北大理论力学课件第十一章 动能定理

1、理论力学,动力学,理论力学,理论力学,第十一章 动能定理,11-1力与力偶的功,上抛物体:,元功:,总功:,理论力学,几种常见力的功：,1.重力功,自然坐标形式 ：,Fx=Fy=0,Fz= -P,重力功等于质点的重量与其起始位置与终了位置的高度差的乘积，而与质点运动路径无关 。,对质点系 :,理论力学,2.弹性力功,理论力学,例11-1：固定圆环半经为R，小球套在圆环上，被长度为l 的弹簧约束在O点。求：小球从A到B的功，又从B到C的功。,解:,从A到B的功:,从B到C的功:,理论力学,3、万有引力的功,理论力学,4作用于转动刚体的力及力偶的功,5、摩擦力的功,静滑动摩擦力不做功,动滑动摩擦力

2、的功：,理论力学,理想约束的约束反力不做功,（1）光滑固定面反力的功,（2）刚体内力的功,由于刚体上任意两点之间的距离始终保持不变。因此,故得,理论力学,11-2 动能,1、质点动能,单位:,2、质点系的动能,或,由速度合成定理：,柯尼希定理：,质点系的动能等于随同其质心平动的动能与相对其质心运动的动能之和。,理论力学,例11-2： 坦克履带轮，已知：履带重P，各轮重W,半径R,写出整个系统的动能。,解:,T带=T轮履质心+T轮履转动+T水平履带,理论力学,刚体动能计算,1、平移刚体的动能：,2、定轴转动刚体的动能：,3、平面运动刚体的动能：,根据转动惯量的平行移轴定理,C：瞬心到质心的距离,

3、理论力学,例11-3：均质杆AB长l，质量为m，滑块B的质量为m，圆柱A的质量为M，半径为R。在运动过程中=（t），试写出在=450瞬时的系统动能。,解：,理论力学,11-3 质点系动能定理,第 个质点,分别乘以,叠加,质点系动能的微分等于作用于质点系的力的元功之和。,两边积分,动能定理,质点系动能的改变等于作用于质点系的所有力所做功的总和。,具有理想约束的刚体系统动能的变化，等于作用于系统上所有外力功之和。,理论力学,例11-4：材料剪切实验机，摆锤重P。求：锤从最高点下落到任意位置时杆的张力。,解:,质点方程:,当:=时, F=5P,理论力学,例11-5：电梯的鼓轮重W，半径r，轿厢重P。

4、求：轿厢下落到任意高度时，钢索的张力。,解:,动能定理,全反力=静反力+动反力,理论力学,例11-6： 纺织线轮如图，线锤半径为r，轮半径为R，廻转半径。求：线轮以角度被F力拉伸时质心的加速度。,T1=0,讨论：,a0,向前,微分形式:,理论力学,例11-7：卷扬机在不变力矩M的作用下，从静止开始运动。已知鼓轮半径为R1，重量为Q1，质量分布在轮缘上，圆柱半径为R2，重量为Q2，质量均匀分布，斜面倾角为q，圆柱只滚不滑。求圆柱中心C经过路程l时的速度。,不作功,F作功为零,应用动能定理,其中,于是,解得,理论力学,例11-8：均质杆OAl，重P，圆盘重Q，半径r，可绕A轴自由旋转，初始时，杆垂

5、直，系统静止，设OA杆无初速度释放。求：杆转至水平位置时，杆的角速度、角加速度。,解：,受力分析,运动分析：OA杆定轴转动，圆盘平动。,应用动能定理:,（1）,（1）式两边对时间求导,理论力学,例11-9：已知：mA=m，mB=m/2，mC=m/3，鼓轮的廻转半径为，质量为m，鼓轮小半径为r，大半径为R，C轮的半径为r，物体A接触的摩擦系数为fs，求物体A下落时的速度。,解:,功:,动能:,理论力学,例11-10: 重P，长l的匀质杆，端部悬着重G的物体，在l/3处系着k 系数的弹簧。求：摆动时的振动方程,解:,平衡条件:,动量矩方程:,不考虑重力与弹簧静伸长作功,动能方程:,方程解:,理论力

6、学,没有平衡关系,有平衡关系,重力与弹簧静伸长有平衡关系， 则在功或势能式中可以不考虑。,理论力学,例11-11： 电梯轿厢重为P，钢索的刚性系数为k。当轿厢以速度v匀速下降时钢索突然卡住，求钢索的最大张力。,讨论：当：k =3.35kN/mm，,取平衡位置为零势位，重力和弹簧的静伸长抵消：,v=0.5m/s, P=2.5 kN,解：,增加：5.8倍,理论力学,11-4 势力场与势能,一、势力场与有势力,力场：质点所受力矢量是位置的单值、有界且可微的函数，则这部分空间称为力场,有势力场：场力所作的功只决定于质点的起始与终了位置，则该力场称为有势力场。,二、势能,V (x、y、z),作用在位于势

7、力场中某一给定位置M(x、y、z)的质点的有势力，相对于任一选定的零位置M0(x0、y0、z0)的作功能力 。,理论力学,有势力的元功等于势能函数的全微分，并冠以负号。,理论力学,常见势力场中的势能,1.重力场势能:,2 .弹性力场势能:,或,3.万有引力场,理论力学,例11-13：BC杆重 ，长为l，重物D重 ，弹簧的刚度为k，当角=00时，弹簧具有原长3l。求质点系运动到图示位置时的总势能。,BC杆：,（以 杆BC的水平位置为零势能位 ）,（选弹簧的原长处为势能的零位置）,理论力学,11-5 机械能守恒定律,或：,质点系在势力场中运动时，动能与势能之和为常量。,理论力学,例11-14：重为

8、P半径为r的圆盘在半径为R的圆槽内摆动。 求：摆动的方程。,解：,二边求导：,摆动的周期：,理论力学,例11-15 ：已知约束的弹簧刚性系数为k1,k2，鼓轮的大、小轮半径为R、r，重G 。开始静止，然后释放。求：重P的物体下落S距离时的加速度。,解：,两边求导：,理论力学,例11-16： 重P=100N、长l=20cm的匀质杆，被刚性系数k 的弹簧系在A点。求：1.初时杆为水平位置（弹簧具有原长），然后放松A点后的最大位移。2.将A点拉到=60时然后放手，求=30时的角速度值。,解：,1.,2.,最大位移:,理论力学,11-6 动力学普遍定理的综合运用,解：,例11-17：表面光滑的三角块上

9、放重量PA物体，一端通过滑轮悬挂重物PB，当PA下滑时三角块被台阶挡住。求物体A下滑时绳索的张力。,理论力学,例11-18：重为P1的三角块放置光滑平面上，有一重量为P2的小球从斜面上滚下。求：三角块滑动的加速度。,解：,动能定理：,动量守恒：,二个自由度要二个动力学方程,理论力学,例11-19 ：如将小球换成小块。求大滑块的滑动加速度。,解：,动能定理：,理论力学,例11-20： 惯量J的圆柱体静止放置，将质量m的小球从圆柱体的光滑槽内滚下。求球下落到h高度时，圆柱体的角速度。,解：,t=0：vM0=0 w0=0,T1=0,理论力学,例11-21：大圆盘的半径R是小圆盘r的两倍，已知:圆盘重

10、量为G，物体重量为P，B物体与地面的摩擦系数fs。 求：当物体A以初速度v0下落到一倍初速时的高度h.,解：,有:,理论力学,11-22:均质圆盘质量为m，半径为R，弹簧刚度为k，CA2R为弹簧原长，在常力矩M作用下，由最低位置无初速度地在铅垂平面内绕O轴向上转。求达到最高位置时，轴承O的约束反力。,解：,可用质心运动定理求约束反力。因此，需求出质心的加速度。质心作圆周运动，故有切向与法向加速度，先求、a。,（1）求,由动能定理,理论力学,（2）求a,由转动微分方程,解得,（3）由质心运动定理求Fx、Fy,质心加速度,应用质心运动定理,将质心加速度代入,理论力学,例11-23：已知ABl、质量为m，B端放在光滑水平面上，开始时杆静立于铅直位置，受扰动