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文档简介

1、一元复合函数：,求导法则：,微分法则：,第四节 多元复合函数的求导法则,多元复合函数的求导的链式法则,多元复合函数的全微分,一、多元复合函数求导的链式法则,1. 中间变量均为一元函数的情形,证,上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,如,以上公式中的导数 称为全导数.,若定理中 在点,说明:,例如:,易知:,但复合函数,偏导数连续减弱为,偏导数存在,则定理结论不一定成立.,偏导数不连续,上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：,2. 中间变量均为多元函数的情形,链式法则如图示,类似地，设u=(x, y)、v=(x, y)、w=(x, y)都在点(x, y)具有对x和y的偏

2、导数，函数z=f(u, v, w)在对应点(u, v, w)具有连续偏导数,则复合函数z=f(x, y), (x, y), (x, y)在点(x, y)的两个偏导数存在, 且可用下列公式计算：,3.,中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形,定理3 若u=(x,y)在点(x,y)可导，v=(y)在点y可导，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导，则复合函数z=f(x,y), (y)在点(x,y)可导，且,特殊地,即,令,其中,两者的区别,区别类似,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,解,例2.,解:,例3. 设,求全导数,解:,注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与,

3、验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握,这方面问题的求导技巧与常用导数符号.,为简便起见 , 引入记号,例4. 设,f 具有二阶连续偏导数,求,解:令,则,二阶偏导数连续,求下列表达式在,解:已知,极坐标系下的形式,(1), 则,例5.设,已知,注意利用 已有公式,同理可得,设函数,的全微分为：,可见无论 u , v 是自变量还是中间变量,则复合函数,都可微,其全微分表达,形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.,二、多元复合函数的全微分,例1 .,利用全微分形式不变性再解例1.,解:,所以,例 6.,思考题,1. 已知,求,解:由,两边对x 求导, 得,求,解:由题设,(2001考研),2.,内容小结,1. 复合函数求导的链式法则,“分段用乘,分叉用

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