解对初值的连续性和可微性PPT课件.ppt

1、第三章，一阶微分方程解的存在唯一性定理，2020/6/29，1，3.3，初值解的连续性和可微性，/解的连续性和可微性/，2020/6/29，常微分方程-重庆理工大学-李克仁，2，初值解的连续性和初值解的可微性。本节要求：1理解解对初始值和参数的连续依赖性定理；2理解初值和参数解的可微性定理。执行摘要，3.3连续性可微性，2020/6/29，3，3.3.1，初值问题解的对称性定理，让f (x，y)在d域是连续的，并满足关于y的Lipshits条件，这是初值问题的唯一解，那么在这个表达式中，就可以改变它们的相对位置。也就是说，这种关系是在解的存在范围内建立的，3.3连续性困难，2020/6/29，

2、4，3.3.2，解的连续性依赖于初始值的定理，假设f (x，Y)在域G中是连续的并且满足关于Y的局部李普什条件，是初始值问题的解，并且它在区间中有定义，那么，对于任意的，必须有一个正数，所以当， 当，方程的解满足的条件也在区间中定义，并且3.3连续性可微性，2020/6/29，5，引理，如果f(x，y)在某个域D中是连续的，并且y满足李普希茨条件(李普希茨常数是L)，则。 证明了区间中有一个定义，所以最好设置它。因此，存在，3.3连续性微分概率，2020/6/29，6，那么，因此，区间a，b是递减函数，并且存在，3.3连续性微分概率，2020/6。然后，知道它有一个解决方案，这类似于上面的推导

3、过程。因此，取两边的平方根，我们可以得到，3.3连续性困难，2020/6/29，8，解对初始值的连续性依赖定理的证明。(1)构造满足李普什条件的有界闭区域，因为积分曲线段在x-y平面上是有界的。根据假设，必须有一个以S上的每个点(x，y)为中心的开圆，其中函数f(x，y)满足相对于y的Lipshits条件。根据有限覆盖定理，我们可以找到具有这种性质的有限数目的圆，并且它们都覆盖整个积分曲线段S。让它是圆的半径，它表示包括f(x，y)在内的相应Lipshits常数。3.3连续性可微性，2020/6/29，9，然后是，和S的边界之间的距离。如果预先给定，所有圆以S上的每个点为中心，半径和它们的周长

4、一起形成S的有界闭域，并且f (x，Y)相对于D上的Y满足李普什条件，并且李普什常数是L.3.3连续性可微性，2020/6/29，10，(2)解对初值的连续依赖性，断言一定有这样一个正数，所以只要不等式被满足，解一定在区间内，而且还有一个定义。因为D是一个有界闭区域，f (x，y)相对于其中的y满足Lipshits条件，根据推广定理，解可以推广到D的边界。让它在D的边界上的点是，那么一定有，3.3连续性困难，2020/6/29，11，因为否则，它必须存在引理，连续性，对，所以当有，取，然后当，3.3连续性困难，2020/6/29，2020。因此，与假设相矛盾的是，解是在区间a，b中定义的。3.

5、3连续性可微性，2020/6/29，13，在不等式、中，区间c，d变为a，b，这表明当，当，当，当，当定理被证明。3.3连续性可微性，2020/6/29，14，是连续的函数。，来求解初值的连续性定理，假设f (x，y)在域g中是连续的并且满足关于y的局部Lipshits条件，则方程，3.3连续性可微性，2020/6/29，15，1。参数为2的一阶方程。一致李普希茨条件，让一个函数一致地满足关于y的局部李普希茨(Lip)。其内部是连续的，并且存在于内部，即内部的每个点，建立了不等式，3.3连续性可微性，2020/6/29，16，其唯一地由解的存在性和唯一性定理决定。注意，3.3连续性困难，202

6、0/6/29，17，连续性依赖于初始值和参数的定理，假设在域中是连续的，并且一致地满足关于Y的局部Lipshits条件，是方程通过点的解，在区间中，那么对于任何给定的，必须有一个正数，当方程的解满足条件时，在区间中，也有一个定义， 并且有一个定义，其中，当3.3连续性差的可知性的解，2020/6/29，18，是在其存在范围内连续的函数。 为了求解初始值和参数的连续性定理，假设它在域中是连续的并且一致地满足关于Y的局部Lipshits条件，则方程3.3连续性困难，2020/6/29，19，3.3.3求解初始值的可微性定理，并且其解作为函数在其存在范围内是连续可微的。如果函数f (x，y)和f(x

7、，y)在g区域都是连续的，那么方程，3.3连续性可微性，2020/6/29，20，3.3连续性可微性，2020/6/29，21，证明了f(.因此，初值解的连续性定理成立，即进一步证明了函数存在范围内任意点的偏导数在其存在范围内是连续的。存在并且是连续的。3.3连续性可微性，2020/6/29，22，让初始值是一个足够小的正数)，并且方程的解分别是，也就是说，然后，在那里证明它存在并且是连续的。3.3连续性可微性，2020/6/29，23，注意到的连续性，有一些性质，同样，它也有同样的性质，所以，3.3连续性可微性，2020/6/29，24，也就是说，它是一个初值问题。显然，上述初值问题还是有解决办法的。3.3连续性可微性，2020/6/29，25，根据初值和参数解的连续性定理，我们知道它是一个连续函数。因此，它是存在的，它是初值问题的解。很明显的是。即，3.3连续性微分可靠性，2020/6/29/26，重新证明，存在并且是连续的。是由初始值确定的方程的解。同样，也是初值问题的解。因此，3.3连续性可微性，2020/6/29，27，具有性质，因此对于的存在性和连续性，只需注意它显然是的连续函数。是方程的解，因此，由和连续性是直接推得的结论。证书已完成。3.3连续性可微性，202