分析动力学基础及运动方程的建立

1、第 二 章 分析动力学基础及运动方程的建立,基本概念,广义坐标： 能决定质点系几何位置的彼此独立的量 动力自由度：结构体系在任意瞬时的一切可能的弹性变形中,决定全部质量位置所需的独立参数的数目,有势力： （1）每一个力的大小和方向只决定于体系所有各质点的位置。 （2）体系从某一位置Ai移动到另一位置Bi(i=1,2,N;N为质点数目），各力所做的功之和只决定于位置Ai和Bi，而与各质点运动的路径无关。 势能：体系从位置Ai移至Bi过程中各力所作的功之和。,基本概念,广义坐标： 能决定质点系几何位置的彼此独立的量 动力自由度：结构体系在任意瞬时的一切可能的弹性变形中,决定全部质量位置所需的独立参

2、数的数目,有势力： （1）每一个力的大小和方向只决定于体系所有各质点的位置。 （2）体系从某一位置Ai移动到另一位置Bi(i=1,2,N;N为质点数目），各力所做的功之和只决定于位置Ai和Bi，而与各质点运动的路径无关。 势能：体系从位置Ai移至Bi过程中各力所作的功之和。,基本概念,可能位移：满足所有约束方程的位移称为体系的可能位移。 实位移：如果位移不仅满足约束方程，而且满足运动方程和初始条件，则称为体系的实位移。,虚位移：在某一固定时刻，体系在约束许可的情况下可能产生的任意微小位移，称为体系的虚位移。 广义力 惯性力：当物体的运动状态改变时，惯性将反抗运动的改变，提供一种反抗物体运动状态

3、改变的力。这种力被称为惯性力。,表征结构动力响应特性的一些固有量称为结构的动力特性，又称自振特性。,定义,结构的动力响应,结构的动力特性与结构的质量、刚度、阻尼及其分布有关。,定义,结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动，这种振动称为结构的自由振动。 如果结构在振动过程中不断地受到外部干扰力作用，这种振动称为结构的强迫振动，又称受迫振动 。,结构的自由振动与受迫振动,固有频率,质点在运动过程中完成一个完整的循环所需要的时间称为周期，单位时间内完成的循环次数称为频率。 结构在自由振动时的频率称为结构的自振频率或固有频率。 对大部分工程结构，结构的自振频率的个数与结构的动力自由度数相等。

4、 结构的自振频率与结构的质量和刚度有关。,阻尼,结构在振动过程中的能量耗散作用称为阻尼。 结构的自由振动会因为阻尼作用而随时间衰减并最终停止。 由于阻尼而使振动衰减的结构系统称为有阻尼系统。 阻尼原因复杂：内摩擦、连接摩擦、周围介质阻力等。,承受动力荷载的结构体系的主要物理特性：,质量m = 结构的惯性； 弹簧k = 结构的刚度； 阻尼器c = 结构的能量耗散.,质量、弹性特性、阻尼特性、外荷载,在最简单的单自由度体系模型中，所有特性都假定集结于一个简单的基本动力体系模型内，每一个特性分别由一个具有相应物理特性的元件表示：,数学模型,结构体系运动方程的建立,在结构动力分析中，描述体系质量运动规

5、律的数学方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程。,定义,运动方程的解揭示了体系在各自由度方向的位移随时间变化的规律。 建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础。 常用方法：直接平衡法、虚功法、变分法。,单自由度体系模型,质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性 自由度只有一个：水平位移y(t) 无重弹簧，刚度为 k，提供结构的弹性恢复力 无重阻尼器，阻尼系数c，表示结构的能量耗散，提供结构的阻尼力 随时间变化的荷载F(t),单自由度体系运动方程的建立,单自由度体系运动方程的建立,建立计算模型,平衡方程：,根据dAlembert原理，等于质量与加速度的乘积：,等于弹簧刚度与位移的乘积：,阻尼力

6、等于阻尼系数与速度的乘积：,由此得到体系的运动方程：,惯性力：,弹性力：,阻尼力：,建立体系运动方程的方法,直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动方程。 虚功法: 根据虚功原理，即作用在体系上的全部力在虚位移上所做的虚功总和为零的条件，导出以广义坐标表示的运动方程。 变分法: 通过对表示能量关系的泛函的变分建立方程。根据理论力学中的哈密顿原理或其等价形式的拉格朗日方程导出以广义坐标表示的运动方程。,直接平衡法，又称

7、动静法，将动力学问题转化为任一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动方程。,直接平衡法,根据所用平衡方程的不同，直接平衡法又分为刚度法和柔度法。,刚度法: 取每一运动质量为隔离体，通过分析所受的全部外力，建立质量各自由度的瞬时力平衡方程，得到体系的运动方程。,平衡方程：,柔度法,以结构整体为研究对象，通过分析所受的全部外力，利用结构静力分析中计算位移的方法，根据位移协调条件建立体系的运动方程。,取每一运动质量为隔离体，通过分析所受的全部外力，建立质量各自由度的

8、瞬时力平衡方程，得到体系的运动方程。,刚度法,试用刚度法建立图示刚架的运动方程,解,1） 确定自由度数: 横梁刚性，柱子无轴向变形。,2） 确定自由度的位移参数。,3） 质量受力分析：取刚梁为隔离体，确定所受的所有外力！,4） 列动平衡方程：,1个自由度。,其中各力的大小：,位移法：柱子一端产生单位平移时的杆端剪力,等效粘滞阻尼力：,柱端发生平移 y 时产生的梁-柱间剪力：,由此得到体系的运动方程：,惯性力：,弹性力: Fs=Fs1+Fs2：,由此得到体系的运动方程：,比较：,（0）,试用柔度法建立图示简支梁的运动方程,解,1） 确定自由度数: 集中质量，仅竖向位移：,2） 确定自由度的位移参数：质量 m 的位移：,3） 体系受力分析：取梁整体为隔离体，确定所受的所有外力！,1个自由度。,4） 列位移方程：,改写成：,d为自由度方向加单位力所引起的位移，即柔度：,惯性力：,阻尼力：,由此得到体系的运动方程：,位移方程：,比较：,含义：等效动荷载直接作用在质量自由度上产生的动位移与 实际动荷载产生的位移相等！,令：,FE(t) 定义为体系的等效动荷载或等效干扰力。其通用表达式,结论：任何一个单自由度体系的运动方程都可以抽象成为一 质量、弹簧、阻尼器体系的运动方程，一般形式为：,比较：,刚架：,基本质量弹簧体系：,简支梁：,练习题 试建立图示