数学新学案同步 必修2 人教B版（鲁京辽）第二章 平面解析几何初步

1、2.3.2 圆的一般方程,第二章 2.3 圆的方程,学习目标 1.掌握圆的一般方程及其特点. 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小. 3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,思考 方程x2y22x4y10，x2y22x4y60分别表示什么图形？,知识点 圆的一般方程,答案 对方程x2y22x4y10配方，得(x1)2(y2)24，表示以(1，2)为圆心，2为半径的圆； 对方程x2y22x4y60配方，得(x1)2(y2)21，不表示任何图形.,梳理,思考辨析 判断正误 1.圆的一般方程可以化为

2、圆的标准方程.( ) 2.二元二次方程x2y2DxEyF0一定是某个圆的方程.( ) 3.若方程x2y22xEy10表示圆，则E0.( ),题型探究,例1 若方程x2y22mx2ym25m0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径.,类型一 圆的一般方程的概念,解 由表示圆的条件，得(2m)2(2)24(m25m)0，,解答,反思与感悟 形如x2y2DxEyF0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法 (1)由圆的一般方程的定义，D2E24F0成立，则表示圆，否则不表示圆. (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解. 应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2y2DxE

3、yF0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.,跟踪训练1 (1)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标为_，半径为_.,解析,答案,解析 由圆的一般方程知，a2a2，得a2或1.,a2不符合题意； 当a1时，方程可化为x2y24x8y50， 即(x2)2(y4)225， 圆心坐标为(2，4)，半径为5.,(2，4),5,(2)点M，N在圆x2y2kx2y40上，且点M，N关于直线xy10对称，则该圆的面积为_.,解析,答案,由圆的性质知，直线xy10经过圆心，,该圆的面积为9.,9,例2 已知点A(2,2)，B(5,3)，C(3，1). (1)求ABC的外接

4、圆的一般方程；,类型二 求圆的一般方程,解 设ABC外接圆的一般方程为x2y2DxEyF0，,解答,即ABC的外接圆的一般方程为x2y28x2y120.,(2)若点M(a,2)在ABC的外接圆上，求a的值.,解 由(1)知，ABC的外接圆的方程为x2y28x2y120， 点M(a,2)在ABC的外接圆上， a2228a22120， 即a28a120，解得a2或a6.,解答,引申探究 若本例中将“点C(3，1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线yx对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？,解答,反思与感悟 应用待定系数法求圆的方程时应注意 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆

5、心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.,解答,令x0，得y2EyF0， ,解 方法一 (待定系数法) 设圆的一般方程方程为x2y2DxEyF0，,|y1y2|2(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48. ,故圆的一般方程为x2y22x120或x2y210 x8y40.,方法二 (几何法) 由题意，得线段PQ的垂直平分线方程为xy10， 所求圆的圆心C在直线xy10上， 设其坐标为(a，a1).,解得a1或a5，,故圆的方程为(x1)2y213或(x5

6、)2(y4)237.,类型三 求轨迹方程,例3 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，2)，且圆心C在直线l：xy10上. (1)求圆C的方程；,解答,所以直线m的方程为x3y30.,所以圆C的方程为(x3)2(y2)225.,(2)线段PQ的端点P的坐标是(5,0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程.,解答,解 设点M(x，y)，Q(x0，y0). 因为点P的坐标为(5,0)，,又点Q(x0，y0)在圆C：(x3)2(y2)225上运动， 所以(x03)2(y02)225， 即(2x53)2(2y2)225.,反思与感悟 求轨迹方程的三种常用方法 (1)直接法：根据题目

7、条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明. (2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程. (3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程. 特别提醒：在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，即应排除不合适的点.,跟踪训练3 已知ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程.,解答,解 以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系(如图)， 则点A(2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，

8、BC中点D(x0，y0).,将代入，整理得(x6)2y236. 点C不能在x轴上，y0. 综上，点C的轨迹是以(6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(12,0)和(0,0)两点. 轨迹方程为(x6)2y236(y0).,达标检测,1.圆x2y22x6y80的面积为 A.8 B.4 C.2 D.,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 原方程可化为(x1)2(y3)22，,圆的面积为Sr22.,2.若点M(3,0)是圆x2y28x4y100内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是 A.xy30 B.xy30 C.2xy60 D.2xy60,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 圆x2y2

9、8x4y100的圆心坐标为(4,2)， 则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长.,1,2,3,4,5,答案,解析,3.方程x2y2xym0表示一个圆，则m的取值范围是,解析 由D2E24F0，得(1)2124m0，,1,2,3,4,5,4.方程x2y22axbyc0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为 A.2,4,4 B.2，4,4 C.2，4,4 D.2，4，4,解析,答案,解得a2，b4，c4.,5.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x1)2y24上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程.,解 设点B坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)， 由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，,解答,于是有x08x ，y06y. 因为点A在圆(x1)2y24上运动， 所以点A的坐标满足方程(x1)2y24，即(x01)2y4， 把代入，得(8x1)2(6y)24，整理，得(x9)2(y6)24. 所以点B的轨迹方程为(x9)2(y6)24.,1,2,3,4,5,规律与方法,1.判断二元二次方程表示圆要“两看”： 一看方程是否具备圆的一般方程的特征；二看它能否表示圆.此时判断D2E24F是否大于0或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数. 2.待定系数法求圆的方程 如果已知条件与圆心和半径都无