数学物理方程

1、Part 数学物理方程,教材：数学物理方法（梁昆淼 高教出版社 第三版） 参考：数学物理方法学习指导（姚端正 科学出版社）,授课内容,数学物理定解问题 （Chap.7） 分离变数（傅里叶级数）法 （Chap.8） 球函数（Chap.10） 柱函数（Chap.11）,Chap. 7 数学物理定解问题,数学物理方程的导出 定解条件 数学物理方程的分类 达朗贝尔公式 定解问题 本章小结,7.1 数学物理方程的导出,常见的数学物理方程 1. 波动方程 2. 输运方程 3. 稳定场方程,导出的步骤 1. 确定研究对象（物理量） 2. 分析物理过程，提炼物理模型 3. 建立方程，化简整理，推广,波动方程,

2、均匀弦的微小横振动 问题：一根长为L的均匀弹弦，不计重力，不受外力。其张力为T，线密度为。求弦的微小横振动的规律。 分析：设弦平衡时沿x轴，考虑弦上从x到x+dx的一段，其质量为dx。设弦的横振动位移为u(x,t)，则,由牛顿第二定律 dxutt=T2sin2- T1sin1 0 = T2 cos2- T1 cos1 微振动条件 cos1 = cos2= 1 sin1 = tan1 = ux(x,t) sin2= tan2 = ux(x+dx,t) 于是有 T2 =T1=T uttdx=Tux(x+dx,t)-ux(x,t) 化简后得到 utt = T uxx utt = a2 uxx,a2

3、= T/,波动方程,推广1 情况：受迫振动（考虑重力或外力） 分析：设单位长度所受到的横向外力F(x,t)，则dx段的受力为Fdx 方程：utt = T uxx+ F utt = a2 uxx+ f，f = F/,波动方程,推广2 情况：均匀杆的纵振动问题 分析：张力T变成杨氏模量Y 方程： utt = Y uxx+ F utt = a2 uxx+ f 推广3 情况：三维情况 分析：位移u成为空间变量x,y,z和时间t的函数 方程：,问题：扩散问题中研究的是浓度u在空间的分布和在时间中的 变化。 分析：扩散现象遵循扩散定律，即q= - D u，q是扩散流强 度，D是扩散系数，u是浓度梯度。对于

4、三维扩散问题， 考察单位时间内小体积元dxdydz的净流入量。,扩散方程,扩散方程,在x，y，z方向上，单位时间内净流入量为,如果体积元内没有源或汇，由粒子数守恒知，体积元中单位时间内增加的粒子数等于单位时间内净流入的粒子数,输运方程,一维热传导 问题：一根长为L的均匀导热细杆， 侧面绝热，内部无热源。其热传导 系数为k，比热为c，线密度为。 求杆内温度变化的规律。 分析：设杆长方向为x轴，考虑杆上 从x到x+dx的一段，其质量为dx， 热容量为cdx 。设杆中的热流沿x 轴正向，强度为q(x,t)，温度分布为 u(x,t)，则,由能量守恒定律 c dx du=dQ =q(x,t)-q(x+d

5、x,t)dt =-qx(x,t)dxdt 于是有 c ut = -qx 由热传导定律 q(x,t) = -k ux(x,t) 代入前面的式子，得到 c ut = k uxx ut = a2 uxx,a2 = k/(c),扩散方程和输运方程,扩散和输运方程具有共同的形式：,对于有源扩散或者有源输运（或者侧面不绝热），则方程的形式变化为：,源的强度,稳定场方程,概念 产生：在演化问题中，有时会到达一个不随时间变化的稳定状态，对应的方程称为稳定场方程。 形式：在对应的演化方程中取消时间变量t，对t的导数为零。 分类 无外界作用情况 拉普拉斯方程： u = uxx + uyy + uzz = 0 有外

6、界作用情况 泊松方程：u = uxx + uyy + uzz = f(x,y,z) 典型应用 静电场方程： u = -/ 稳定温度分布： u = - F/k,小 结,波动方程、扩散（输运方程）和稳定场方程的形式分别为：,作业：P152 3,4,7.2 定解条件,方程 ut(t) = 0 能不能求解？解是什么？ 能不能定解？该怎么办？ 方程 uxx(x) = 0 能不能求解？解是什么？ 能不能定解？该怎么办？ 由此可归纳出 数学物理方程的通解含有任意常数，要完全确定这些常数需要附加条件。,一、定解问题的提出,二、初始条件,意义 反映系统的特定历史 分类 初始状态（位置），用 u |t=0 = (

7、x,y,x)表示； 初始变化（速度），用 ut|t=0 = (x,y,z)表示。 典型例子 一维热传导 未知函数对时间为一阶，只需一个初始条件 一端温度为a，均匀增加到另一端温度为b u |t=0 = a+(b-a)x/L,初始条件,一维弦振动 未知函数对时间为二阶，需要两个初始条件 初始位移 处于平衡位置： u|t=0 = 0 两端固定，在c点拉开距离h： u|t=0 = hx/c， 0xc; u|t=0 = h(L-x)/(L-c)，cx 0 为双曲型，如波动方程； = 0 为抛物线型，如热传导方程； 0 为椭圆型，如稳定场方程。,判断：,推导过程,关于自变量 x，y的二阶线性偏微分方程（

8、系数都是x，y的函数）,作自变量代换,于是，方程化为：,取特解做新的自变量，使A11和A22为零，方程可以简化。特解满足的方程为：,把z(x,y)=常数当做定义隐函数y(x)的方程，则dy/dx = -zx/zy， 于是得到二阶线性偏微分方程的特征方程：,三、叠加原理,原理： 线性方程的解可以分解成几个部分的线性叠加，只要这些部分各自满足的方程的相应的线性叠加正好是原来的方程 如：L u1 = f1 L u2 = f2 则：L (au1+ bu2)= af1 + bf2 应用： 齐次方程的两个解的线性组合仍为原方程的解； 非齐次方程的特解加对应的齐次方程的解，结果为非齐次方程的解； 两个非齐次

9、方程的解的线性组合，为一个新的非齐次方程的解，新方程的自由项为原方程自由项的同样组合。,7.4 达朗贝尔公式 定解问题,定解问题的求解思路 原则：由已知猜未知 方法：类比法 步骤：由泛定方程求通解，由条件定特解。 泛定方程的求解 达朗贝尔公式的推导 达朗贝尔公式的应用,一、泛定方程的求解,常微分方程 方程：u = 2a x 通解：u = a x2 + C 偏微分方程 方程：ux = 2y x 通解：u = y x2 + C(y) 二阶方程：uxy = 0 对y偏积分： ux = C(x) 通解： u = C(x) dx + D(y) = f(x) + g(y),二、达朗贝尔(D Alember

10、t )公式,以均匀弦的横振动为例来推导达朗贝尔公式,方程形式：,定解条件：,推导步骤：,1）由方程求通解 2）由初始条件确定通解中的待定系数,1）达朗贝尔公式的推导（求通解）,通解的物理意义：以速度a沿x轴正负方向移动的行波。,达朗贝尔公式的推导（求特解）,达朗贝尔公式,2）达朗贝尔公式的物理意义,若初始条件为：,初始位移分为两半，分别向左右两个方向以速度a移动。 这两个行波的和给出各个时刻的波形,若初始条件为：,3）达朗贝尔公式的应用,a) 半无限长弦的自由振动：,初始条件只是在x0才有意义，在x0的区域上弦并不存在。 因此，若时间增加到x-at0，达朗贝尔公式中(x-at)和积分项 就失去

11、了意义，公式也不能应用了。,方法：把半无限长弦当做无限长弦的x0的部分。无限长弦在振动过程中，点x=0保持不动。因此，无限长弦的位移u(x,t)应当是奇函数，初始位移和初始速度也都是必须是奇函数，,这样，通过奇“延拓”的方式，把方程和初始条件从半无界区间 延拓到整个无界区间,现在就可以应用达朗贝尔公式进行求解。和无界区间的解相比， 端点的影响表现为反射波，即存在半波损失。,b) 无限长自由振动,解：将初始条件代入达朗贝尔公式,c) 边界条件举例,任意给定初始条件 u|t=0 = 2 exp(-x2), ut|t=0 = 0 附加边界条件 u|x=0 = 0 ux|x=0 = 0 u|x=0 =

12、 u0 u|x=0 = 0, u|x=L = 0 ,三、定解问题是一个整体 一般情况下，不可能先求偏微分方程的通解，然后再考虑定解条件，必须同时考虑这两方面。 四、定解问题的适定性 1）有解 2）解是唯一的 3）解是稳定的,？,本章小结,波动方程 输运方程 拉普拉斯方程 泊松方程 第一类 第二类 第三类 周期性 有界性,演化方程 稳定方程 线性边界条件 自然边界条件 初始状态 初始速度,泛定方程 边界条件 初始条件,定解问题,先求泛定方程的通解的方法只适用于很少数的某些定解问题。,是否存在一种基本的解法适用于大量的各种各样的定解问题呢？,能否把偏微分方程变换成常微分方程，再求解呢？,Chap.

13、8 分离变数法,齐次方程的分离变数法 非齐次问题的求解 非齐次边界条件的处理 泊松方程 本章小结,8.1 齐次方程的分离变数法,一、分离变数法介绍,两个固定的端点会引起波的反射，从而在(0,L)之间存在两列 反向进行的同频率的波形成驻波。,驻波的特点：驻波没有形成波形传播，相邻波节之间各点振动相位相同，表示为T(t)，但是这些点的振幅却随位置的变化而变化，振幅随位置的变化可以表示为X(x)。 于是，驻波的一般表示式具有分离变数的形式：,把驻波的分离变数的形式代入振动方程和边界条件中,1） 定解问题的分离变数,未知函数分离：,泛定方程分离：,边界条件分离：,分离结果：,2）分离结果的求解,空间方

14、程：,时间方程：,3）系数的确定,把方程的一般解代入到初始条件中，,上两式的左边是傅里叶正弦级数，把右边的函数展开为傅里叶正弦级数，比较两边的系数就可以确定An和Bn,分离变量过程小结,偏微分 方 程,本征值方程1 解1,常微分方程2 解2,解1解2,所求解,分离变数法（傅里叶级数法）,我们以两端固定的均匀弦的自由振动为例介绍了分离变数法的基本思想和求解过程。 用分离变数法得到的定解问题的解一般是无穷级数。在实际的问题中，级数里常常只有前若干项比较重要，后面的项则迅速减小，从而可以略去。,二、典型问题的求解（波动方程）,例题1：两端自由的棒的纵振动,写出定解问题的方程：,分离变数：,求解本征值

15、问题：,求解时间方程：,代入初始条件，确定系数：,三、典型问题的求解（输运方程）,例题2：研究细杆导热问题。初始时刻杆的一端温度为零度，另一端温度为u0，杆上温度梯度均匀，零度的一端温度保持不变，另一端绝热，求杆上温度的变化。,分离变量：,分析：一端为第一类齐次、另一端为第二类齐次边界。,定解方程：,方程求解：,代入初始条件，确定系数：,思 考 题,如何求解第三类边界条件的波动问题和输运问题？,如何用分离变数法求解稳定场问题？,四、稳定场问题的分离变数法,拉普拉斯方程 矩形区域问题 圆形区域问题,1）拉普拉斯方程（矩形区域）,例题3：散热片的横截面为矩形，它的一边y=b处于较高的温度U，其它三

16、边y=0，x=0和x=a处于冷却介质中因而保持较低的温度u0，求解横截面上的稳定温度分布u(x,y)。,定解问题,分析：这是二维拉普拉斯方程的第一类边值问题。边界条件不可能全部是齐次的，通常的做法是把一些边界条件化为齐次。,把v和w满足的泛定方程和边界条件分别叠加起来就是 u满足的方程和边界条件。因此分别求v和w的方程就可 以得到未知函数u的解。,根据本例的实际情况，有一个特殊的简单方法：,可以用分离变数法求解，只需要把关于y的 边界条件看做是分离变数法中的初始条件 的地位。,分离变数：,求解本征值方程：,求解Y满足的方程：,关于v的一般解：,代入非齐次边界条 件，确定系数,定解问题的解为：,

17、2）拉普拉斯方程（圆形区域）,例题3：匀强电场中，有半径为a，电势为零的圆柱导体，求导体外的稳定的电势分布。,定解问题（极坐标下）,分析：导体外的电势具有轴对称性，做垂直导体 线方向的横截面，则可以在极坐标下研究问题。,分离变数：,求解本征值问题：,求解径向方程：,方程的一般解：,带入边界条件， 确定系数：,8.2 非齐次振动方程和输运方程,一、傅里叶级数法,分离变数法的结果显示，方程的解可以展开为 傅里叶级数，傅里叶级数的形式决定于边界条件。,对于非齐次振动方程和输运方程，如果边界条件 依然是齐次的，可以先把所求的解展开为傅里叶 级数，级数的形式取决于该问题齐次方程在所给 定的齐次边界条件下

18、的本征函数。,傅里叶级数的系数是时间t的函数。,典型问题的求解,例题1：求解定解问题,二、冲量定理法,对于非齐次泛定方程，如果边界条件和初始条件都是齐次的，则可以用冲量定理法进行求解。 如果初始条件是非齐次的，可以转化为齐次后，再运用冲量定理求解。,冲量定理法的物理思想,冲量定理法的基本物理思想是把持续作用力看成许许多多前后相继的“瞬时”力，把持续作用引起的振动看作所有“瞬时”力引起的振动的叠加。,“瞬时”力引起的振动记为u()(x,t)，其定解问题为：,(1),(2),定解问题（1）和（2）是等价的。,从定解问题（2）的初始条件可以看出，u()必含有因子d，因此可以令： u()(x,t) =

19、 v(x,t,)d，则定解问题变为，,现在可以用分离变数法或者傅里叶级数法莱求解这个定解问题，唯一要注意的问题是，前面讲的两种方法的初始时刻是零，这里的初始时刻为，因此前两种方法解中的t，在这里应该换成t-。,原定解问题的解应该是所有瞬时力引起的振动的叠加，,例题2：求解定解问题,解：应用冲量定理，先求解,参照边界条件，把v展开为傅里叶余弦级数,代入泛定方程，分离出Tn的常微分方程,Tn的解是,v的解为,系数由初始条件确定,比较两边系数，得,v的解最终为,所求的解为,回顾：非齐次方程的求解,傅里叶级数法,冲量定理法,例题3：求解定解问题,解法1：（傅里叶级数法）,解关于T的常微分方程，得：,最

20、后得到所求的解：,解法2：（冲量定理法）,则原定解问题变为求解v的定解问题：,运用分离变量法或者傅里叶级数法均可求解， 最后，得到与解法一相同的结果。（过程略）,8.3 非齐次边界条件的处理,运用分离变数法、傅里叶级数法或冲量定理法求解的定解问题只是齐次边界条件问题。 在实际问题中，常常有非齐次边界条件出现，这样的问题又如何求解呢？能不能运用我们学过的这几个方法求解呢？ 方法：利用叠加原理，把非齐次边界条件问题转化为另一个未知函数的齐次边界条件问题，再进行求解。,例题1：求解定解问题,选取一个函数v(x,t)，使其满足非齐次边界条件，不妨取 v(x,t)为x的线性函数，即,尽管这个定解问题的泛

21、定方程是非齐次的，但边界条件 是齐次的。因此可以利用傅里叶级数法求解。 如果是第二类非齐次边界条件，则v(x,t)的形式可以设为,例题2：弦的x=0端固定，x=l端受迫做谐振动 Asint，弦的初始位移和初始速度都是零，求弦的振动。,定解问题为：,由于求解的是弦在x=l端受迫做谐振动Asint情况下的振动， 从物理上分析，它一定有一个特解v(x,t)，满足齐次方程和非 齐次边界条件，且跟x=l端同步振动，即其时间部分的函数也 是Asint，于是特解可以表示成分离变数的形式，,代入到定解问题中去，可分离出关于X(x)的方程和定解条件，,求解这个常微分方程的定解问题，最后可以得到特解v为,这个定解

22、问题是齐次方程、齐次边界条件，可用分离变数 法求解，其解为：,最后，所求的解为：,回顾拉普拉斯方程的求解,矩形区域,圆形区域,8.4 泊松方程,泊松方程是有外源的稳定场方程，它的形式为：,由于泊松方程与时间无关，显然不能用冲量定理来求解。,求解的思路是：采用特解法，即先不管边界条件，任取泊松方程的一个特解v，然后令u=v+w，把问题转化为求w，而w满足拉普拉斯方程。,* 在极坐标中运用分离变数法求解拉普拉斯方程 可以得到一般解：,这是一个拉普拉斯方程的定解问题，可以利用分离变数法求解。,本章小结,基本方法 齐次问题：分离变量法； 非齐次问题：特解法。 常用本征方程 齐次边界条件 第一类齐次边界

23、条件 第二类齐次边界条件 第三类齐次边界条件I 第三类齐次边界条件II 自然边界条件 周期性边界条件 有界性边界条件,常用本征方程 齐次边界条件,常用本征方程 自然边界条件,Chap. 10 球函数,轴对称球函数 连带勒让德函数 一般的球函数 本章小结,球坐标系下的拉普拉斯方程,球坐标系,球坐标系下拉普拉斯方程的求解,球函数方程的求解,10.1 轴对称球函数,在m=0情况下，连带勒让德方程简化为勒让德方程,勒让德方程结合自然边界条件（在球坐标系的极轴上有限） 构成本征值问题，定解称为勒让德多项式,一、勒让德多项式的性质,1. 前几项,2. 一般表示,级数表示,微分表示,积分表示,罗德里格斯公式

24、,施列夫利积分,3. 勒让德多项式的模和正交关系,4. 广义傅里叶级数,5. 母函数和递推公式,母函数,递推公式,递推公式的证明,递推公式的应用,勒让德多项式模的计算,二、拉普拉斯方程的轴对称定解问题,10.2 连带勒让德函数,在m0情况下，勒让德方程变为连带勒让德方程,这个方程如何求解呢？,代入到连带勒让德方程中，得到关于y的微分方程,这个方程与把勒让德方程逐项求导m次得到的结果一致。 因此，它的解就是勒让德方程的解P(x)的m阶导数，,一、连带勒让德函数的性质,1. 前几项,2. 一般表示,微分表示,积分表示,称为罗德里格斯公式，当l-m=2n时，为偶函数； 当l-m=2n+1时，为奇函数

25、。,称为施列夫利积分,3. 连带勒让德多项式的模和正交关系,4. 广义傅里叶级数,5. 连带勒让德函数的递推公式,递推公式的证明,二、连带勒让德函数的应用,例题4：半径为a的球面上电势分布为 f = Asin2cossin， 确定球内空间的电势 u 。,解：,10.3 一般的球函数,球函数的概念 球函数的性质 球函数的归一化 球函数的应用,一、球函数的概念,二、球函数的前几项,三、球函数的性质,对称性,正交性,球面上函数的广义傅里叶级数,四、球函数的归一化,归一化的球函数,正交性,完备性,五、球函数的应用,例题1：半径为a的球面上电势分布为 f = Asin2cos2，确定 球内空间的电势 u 。,解：,非对称稳定问题的求解,本 章 小 结,一般球面边界稳定问题的半通解为,转动对称球面边界稳定问题的半通解为,轴对称球面边界稳定问题的半通解为,Chap. 11 柱函数,柱函数的基本性质 贝塞尔方程 虚宗量贝塞尔方程 球贝塞尔方程 本章小结,柱坐标系下的拉普拉斯方程,柱坐标系,柱坐标系下拉普拉斯方程的求解,Z、R常微分方程的求解,于是，我们共得到三类贝塞尔方程： 贝塞尔方程 虚宗量贝塞尔方程 球贝塞尔方程,这三类贝塞尔方程的解是什么呢？,11.1 三类柱函数,三类柱函数,