第七章 多元函数微积分

1、第七章 多元函数微积分,第一节 空间解析几何简介,第二节 多元函数的基本概念,第三节 偏导数和全微分,第四节 多元复合函数求导法则,主要内容：,第六节 多元函数的极值,第七节 二重积分的概念和性质,第八节 二重积分的计算,第九节 对坐标的曲线积分,第五节 隐函数的求导法则,第一节 空间解析几何简介,一、空间直角坐标系,二、空间两点间的距离,三、空间曲面及其方程,四、二次曲面,主要内容,基本要求,了解空间直角坐标系，空间点的坐标； 掌握空间两点间的距离公式 了解空间曲面（平面）方程的概念，由平面 及常见曲面方程作出其图形,重点,由平面及常见曲面方程作出其图形,一、空间直角坐标系,二、空间两点间的

2、距离公式,三、空间曲面及其方程 1、曲面方程的概念,3、母线平行于坐标轴的柱面,4、旋转曲面,四、 二次曲面,第二节 多元函数的基本概念,一、多元函数,二、二元函数的极限与连续性,主要内容,基本要求,理解平面区域的有关概念； 理解多元函数的概念及二元函数的几何表示，掌握二元函数的定义域及其几何表示； 了解二元函数极限的思想；了解二元函数的连续性,重点,二元函数的概念、定义域，平面区域的有关概念,1.实例分析,一、多元函数,二元函数的定义,2.二元函数的几何表示,1. 二元函数的极限,二、二元函数的极限与连续性,第三节 偏导数和全微分,一、偏导数,二、高阶偏导数,三、全微分,主要内容,基本要求,

3、理解偏导数的概念，掌握偏导数的求法； 理解高阶偏导数的概念并掌握求法； 了解多元函数全微分的概念，掌握计算方法,重点,多元函数偏导数和全微分的运算,一、 偏导数,二、 高阶偏导数,三、 全微分,1、全微分的定义,第四节 多元复合函数求导法则,基本要求,理解多元复合函数的概念； 掌握求多元复合函数偏导数的链导法则，并会求多元复合函数（包括抽象函数）的偏导数。,重点,多元复合函数偏导数的链导法则,基本要求,理解多元隐函数的概念； 掌握求多元复合函数偏导数的运算方法。,重点,多元隐函数偏导数运算,一、多元函数的极值,二、二元函数的最大值与最小值,三、条件极值,第六节 多元函数的极值,基本要求,理解多

4、元函极值数的概念； 掌握二元函数极值的求法（限于两个偏导数存在的条件下）。,重点,二元函数极值的求法； 实际问题中多元函数的最大值和最小值，条件极值。,掌握多元函数最大值和最小值的求法及其实际应用。,一、多元函数的极值,二、二元函数的最大值与最小值,三、条件极值,思考,第七节 二重积分的概念与性质,基本要求,理解二重积分的概念和几何意义； 了解二重积分的基本性质。,重点,二重积分的概念和几何意义,一、二重积分的概念,2二重积分的概念,3二重积分的性质,第八节 二重积分的计算,一、利用直角坐标计算,二、利用极坐标计算,主要内容,基本要求：,会计算较简单的二重积分,重点：,二重积分的计算,三、二重

5、积分应用举例,一、利用直角坐标计算二重积分,(a),（）,上式也可简记为,（1）累次积分的下限必须小于上限;,注意,此题若选择另一种积分次序，会出现“积不出 来”的 积分。,说明,1. 极坐标系下的面积元素,二、利用极坐标系计算二重积分,(a),2.极坐标系下化二重积分为累次积分,(b),三、 二重积分应用举例,2、求立体的体积,主要依据：二重积分的几何意义，如例8,解 如图所示,3、求平面薄板的质量,第九节 对坐标的曲线积分,一、概念及性质,二、对坐标的曲线积分的计算,三、格林公式及其应用,四、曲线积分与路径无关的条件,基本要求,了解对坐标的曲线积分的概念； 掌握对坐标的曲线积分的计算； 了解格林公式，理解曲线积分与路径无关的条件 并会应用其计算曲线积分。,重点,曲线积分的计算,第四节 对坐标的曲线积分,一、概念及性质,2. 定义,3.性质,二、对坐标的曲线积分的计算,区域D的边界曲线L的正方向：当观察