微积分第三章导数与微分

1、第三章 导数与微分,3.1 导数的概念,3.2 导数基本公式和求导运算法则,3.3 链法则与隐函数的导数,3.4 高阶导数,3.5 微分,3.6 边际与弹性,3.1 导数的概念,引例1、变速直线运动的瞬时速度,一、引例,（1）当物体作匀速运动时,（2）当物体作变速运动时,引例2 平面曲线的切线斜率,割线 MN,切线 MT,割线 MN 的斜率为：,当x0时 动点N将沿曲线趋向于定点M 从而割线MN也将 随之变动而趋向于切线MT,即割线 MN 的极限位置就是 曲线 L 在点 M 处的切线MT .,切线 MT 的斜率为：,二、导数的定义,注意,三、导数的几何意义,四、左、右导数,例3. 讨论函数,解

2、,思考,五、可导性与连续性的关系,即,定理,问题：连续是否一定可导？,结论,函数在其可导的点处一定连续,函数在其连续的点处不一定可导,函数在其不连续的点处一定不可导,注意,（1）曲线,处是尖点,在点,（2） 曲线,在点,在点,（3）曲线,间断,处有,垂直切线,处,P89:T8； P106：T1(1)；T2；T5.,作业,因为,处函数无定义，所以该点处函数间断,第二类无穷间断点.,所以,是函数的可去间断点，,作业讲评 P88.5(2),P89.6.,(5).解法1：,解法2：原式=,解法3：,而,解法4：,解法1：,而,解法2：,P89.6.,六、利用导数定义求极限,例4：,解,练一练,解 答,

3、注意,分段函数分段点的导数必须用定义求,例5： 设函数,解,因为,例6：,解,方法一：,例7：,解,方法二：,例10:,解:,3.2 求导基本公式与求导运算法则,一、求导基本公式,解,解,解,特别地:,解,正弦函数的导数等于余弦函数.,类似得,余弦函数的导数等于负的正弦函数.,二、四则运算求导法则,证毕.,例5.,解,解:,例6,常用公式：,例7.,解,练一练,解 答,P117:T5(6),(9); T6(2);T8.,作业,三、反函数的求导法则,解:,例8.,解,例6.,四、导数的基本公式,3.3 链法则与隐函数的导数,一、复合函数求导法则（链法则）,猜想,解:,例1,求下列函数的导数,注意

4、,解,例2,解,例3,例4,解,或,复合函数的求导法则可以推广到多重复合的情形.,设,则,或,解,这里求y对x的导数是从外向里经过 每个中间,在熟悉了法则之后,运算就不必写出中间变量,变量的导数最后导到x上.因此对复合函数求导,搞清楚复合层次后,只要从外层向里层逐层求导,即可.,解,易犯的错误,例7,例8,求,解,例9,解,例10,解,小结,复合函数求导首先必须搞清函数是怎样复合的.,求导时由外到里逐层求导.,注意:一定要到底,不要遗漏 , 不要重复.,例11,例12,练一练,解 答,P127:T3(3),(7),(10),(15),(20).,作业,称这类函数为隐函数.,二、隐函数求导法,又

5、如，,解,例12,解,例13,解,例14,小结,方程两边对,隐函数的求导方法:,视,为,的函数,由复合函数求导法则,的方程,解出即可.,得到关于,注意:结果中既含 也含 .,练一练,解 答,解,三、对数求导法,两类函数,有简便求,先给这些函数取对数,然后再求导就可使求导运算,简便多了,这种先取对数然后再求导的方法就叫对数求,导法.,解,例15,例16 求,的导数 .,解 解法1 两边取对数 , 化为,两边对 x 求导,解法2 将函数化为复合函数,例21,小结,对数求导法,常用于多因子乘幂求导， 或幂指函数求导.,对数求导法的步骤:,1). 函数式两边取自然对数;,四、分段函数求导法,解:,易犯

6、的错误,练一练,解 答,解,P128 T4 (4)；T5； T6 (1),(2).,作业,3.4 高阶导数,一、高阶导数,记作：,或,即,类似地二阶导数的导数，叫做 的三阶导数，,记作：,或,三阶导数的导数，叫做四阶导数，,记作：,或,记作：,或,二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数,例1 y =(1+x2)arctanx 求y,解,例2,证明,所以 y 3y1,二、隐函数的二阶导数,例3,解,解：方程两边同时对x求导,上式两边同时再对x求导,例4,三、几个初等函数的 n 阶导数,解,类似地有,得到,由上面各阶导数可以得到,四、高阶导数的运算公式,函数和差的 n 阶导数,(uv)(n)u(n)

7、v(n),函数积的 n 阶导数,这一公式称为莱布尼茨（Leibniz)公式,用数学归纳法可以证明：,上面这些导数外表和二项展开式很相似，如果 设,小结,高阶导数的求法,(1) 逐阶求导法,(2) 利用归纳法,(3) 间接法, 利用已知的高阶导数公式,如,(4) 利用莱布尼兹公式,练一练,解 答,例,作业,P133:T1(4),(8) ;T4(2),(3);T7.,3.5 微分,一、微分的概念,设薄片边长为 x , 面积为S, 则,当 x 在,取,面积的增量为,关于x 的线性主部,故,称为面积函数在 的微分,定义:,(充分性),即,函数y f (x)在任意点 x 的微分 称为函数的微分 记作dy

8、 或 df(x) 即 dyf (x)Dx,例如 dcos x(cos x)Dx sin x Dx,dex(e x)DxexDx,因为当y =x 时 dy=dx=(x)Dx=Dx 所以通常把自变量 x 的增量Dx称为自变量的微分 记作dx 即 dx Dx,因此 函数 y f (x) 的微分又可记作,于是有可微与可导的关系,函数f (x)在点x0可微 函数f (x)在点x0可导 函数在点x0的微分为,切线纵坐标的增量,微分的几何意义,增量与微分的关系,由微分定义知,例如,求在,解：,二、基本微分公式与微分法则,可得基本初等函数的微分公式：,例1. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:,说明: 上

9、述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,注意: 数学中的反问题往往出现多值性.,微分运算法则,设 u(x) , v(x) 均可微 , 则,(C 为常数),分别可微 ,的微分为,微分形式不变性,5. 复合函数的微分,则复合函数,由此可见 无论u是自变量还是中间变量 微分形式 dy f (u)du 保持不变,例4 若方程 xy =cosy -x2确定y =f（x）,解一：两边对x求导,解二：两边同时微分,解：两边同时微分,例8 若方程 （arcsinx）lny -e2x + tany = 0 确定 y =f（x），求,例9 设,解：,例10,解：,练一练,解 答,解,三、微分在近似计算中的应用,由

10、微分定义知,(1),即,在(2)式中令,(4),例13 计算sin 3030的近似值,解,有 sin(x0Dx), sin x0 cos x0 Dx,sin 3030,即 sin 303005076,且离切点越近近似程度越好.,近似公式表示曲线,附近,可用切线.,在切点,近似曲线，且离,切点越近近似程,度越好.,练一练,解 答,类似可证,当,很小时,有近似公式:,如,解,作业,P142:T6(4),(6),(9);T7(2).,例11,解,习题讲评P134,4（2）,解,方法1,方法2,3.6 边际与弹性,一、边际的概念,因为边际量是一个绝对变化量，不能反映 变化程度的大小，比如某商品的价格上涨1%时， 需求量将如何变化？投资增加一个百分点时， 国内生产总值将增加百分之几？等等，为此， 我们引入一个无量纲的相对变化量，即弹性.,二、弹性函数,1、弹性的概念,弹性的意义：,幂函数在任意点的弹性不变称为不变弹性函数.,2、弹性的经济应用,(1)需求价格弹性,说明,即需求