圆环域内洛朗级数中c-1(z-a)-1项的系数即可. 如果a是f(z)的可去奇点, 则Resf(z),a=0, 如果a是本性奇点, 则没有太好的办法, 只好将其按洛朗级数展开。 如果a是极点, 则有一些对求c-1有用的规则.,a,9,留数的计算规则 规则1 如果a为f(z)的一级极点, 则,规则2 如果a为f(z)的m级极点, 则,a,10,事实上, 由于 f(z)=c-m(z-a)-m+.+c-2(z-a)-2+c-1(z-a)-1 +c0+c1(z-a)+., (z-a)mf(z)=c-m+c-m+1(z-a)+. +c-1(z-a)m-1+c0(z-a)m+.,令

3、两端za, 右端的极限是(m-1)!c-1, 两端除以(m-1)!就是Resf(z),a, 因此即得(5.2), 当m=1时就是(5.1),a,11,a,12,a,13,由规则1, 得,a,14,我们也可以用规则III来求留数:,这比用规则1要简单些.,a,15,a,16,a,17,a,18,a,19,例4 计算,解： 在圆周 的内部只有一级极点 及二级极点,a,20,而 由残数定理，得,a,21,例5 计算,解： 只以 为一级极点，而,a,22,由留数定理得,a,23,3、无穷远点的留数(略）,定义5.2 设 为 的一个孤立奇点，则称 为 在 的留数。记为：,a,24,定理5.2 若 在扩充

4、 平面上只有有限个孤立奇点，设为 则留数总和为0,a,25,计算 的残数的方法：,a,26,例6.5 计算,a,27,解：共有七个奇点： 前6个根均在 内部，故,a,28,而 故 。从而,a,29,2 用留数定理计算实积分,a,30,利用留数计算定积分是复变函数一个重要应用。 1、被积函数-与某解析函数相关 2、积分区域-化为某闭合路径 考虑如下几种形式的定积分 一、计算 其中R为 cos , sin有理函数，并且在0, 2上连续。,a,31,若 R(cosq,sinq)为cosq与sinq的有理函数. 可令 z=eiq, 则dz=ieiqdq,a,32,f(z)是z的有理函数, 且在单位圆周

5、|z|=1上分母不为零(没有奇点）, 根据留数定理有,其中zk(k=1,2,.,n)为单位圆|z|=1内的f(z)的孤立奇 点.,a,33,例1 计算,解 由于0p1, 被积函数的分母在0q2p内不为零, 因而积分是有意义的. 由于 cos2q=(e2iq+e-2iq)/2=(z2+z-2)/2, 因此,a,34,在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只有前两个在圆周|z|=1内, 其中z=0为二级极点, z=p为一级极点.,a,35,a,36,a,37,a,38,a,39,若R(cos,sin)为的偶函数，还可以求如下形式的积分,a,40,例3：计算积分 解：因为积分号下的函数是x的偶函数

6、 则,命,a,41,设 ，则,a,42,a,43,a,44,取积分路线如图所示, 其中CR是以原点为中心, R为半径的在上半平面的半圆周. 取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.,CR,a,45,此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.,a,46,a,47,a,48,a,49,3. 形如 的积分,当R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次, 且R(x)在实数轴上没有奇点时, 积分是存在的。 像2中处理的一样, 由于m-n1, 故对充分大的|z|有,z1,z2,z3,y,-R,R,O,x,CR,a,50,因此, 在半径R充分大的CR上, 有,a

7、,51,a,52,a,53,a,54,课堂练习：,a,55,a,56,4、杂例,a,57,-R,R,r,-r,Cr,CR,C,a,58,a,59,a,60,CR,a,61,a,62,作业：P164 1,2，15（1）（5）,a,63,3 辐角原理与儒歇定理,许多的数学物理问题都可以归结为其特征方程的根的分布，或者特征多项式的零点分布问题（线性系统），如二次方程的分类（微分方程、代数方程），工程控制中的微分方程的稳定性问题，对数留数给我们提供了一个好方法。 一、对数留数 称积分 为f(z)的对数留数 ，这种称呼，并不严格，其中 C为一围线。,a,64,计算（1）自然用到留数定理，首先，分析被积函

8、数的奇点，显然，f(z)的零点和奇点都可能是 的奇点。 引理6.4 （1）设 为 的 级零点，则 必 为函数 的一级极点，且,a,65,（2）设 为 的 级极点， 则 必为函数 的一级极点。且,a,66,a,67,证：（1）若 为 的 级零点，则有 其中 解析，且 于是,a,68,因右端第二式解析，故 为 的 一级极点，且（1）式成立。,a,69,定理6.9 设 是一条围线， 满足： （1） 在 的内部除可能有极点外是解析的。 （2） 在 上解析且不为零。 则有,a,70,辐角原理 在定理6.9的条件下，有,a,71,定理6.10（儒歇定理） 设 是一条围线，函数 及 满足： （1） 它们在内部均解析，且连续到 （2） 在 上， 则,a,72,例6.13 设 次多项式 合条件 则 在单位圆 内有 个零点。,a,73,证： 取 易验证在单位圆周上，有,a,74,依儒歇定理知 在单位圆内的零点，与 在单位圆一样多，即 个。,a,75,例6.14 试证：当 时，方