空间几何体的三视图表面积与体积汇总

1、9.1 空间几何体的三视图、表面积与体积,一、简单几何体的结构特征,简单几何体主要是指柱体、锥体、台体、球或几个几何体,的组合体.其中棱柱、棱锥是考试的重点.棱柱是有上下两个 平行平面,其余各面是相邻交线互相平行的平行四边形的几 何体;棱锥是有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点 的三角形的几何体,台体是用平行于底面的平面去截锥体,截 面与底面之间的部分.,二、空间几何体的投影、直观图、三视图,1.平行投影的投射线都是互相平行的,中心投影的投射线是,由中心一点发出的.,2.根据斜二测画法作空间几何体的要点是:与y轴、z轴平行 或重合的直线方向不变,长度变为原来的一半,而与x轴平行 或重合的

2、直线方向、长度都不变.,3.三视图是几何体的正(主)视图、侧(左)视图和俯视图的统 称.三视图之间的规律是:正俯长对正,正侧高平齐,俯侧宽相 等.三视图的摆放为正侧视图水平对齐,正俯视图竖直对齐.,画三视图时要注意线的实、虚分明.,三、简单几何体的表面积(或全面积)和体积,1.设圆柱的底面半径为r,母线长(即高为h)为l,则其侧面积为 2rl,全面积为2rl+2r2,体积为r2l.,2.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h,则其侧面积为 rl,全面积为rl+r2,体积为 r2h.,3.如果圆台的底面半径分别为R,r,母线长为l,高为h则其侧面 积为(r+R)l,全面积为(r+R)l+r2

3、+R2, 体积为 (r2+rR+R2)h.,4.棱柱,棱锥,棱台的体积公式分别为Sh, Sh, h(S+ +S).,5.设R为球半径,则球的表面积公式为S=4R2,体积为 R3.,说明:对柱体、锥体、台体而言,表面积包括底面积和侧面 积;对每个计算公式的理解和应用应与它们的侧面展开图统 一起来.,关于体积,柱体是底面积乘高,锥体是底面积乘高还要乘以三 分之一.,关于球的表面积和体积的问题关键是在于对球半径的求解.,1.如图所示,一个空间几何体的正(主)视图和侧(左)视图都是 边长为2的正方形,俯视图是一个直径为2的圆,则这个几何体 的全面积为 ( ),(A)2. (B)4. (C)6. (D)

4、8.,【解析】由三视图知该空间几何体为圆柱,所以其全面积为,122+212=6.,【答案】C,2.某几何体的俯视图是长为8、宽为6的矩形,正(主)视图是 一个底边长为8、高为5的等腰三角形,侧(左)视图是一个底 边长为6、高为5的等腰三角形.则该几何体的体积为( ),(A)24. (B)80. (C)64. (D)240.,【解析】由题可知,该几何体为四棱锥.其底面是长为8、宽 为6的矩形,棱锥的高为5.所以V= 865=80.,【答案】B,3.若一个底面是正三角形的三棱柱的正(主)视图如图所示, 则其表面积等于 .,【解析】由正(主)视图可知此三棱柱的底面是一个边长为2 的正三角形,且此三棱

5、柱的高为1.,所以三棱柱的两个底面积和为2 4=2 ,侧面积为321 =6.所以其表面积为6+2 .,【答案】6+2,题型1 几何体的侧面展开图,例1 如图,在侧棱长为2 的正三棱锥V-ABC中, AVB=BVC=CVA=40,过点A作截面AEF分别交VB、VC 于点E、F.求截面AEF周长的最小值.,【分析】一般来讲,求截面的周长或有关线段的长,都必须利,用化曲为直的方法转化为平面问题来处理.这里我们可以将 该棱锥体沿某条相关的棱剪开并平铺.,【解析】将正三棱锥V-ABC沿侧棱VA剪开,使其侧面展开图平铺在一个平面上,如图.则AE+EF+FA=AE+EF+FA1,因为AE+EF+FA1 AA

6、1,线段AA1(即A,E,F,A1 四点共线时)的长即为所求AEF周长的最小值.作VDAA1,垂足为D,由VA=VA1,知D为AA1的中点.由已知AVB=BVC=CVA1=40,得AVD=60.在RtAVD中, AD=VAsin 60=2 =3.即AA1=2AD=6.所以截面AEF周长的最小值为6.,【点评】求有关几何体表面上两点间的最小距离:(1)将几何 体沿着某棱剪开,画出其侧面展开图;(2)将所求曲线问题转 化为平面上的线段问题;(3)结合已知条件求得结果.,变式训练1 已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为直角三 角形,ACB=90,AC=6,BC=CC1= ,P是BC1上一动点

7、,如图 所示,则CP+PA1的最小值为 .,【解析】PA1在平面A1BC1内,PC在平面BCC1内,将其铺平后 转化为平面上的问题解决.计算A1B=AB1= ,BC1=2,又A1C1= 6,故A1BC1是A1C1B=90的直角三角形.铺平平面A1BC1、 平面BCC1,如图所示,CP+PA1A1C.,在A1C1C中,由余弦定理得,A1C= = =5 ,故(CP+PA1)min=5 .,【答案】5,题型2 三视图与直观图,例2 已知正三棱锥V-ABC的正(主)视图、俯视图 如图所示,其中VA=4,AC=2 ,求该三棱锥的表面积.,【分析】根据正(主)视图、俯视图画出直观图,利用相关数 据先求出直

8、观图中的斜高,再求表面积.,【解析】由正(主)视图、俯视图可得正三棱锥的直观图如 图所示.,由题可知,VA=VB=VC=4,AB=BC=AC=2 .取BC的中点D,连接VD,则VDBC,有VD= = = ,则SVBC= VDBC= 2 = ,SABC= (2 )2 =3 ,所以正三棱锥V-ABC的表面积为:,3SVBC+SABC=3 +3 =3( + ).,【点评】把几何体的表面积与体积的计算与三视图结合起 来进行考查是高考的一个热点,解决此类问题的关键是正确 地观察三视图,把它还原为直观图.特别要注意从三视图中得 到正确的几何体的相关量,如本题的正(主)视图中AB的长度 并不等于2 ,其视图

9、实际上是直观图中AD,而俯视图中的 AB长度才等于2 .否则,计算就会出现问题.,变式训练2 如图所示,在下列几何体各自的三视图中,有且 仅有两个视图相同的是 ( ),(A). (B). (C). (D).,【解析】正方体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图都是正 方形;圆锥的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图依次是三角,形、三角形和圆;三棱台的正(主)视图、侧(左)视图、俯视 图都不相同;正四棱锥的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图 依次为三角形、三角形、正方形.,【答案】D,题型3 几何体的表面积或体积,例3,如图所示的三棱锥O-ABC为长方体的一角,其中OA、OB、OC两两垂直,三个侧面

10、OAB、OAC、OBC的面积分别为1.5 cm2、1 cm2、3 cm2.求三棱锥O-ABC的体积.,【分析】根据几何体的结构特点,本小题可采用等体积法.从 A、B、C中任取一点为三棱锥的顶点,另外三点所在的平面 为底面求体积.,【解析】设OA、OB、OC的长依次为x cm、y cm、z cm,则由已知可得,xy=1.5, xz=1, yz=3.,解得x=1,y=3,z=2.,显然三棱锥O-ABC的底面积和高是不易求出的,于是我们不 妨转换视角,将三棱锥O-ABC看成以C为顶点,OAB为底面,易 知OC为三棱锥C-OAB的高.,于是VO-ABC=VC-OAB= SOABOC= 1.52=1(c

11、m3).,【点评】等体积变换法:从不同的角度看待原几何体,通过改 变顶点和底面,利用体积不变的原理,来求原几何体的体积.,变式训练3 一等边圆锥(轴截面为正三角形)内接于一球,若 圆锥底面半径为r,求该球的体积和表面积.,【解析】如图,设圆锥的轴截面截球面为大圆O,S为圆锥的 顶点,SC为轴,又设球半径为R.SC的延长线交大圆O于M,由MCAACS,得 = ,即AC2=SCCM,由AC=r,则SC= r,CM=2R- r,故r2=( r)(2R- r), 所以R= r,由球的体积公式和表面积公式,得V= R3= r3,S=4R2= r2.,1.需要明确几何体的结构特征与其侧面展开图之间的统一

12、性,对求侧面积和求线段长的最值有着必然的联系.所以对一 些常见的几何体的侧面展开图应该熟悉.,2.把握好三视图与直观图之间的转化,学会读图绘图.熟悉三 视图的规则和斜二测画法规则.,3.对于几何体的表面积和体积的计算,一是公式不能用错,二 是计算一定要仔细.因为这类题型本身考查的就是计算能力.,例,如图所示,在下列条件中,能推断该几何体是三棱台的是 .,A1B1=2,AB=3,B1C1=3,BC=4;,A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=3;,A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=4;,A1B1=AB,B1C1=BC,A1C

13、1=AC.,【错解】因为台体是由锥体用平行于底面的平面所截而得 到的,所以要使这个几何体为台体,只需A1B1AB,B1C1BC, A1C1AC.由所给条件知、满足,故填.,【剖析】本题的错因在于对概念的内涵把握不准,判断一个,几何体是否为台体,必须紧扣台体的两个基本特征:一是由锥 体截得;二是截面与锥体的底面平行,这就要求对应边的比值 相等且不为1.,【正解】因为台体是由锥体用平行于底面的平面所截而得 到的,所以要使这个几何体为台体,只需A1B1AB,B1C1BC, A1C1AC,且对应边的比值相等但不为1,故正确答案为.,【答案】,一、选择题(本大题共5小题,每小题6分),1.(基础再现)若

14、一个正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则这 个棱锥一定不是 ( ),(A)三棱锥. (B)四棱锥. (C)五棱锥. (D)六棱锥.,【解析】因为正六边形的边长等于其外接圆的半径,而如果 侧棱长等于底面边长的话,则其侧棱与底面半径相等,所以这 个棱锥一定不是正六棱锥.,【答案】D,2.(基础再现)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体 的表面积为 ( ),(A)72. (B)66. (C)60. (D)30.,【解析】由三视图可知,几何体是一个底面边长分别为3、4 的直角三角形,高为5的三棱柱,且每个侧面都是矩形,故其表 面积S=2 34+35+45+55=72.,【答案】A,3.(基础再现)已知

15、水平放置的ABC是按“斜二测画法”得 到如右图所示的直观图,其中BO=CO=1,AO= ,那么原 ABC是一个 ( ),(A)等边三角形.,(B)直角三角形.,(C)三边中只有两边相等的等腰三角形.,(D)三边互不相等的三角形.,【解析】依斜二测画法的规则可得,BC=BC=2,AO=2AO=2 = .易知原ABC为等边三角形.,【答案】A,4.(视角拓展)一个圆锥和一个半球有公共底面,如果圆锥的 体积和半球的体积相等,则它的母线与轴所成角正弦值为( ),(A) . (B) . (C) . (D) .,【解析】设圆锥底面半径为r,母线为l,轴长为h,则依题得 r 3= r2h,即h=2r,所以母

16、线l= = r,故母线与轴所成角正 弦值为 = .,【答案】C,5.(高度提升)一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分 几何体,余下的几何体的三视图如图,则该圆锥的体积为 ( ),(A) .,(B) .,(C)3.,(D) .,【解析】该几何体的直观图如图所示,由正(主)视图得PB= ,由侧(左)视图得BC= ,由俯视图得OB=1,由勾股定理算 得OC=OP=2,所以该圆锥的体积V= (22)2= .,【答案】B,二、填空题(本大题共4小题,每小题7分),6.(基础再现)由若干个小正方体组成的几何图形的三视图如 下图所示,则组成这个组合体的小正方体的个数是 .,【答案】5个,7.(视角拓展)

17、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为 2,这个球的表面积为12,则这个正四棱柱的体积为 .,【解析】因为正四棱柱的体对角线长等于球的直径.易知R= ,设底边长为x,则(2 )2=2x2+22,可得底面边长等于2,所以体 积等于8.,【答案】8,8.(视角拓展)圆柱的侧面展开图是边长为6和4的矩形,则 圆柱的表面积为 .,【解析】分两种情况,即底面圆的周长可以为6和4.,【答案】242+8或242+18,9.(高度提升)某几何体的一条棱长为 ,在该几何体的正(主) 视图中,这条棱的投影是长为 的线段,在该几何体的侧(左) 视图与俯视图中,这条棱的投影长分别是a和b.则a+b的最大 值是 .,

18、【解析】如图,在空间直角坐标系O-xyz中,棱PC的正(主)视 图为PD,PC在面xOz上的投影为PB,俯视图为OC,则,PC= ,PD= ,PB=a,OC=b,设OB=x,OD=y,OP=z,则,上式相加得a2+b2+( )2=2(x2+y2+z2)=2( )2,a2+b2=8.,由 得a+b4.,【答案】4,三、解答题(本大题共3小题,每小题14分),10.(视角拓展)已知正方体AC1的棱长为a,E,F分别为棱AA1与 CC1的中点,求四棱锥A1-EBFD1的体积.,【解析】因为EB=BF=FD1=D1E= = a,所以四棱锥A1-EBFD1的底面是菱形,连接EF,则EFBEFD1,由于三棱锥A1-EFB与三棱锥A1-EFD1等底同高,所以 =2 =2,=2 a= a3.,11.,(高度提升)如图,将半径为72 cm的扇形OAB剪去小扇形 OCD,余下的扇环ABCD的面积为648 cm2,围成一个圆台,圆 台的下底与上底半径之差是6 cm,求圆台的高.,【解析】设圆台的上下底半径,母线长分别为r,R,l,其轴截面 如图所示.,根据题意,解得r=6,R=12,l=36.,设圆台高为h,h= = =6 cm.,12.(能力综合)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正 (主)视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧(左)视 图