第3章 概率与概率分布

1、3-1，第3章概率和概率分布，3.1随机事件及其概率，3.2随机变量及其概率分布，3.3大数定律和中心极限定理，3-2，学习目标，理解随机事件的概念，理解事件之间的关系，理解概率的三个定义，掌握概率运算法则，理解随机变量及其概率分布的概念，掌握二项式分布、泊松分布和超几何分布的背景、均值和方差及其应用， 掌握正态分布的主要特征和应用，了解均匀分布的应用，了解大数定律和中心极限定理的意义，3-3，3.1随机事件及其概率，1。 随机实验和随机事件2。随机事件的概率3。概率算法。3-4。不可避免的现象和随机现象，不可避免的现象(确定性现象)的变化结果是可以预先确定的，并且一定的条件必然会导致一定的结

2、果。这种关系通常可以用公式或定律来表达。在一定条件下，随机现象(偶然现象、不确定现象)可能发生，也可能不发生。个人观察的结果完全是偶然和随机的。大量观察的结果会显示出一些规律性(随机性包含规律性)统计数字3354。15日的月亮比10日的月亮圆！3-5、随机测试，严格随机测试满足三个条件：测试可以在系统条件下重复；测试的所有可能结果都是清楚的；不确定每次测试前会出现哪个结果。广义随机测试是指对随机现象的观察(或实验)。在实际应用中，大多数测试不能同时满足上述条件，这通常是从广义的角度来理解的。3-6，随机事件(事件)，随机事件(简称事件)随机试验的每个可能结果通常使用大写字母A，B，表示基本事件

3、(采样点)不能细分为两个或更多事件的事件采样空间()，3-7，随机事件(续)，复合事件是由一些基本事件组成的采样空间中的事件子集。随机事件的两个特例。在一定条件下，只有样本空间是不可避免的事件。在一定条件下，不可能的事件是一个空集()，3-8，随机事件的概率。概率用来衡量随机事件的概率。不可避免事件的概率是1，这意味着不可能事件的概率是零，p ()=0。随机事件A的概率在0和1，00，3-25之间，例3-5。一家公司生产同类产品。一家工厂生产400件，其中280件为一级产品；乙厂生产600件，其中360件为一级产品。如果你想从工厂的所有产品中随机抽取一个产品，试着找出：在抽取的产品被认为是一级

4、产品的情况下，产品来自工厂a的概率；(2)已知提取的产品在来自一级工厂的情况下是一级产品。解决方案：如果A=工厂产品，B=一级产品，则P (A)=0.4，P (B)=0.64，P (AB)=0.28 计算出的概率是在事件B的条件下发生的条件概率，P (A | B)=0.28/0.64 P(A|B)=在B的所有可能结果中发生的条件概率，即在样本空间中考虑的条件概率P (A | B)， 成为在新的样本空间b中计算事件ab的概率问题，条件概率(续)，一旦事件b已经发生，3-27，乘法公式的一般形式：p(ab)=p(a)例3-6例3-1中问题的解决方案(从这50件中取两个产品可视为取两个样本，一次只取

5、一个，不放回采样):A1=第一次得到合格的产品， A2=第二次获得合格产品，A1A2=两个产品都是合格产品P (A1A2)=P (A1两个事件是独立的。 一个事件的发生不影响另一个事件的发生概率：p (a | b)=p (a)，或p (b | a)=p (b)。独立事件的乘法公式是：p (ab)=p (a) p (b)，它被推广到n个独立事件，包括：p (b)。完成事件组事件A1，A2，安相互不兼容，A1 A2 . An=和P(Ai) 0(i=1，2，对于任何事件b，它总是与完整的事件组a1、a2，那么对体育有需求。学生给出答案的可能性有多大？解决方法：让A=知道正确答案，B=正确选择。“正确

6、选择”包括：“当你知道正确答案时正确选择”(即AB)，“当你不知道正确答案时正确选择”(即p (b)=(2/3) 1 (1/3) (1/4)=3/4，3-31，全概率公式3354贝叶斯公式等。因此，结果，事件B发生的概率与由各种“原因”艾引起的概率之和相反。在观察到事件B已经发生的情况下，确定每个原因A1导致事件B发生的概率。贝叶斯公式(逆概率公式)(后验概率公式)，3-32，贝叶斯公式，如果A1，A2，an是完全事件群，那么对于任何随机事件B，都有：在公式中，P(Ai)称为先验概率p (Ai | b)称为事件的后验概率Ai，3-33，3.2随机变量及其概率分布，1。随机变量的概念，随机变量的

7、概率分布，随机变量的数字特征，常见的离散概率分布，常见的连续概率分布，3-34，随机变量表示随机测试结果的变量值是随机的，不可能预先确定取哪个值。对应于随机测试的可能结果由大写字母表示，如X、Y、Z.特定值由相应的小写字母表示，如X、Y、Z.根据不同的价值特征。它可以分为：离散随机变量的值可以逐个枚举，连续随机变量的值不能逐个枚举；3-35，离散随机变量的概率分布，x X的概率分布的有限可能值是xi与其概率pi(i=1，2，3，n)之间的对应关系。概率分布有以下两个基本性质：(1) pi0，I=1，2，n；(2)，3-36，离散概率分布的表示：概率函数：P(X=xi)=pi分布列表：分布图，3

8、-37，连续随机变量的概率密度，连续随机变量的概率分布只能表示为：数学函数概率密度函数f (x)和分布函数f连续随机变量取某个值的概率等于0。只能计算随机变量落在某个区间内的概率。由X轴上方和概率密度曲线下方的面积表示，3-38，概率密度f (x)、(1) f (x)0的性质。概率密度是一个非负函数。(2)所有区域中值的概率之和为1。随机变量x在一定区间(a，b)内的概率：3-39，分布函数，适用于描述两类随机变量的概率分布：f (x)=p x x，连续随机变量的分布函数，离散随机变量的分布函数，f (x)=分布函数和概率密度，3-40也称为均值，它描述随机变量概率分布的中心位置。离散随机变量

9、X的数学期望等价于以概率为权重的所有可能的平均连续随机变量的数学期望：3-41，数学期望的主要数学性质。如果k是常数，那么E (k X)=k E(X (x)对于任意两个随机变量X，y，有e (x y)=e (x) e (y)。如果两个随机变量x和y彼此独立，则e (xy)=e (x) e (y)，3-42，随机变量的方差，即其可能值与其平均值的平方偏差的平均值，被写成D(x)或2公式：它们的值越大，它们越离散，它们的概率分布曲线越平坦。方差的主要数学性质：如果k是常数，那么d(k)=0；D (kx)=K2D (x)如果两个随机变量x和y相互独立，那么d (x y)=d (x) d (y)，3-

10、44，例3-10，试着找出高质量产品数量的数学期望，方差和标准偏差。解：=0.6，3-45，两个随机变量的协方差和相关系数，协方差的定义，如果X和Y是独立的(不相关的)，CoV (X，Y)=0，即e (xy)=e (x) e (y)协方差在一定程度上反映了X和Y之间的相关性受2，3-46，相关系数的影响，相关系数具有以下性质：当=0时，相关系数为无量纲值0| | 1。 当| |=1时，两个变量是不相关的(没有线性相关性),两个变量完全线性相关，3-47，二项式分布(背景)，(背景)30，3-48，二项式分布。 在N倍伯努利检验中，“成功”x的次数服从参数为N和p的二项式分布，它被记录为x b

11、(n，p)二项式分布的概率函数：二项式分布的数学期望和方差：当n=1时，二项式分布变成两点分布(0-1分布)当二项式分布总是不对称时，峰值随着N在中心的右侧而无限增加，并且二项式分布接近正态分布，p=0.3，p=p0.5二项式分布图，3-50，例3-11，在某一单位中有四辆车，假设每辆车一年只损失一次，损失概率为0.1。试着在一年内询问单位：(1)没有丢失汽车的可能性；(2)损失一辆汽车的概率；(3)损失不超过2辆汽车的概率。解决方法：每辆车是否失败是相互独立的，失败的概率是相同的。因此，根据问题的含义，四辆车中损失的车数是X B (4，0.1)。，(1)猪(0，4，0.1) 1 0.6561

12、 (2)猪(1，4，0.1)-猪(0，4，0.1) 1 0.2916，(3)猪(2，4，0.1)单击任何空白单元格(作为输出单元格)，单击表单界面上的fx命令，单击“选择类别”中的“统计”，单击“选择功能”中的“BINOMDIST”，并填写成功试验的数量x(在本例中，为试验后，填写试验总数n(本例中为4)；在概率_s后填写成功概率p(本例中为0.1)；在累积后填入0(或FALSE)，表示成功计算的次数等于规定值的概率，“=二项式(2，4，0.1，0)”，用EXCEL计算二项式分布的概率，3-52，泊松分布，X服从泊松分布，表示为X P () :E (x)，随着的增加趋于对称。当是整数时，和(-

13、1)是最可能的值，3-53，泊松分布(应用背景)，它通常用作罕见事件发生时间x的概率分布模型。某一时间段内繁忙路口的交通事故数量、某一时间段内电话交换机接收的电话呼叫数量、泊松分布的共同特征以及任意两个小时间或空间间隔内的事件数量是相互独立的；每个间隔中事件的数量只与间隔的长度成正比，与间隔的起点无关；在足够小的时间间隔内，事件发生两次或两次以上的概率可以忽略不计，3-54，例3-12，假设某份报纸每版的打字错误数服从=2的泊松分布。随意浏览一页，然后问：(1)没有错别字的概率；(2)最多5个错别字的概率。解：设x=每个版本中的错别字数，则计算的概率为：泊松分布的概率由EXCEL计算，PPOI

14、S (0，2) 1 0.1353353，PPOIS (5，2) 1 0.9834364，3-55，二项分布的泊松近似，分布假设每个设备只需要一个维修工人，设备故障相互独立，每个设备的故障概率为0.01。设备出现故障且无法及时维修的概率有多大？解决方案：XB(n=80，p=0.01)，因为np=0.8非常小，它的概率可以通过泊松分布近似计算=0.8，1-PPOIS (3，0.8) 1 0.009079858，1-PBINOM (3使用非重复抽样的方法，从总体中提取N个单位。样本中具有一定特征的单位数X服从超几何分布，表示为X H (n，n，m)，数学期望和方差为33，360。当氮大而氮相对小时，它趋向于二项式分布(P=m/n