2024-2025学年吉林省长春市希望中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年吉林省长春市希望中学高一（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知平面向量a=(sinθ,1),b=(cosθ,−2)，若a//bA.−12 B.−2 C.2 2.学校准备举办王者荣耀比赛，从24名最强王者，16名无双王者，8名荣耀王者中，用分层抽样的方法抽取一个容量为6的样本，则抽取最强王者的人数是(

)A.1 B.2 C.3 D.43.已知复数z满足1+z1−z=1+i，则z=(

)A.25+15i B.254.立体几何中的四个基本事实是学习立体几何的基础，下列四个命题中不是立体几何中的基本事实的是(

)A.过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面

B.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内

C.平行于同一条直线的两条直线平行

D.垂直于同一条直线的两条直线平行5.有一组样本数据x1，x2，⋯，xn，其平均数为x1−，方差为s12，若样本数据−x1+1，−x2A.x2−=x1−−1 B.6.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，连接AC，BA.异面且垂直 B.异面但不垂直 C.相交且垂直 D.平行7.已知圆锥底面半径为2，其母线与下底面所成角为π4，则该圆锥的侧面积为(

)A.22π B.42π8.如图，在四面体OABC中，N是BC的中点.设OA=a，OB=b，OC=c，用a，b，c表示A.AN=a+12b+129.如图，△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，其中A′B′=A′C′=2，A′B′⊥O′B′，则原平面图形△ABC的面积为(

)A.4

B.22

C.4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。10.给定一组数据5，2，1，2，3，3，2，3，5，4，则这组数据的(

)A.极差为4 B.标准差为85 C.平均数为3 D.中位数为11.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(

)A.若sinB>sinC，则B>C

B.若a=26，b=4，A=π4，则三角形有两个解

C.若bcosB−ccosC=0，则△ABC为等腰三角形或直角三角形

D.若△ABC12.已知向量a=(1,3)，bA.若a⊥b，则tanα=−33

B.若a//b，则α=π3

C.若b在a上的投影向量为−14三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。13.已知m∈R，复平面内表示复数(m2−5m−6)+(m214.已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=23，AB=1，AC=2，∠BAC=π3，则球四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知平面向量a=(cosx,3sinx)，b=(2cosx,2cosx)，f(x)=a⋅b−1．

(1)求函数f(x)在[0,π]上的单调区间．16.(本小题15分)

2025年吉林市马拉松赛将于5月18日7：30正式开赛.为积极参与马拉松比赛，吉林市某中学决定从3000名学生随机抽取100名学生进行体能检测，这100名学生进行了15公里的马拉松比赛，比赛成绩(分钟)的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．

(1)求图中a的值；

(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生比赛成绩的平均数；

(3)根据频率分布直方图，估计这100名学生比赛成绩的第80百分位数；

(4)根据样本频率分布直方图，估计该校3000名学生中约有多少名学生能在80分钟内完成15公里马拉松比赛？17.(本小题15分)

如图，在四棱锥O−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：

(1)证明：直线MN//平面OCD；

(2)求异面直线AC与MD所成角的大小；

(3)求直线AC与平面OCD所成角的余弦值．18.(本小题17分)

在长方体ABCD−A1B1C1D1中，侧面A1ADD1为正方形，AB=2AD=2，E为线段AB(不包含端点)上一动点，请利用空间向量法解决下列两个问题．

(1)19.(本小题17分)

定义向量OM=(a,b)的“相关函数”为f(x)=asinx+bcosx；函数f(x)=asinx+bcosx的“相关向量”为OM=(a,b)．

(1)求函数f(x)=2sin2(x2+π3)−1的“相关向量”OM的模长；

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若函数ℎ(x)的“相关向量”为OM=(0,1)，且已知a=4,ℎ(A)=3答案解析1.【答案】A

【解析】解：∵a//b，∴−2sinθ=cosθ，显然cosθ≠0，

∴tanθ=−12．

故选：A．

根据向量共线得2.【答案】C

【解析】解：由分层抽样定义及题干信息可得：抽取最强王者的人数是2424+16+8×6=3．

故选：C．

由分层抽样定义计算即可得．3.【答案】C

【解析】解：∵复数z满足1+z1−z=1+i，

∴1+z=(1+i)(1−z)=1−z+i−iz，

∴z(2+i)=i，

∴z=i2+i=i(2−i)(2+i)(2−i)=14.【答案】D

【解析】解：由选项内容可知，ABC选项为立体几何中的基本事实，D选项，垂直于同一条直线的两条直线可能异面，可能相交，可能平行，故D不是立体几何中的基本事实．

故选：D．

由立体几何中的基本事实相关概念可判断各选项正误．

本题考查直线与平面的位置关系的判断，是基础题．5.【答案】C

【解析】解：因为样本数据x1，x2，⋯，xn，其平均数为x1−，方差为s12，

所以样本数据−x1+1，−x2+1，⋯，−6.【答案】A

【解析】解：根据题意，如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，易知AC与BD1既不平行，也不相交，是异面直线．

连接DB，则AC⊥DB，

又DD1⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，

所以DD1⊥AC，又DD1∩DB=D，DD1、DB⊂面DD1B，

所以AC⊥7.【答案】B

【解析】解：由已知得：圆锥母线长为22，底面周长是4π，

所以侧面展开图扇形的弧长为4π，半径为22，

则侧面积为12×4π×22=48.【答案】D

【解析】解：∵在四面体OABC中，N是BC的中点，OA=a，OB=b，OC=c，

∴AN=ON9.【答案】A

【解析】解：因为A′B′=A′C′=2，A′B′⊥O′B′，

所以O′B′=2,O′A′=22，

还原直观图得原图：

所以OB=O′B′=2,OA=2O′A′=42,AC=2A′C′=4，

则原平面图形△ABC的面积为S=12AC×OB=12×4×2=4．

故选：10.【答案】ACD

【解析】解：将一组数据5，2，1，2，3，3，2，3，5，4，从小到大排列为：1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，

极差为5−1−4；平均数为5+5+4+3+3+3+2+2+2+110=3；

标准差为(5−3)2+(5−3)2+...+(1−3)211.【答案】ACD

【解析】解：对于A，由正弦定理得bsinB=csinC，因为sinB>sinC，所以b>c，由大边对大角可得B>C，故A正确；

对于B，因为a=26，b=4，A=π4，所以由正弦定理得asinA=bsinB，

所以sinB=bsinAa=4×2226=33，因为a>b，所以A>B，则B∈(0,π4)，所以三角形有一解，故B错误；

对于C，因为bcosB−ccosC=0，所以由正弦定理得：sinBcosB−sinCcosC=0，即sin2B=sin2C，

因为B，C∈(0,π)，所以2B=2C或2B+2C=π，即B=C或B+C=π2，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故C正确；

对于D，因为△ABC12.【答案】ACD

【解析】解：对于A，若a⊥b，则a⋅b=cosα+3sinα=0，

可得cosα=−3sinα，所以tanα=sinαcosα=−33，故A项正确；

对于B，若a/​/b，则3cosα=sinα，可得tanα=sinαcosα=3，

所以α=π3+kπ,k∈Z，故B项错误；

对于C，由题意得|a|=2，|b|=1，由b在a上的投影向量为−14a，

可得|b|cos<a，b>⋅a|a|=−14a，解得cos<a，b>=−12，

结合<a，b>∈[0,π]13.【答案】6或−1

【解析】解：∵复平面内表示复数(m2−5m−6)+(m2+m+1)i的点在虚轴上，

∴m2−5m−6=0，解得m=6或−1．

14.【答案】16π

【解析】解：如图，三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，

∵SA⊥平面ABC，SA=23，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，

∴BC=1+4−2×1×2×cos60°=3，

∴∠ABC=90°．

∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=12AC=1，

∴球O的半径R=12+(232)2=2，

∴球O的表面积S=4πR2=16π．

故答案为：16π．

由三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2315.【答案】f(x)的单调递增区间为[0,π6]和(2π3,π]，单调递减区间为(π6,2π【解析】(1)a=(cosx,3sinx)，b=(2cosx,2cosx)，

则f(x)=a⋅b−1=2cos2x+23sinxcosx−1=cos2x+3sin2x=2sin(2x+π6)，

∵x∈[0,π]，∴2x+π6∈[π6,13π6]，

令π6≤2x+π6≤π2得0≤x≤π6；

令π2<2x+π6≤3π2得π6<x≤16.【答案】0.005；

73；

82.5；

2250．

【解析】(1)根据题意可得2a×10+(0.04+0.03+0.02)×10=1，解得a=0.005；

(2)平均分估计为(55×0.005+65×0.04+75×0.03+85×0.02+95×0.005)×10=73．

(3)成绩落在[50,80)内的频率为(0.005+0.04+0.03)×10=0.75，

落在[50,90)内的频率为(0.005+0.04+0.03+0.02)×10=0.95，

故第80百分位数落在[80,90)，且为80+0.8−0.750.02=82.5；

(4)样本中80分钟之前频率为(0.005+0.04+0.03)×10=0.75，

因此估计该校3000名学生中能在80分钟内完成15公里马拉松比赛的学生人数为3000×0.75=2250．

(1)由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1可求得实数a的值；

(2)根据频率分布直方图求平均数，即每小组的中点值乘以频率加起来即可；

(3)第80百分位数指的是频率累计到0.8的点，根据已知，即可求出；

(4)求出样本中小于8017.【答案】证明：(1)如图，分别以AB，AD，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，

则A(0,0,0)B(i,0,0)C(I,I,0)D(0,1,0)M(0,0,1)N(1,12,0)，O(0,0,2)

MN=(1,12,−1)，OC=(1,1,−2)，OD=(0,1,−2)

设平面OCD的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅OC=x+y−2z=0n⋅OD=y−2z=0，取z=1，解得n=(0,2,1)，

MN⋅n=0，又MN⊄平面OCD，

∴直线MN/​/平面OCD．

解：(2)设AC与MD所成的角为θ，

∵AC=(1,1,0)，MD=(0,1,−1)，

∴cosθ=|AC⋅MD||AC|⋅|MD|=12【解析】本题考查线面平行的证明，考查线面角及线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．

(1)分别以AB，AD，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，利用向量法能证明直线MN/​/平面OCD．

(2)设AC与MD所成的角为θ，利用向量法能出AC与MD所成角．

(3)设直线AC与平面OCD所成角为α，利用向量法能出直线AC与平面OCD所成角的余弦值．18.【答案】解：(1)以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则C(0,2,0)，D1(0,0,1)，设E(1,m,0)且0<m<2，

则D1E=(1,m,−1)，CE=(1,m−2,0)，

由D1E⊥EC，得D1E⋅CE=1+m(m−2)=0，得m=1，

即AE的长度为1；

(2)设n=(x,y,z)平面D1EC的一个法向量为n=(x,y,z)，

由n⋅D1E=x+my−z=0n⋅CE=x+(m−2)y=0，取y=1，得【解析】(1)构建合适空间直角坐标系，设E(1,m,0)且0<m<2，应用向量垂直的坐标表示列方程求参数m，即可得AE长度；

(2)求出面D1EC的一个法向量，应用