数据的平稳性及其检验

1、对稳定性检验的示例确定给定随机的时间序列，其首先根据该序列的时间路线图大致确定是否稳定。 平稳的时间序列往往代表图表上围绕其平均值的不断变动的过程的非稳态序列倾向于表示不同的时间段具有不同的平均值(例如，持续上升还是持续下降)。 可以进一步验证判定：个样本自相关函数及其模式，并且随着延迟阶的增加，样本自相关函数下降并趋于为零。 但是，从下降速度来看，稳态序列比非稳态序列快得多。 例1、从图表来看，样品的平均值在0附近上下变动，样品的自相关系数迅速下降到0，然后在0附近变动，逐渐收敛到0。 因此，初步判断这一随机过程是一个稳定的过程。 例2 :这个序列具有相同的平均值，从样本自相关图来看，自相关

2、系数迅速下降到0，但随着时间的经过，在0附近变动，有发散倾向。 因此，初步判断这一随机过程是非稳态过程。 稳定性的单位根检查除了用图表直观地判断时间序列的稳定性之外，用统计量进行统计检查更正确更重要。 单位根检验是一种在统计检验中广泛应用的检验方法。 1、DF检测发现随机游离系列Xt=Xt-1 t非常稳定，其中t为白噪声。 可以将该序列看作随机模型Xt=Xt-1 t中的参数=1的情况。 也就是说，回归式Xt=Xt-1 t (* )，在发现=1的情况下，随机变量Xt中有单位根。(* )式的可变形式为差分形式： xt=(1-)xt-1t=xt-1t(* )，也可以验证(* )式中单位根=1是否存在

3、(* )式中是否存在=0。 一般来说，要验证：时间序列Xt的稳定性，要验证具有切片项的1次自回归模型XT=XT-1t(* )的参数是否小于1。 或者确认其等效变形形式xt=xt-1t(* )的参数小于0。 因此，对表达式XT=XT-1t感兴趣的检验是零假设H0:=0。 准备假设H1:0，上述的检查可以通过基于OLS法的t检验完成。 但是，在零假设(系列非稳态)中，即使是大样本，t统计量也有偏差(向下偏移)，所以不能使用通常的t检验。 Dicky和Fuller在1976年提出了按照此时的t统计量的分布(此时的t统计量称为统计量)，也就是DF分布(参照表9.1.3 )。 因为t统计量的下偏性，显示

4、出小于零值的偏分布。 因此，可以用OLS法估计XT=XT-1t，计算t统计量的值，并与DF分布表中给出的有效水平上的阈值进行比较：如果是t阈值，则拒绝零假设H0:=0，认为时间序列上不存在单位根据，是稳定的。 注意：每个教科书有不同的记述，但结果是一样的。 例如，如果“计算出的t统计量的绝对值大于阈值的绝对值，则=0”的假设被拒绝，原始序列中不存在单位根，是稳定序列。 进一步问题：在上述使用XT=XT-1t的时间序列的稳定性检查中，实际上，假设时间序列是由具有白噪声的随机误差项的一次自回归过程AR(1)生成的。 然而，在实际检验中，时间序列可能由较高阶自回归过程产生，或者随机误差项不是白噪声，

5、而是用OLS法估计的话，随机误差项表示自相关，DF检验变得无效。 另外，如果包含了时间序列上有明显的时间变化的倾向(上升和下降等)，也容易引起上述检定中的自相关随机误差项的问题。 为了保证DF检验中随机误差项的白噪声特性，Dicky和Fuller对DF检验进行了扩展，形成了ADF(Augment Dickey-Fuller )检验。2、ADF检验、ADF检验由以下三个模型完成：模型3的t是时间变量，表示时间序列有时间变化的倾向。 检验的假定是对于H1: 0存在H0:=0，即单位根。 模型1和其他两个模型的区别在于是否包含常数项和趋势项。 实际的检查从模型3开始，模型2，模型1。 拒绝零假说时，

6、也就是说在原系列中不存在单位根据，以稳定的系列，验证检查什么时候停止了。 否则，继续检查直到模型1被检查。 检查原理与DF检查相同，只有在检查模型1、2、3时，才有各自的阈值。 同时估计上述三个模型的适当形式，用ADF阈值表验证零假设H0:=0。 1 )一个模型的检查结果拒绝零假设的情况下，可以认为时间序列是稳定的2 )三个模型的检查结果不能拒绝零假设的情况下，认为时间序列不稳定。 这里，模型的适当形式是指为每个模型选择适当的滞回性差分项(主要保证不存在自相关)，使得模型的残差项成为白噪声。 简单的检验过程：单调、倾向平稳、差分平稳的随机过程，随机游动序列Xt=Xt-1 t在差分后等效变形为X

7、t=t。 由于t是白噪声，所以差分后的序列Xt很平稳。 整数，一般，某个时间序列经过d次差分成为稳定序列，元序列被称为d次整数(integrated of d )序列，表示为I(d )。 显然，I(0)表示平静的时间序列。 现实的经济生活中： 1 )只有少数经济指标的时间序列很平稳，例如用利率等来表示2 )很多指标的时间序列不平稳。 比如，价格指数中总是2层单调，以不变价格表示的消费额、收入等总是1层单调。 大多数非稳定的时间序列通常以一次或多次差的形式是稳定的。 然而，一些时间序列，不管经过多少次差异，都不会平静。 这种系列被称为非集成(non-integrated )。 一个时间序列以一次

8、差变得稳定，元序列被称为一阶单整数(integrated of 1 )序列，并表示为I(1)。 777777777777777777777777777卡卡卡卡卡卡卡卡这种现象被称为虚假回归或伪回归。 例如，用中国的劳动力时间序列数据和美国的GDP时间序列数据回归，可以得到高R2，但两者不认为有直接的关联，只是有共同的倾向，这个回归结果被认为是虚假的。 为了避免这种虚假回归的发生，通常通过导入作为趋势变量的时间，包含时间趋势变量的回归能够消除该倾向的影响。 然而，仅当趋势变量是确定性的而不是概率的时候，此方法才有用。 也就是说，在包含某个确定倾向的非稳定时间序列的情况下，可以通过导入表示该确定倾

9、向的倾向变量来分离确定倾向。 如果1 )=1，=0，则(* )式成为带位移的随机游动过程：从Xt= Xt-1 t (* )的正负，Xt显示出明显的上升或下降倾向。 这种倾向称为随机性倾向(stochastic trend )。 2 ) 0，0的话(* )式就成为有时间倾向的随机变化的过程： Xt=t(* )的正负显示出xt明显上升或下降的倾向。 这种倾向被称为确定性倾向。另外，XT=tXT-1t(* )考虑到：t包括白噪声，t包括时间趋势的一次自回归。 3 ) 1，0时，Xt有确定性和随机性两种倾向。 另外，判断不稳定的时间序列，该倾向是随机还是确定可以通过ADF检查中使用的第3模型判断。 在这个模型中导入了表示确定倾向的时间变量t，确定倾向的影响被分离。 (1)检查结果显示，在给定的时间序列中有单位根，时变量前的参数显着非零，则该序列显示随机倾向；(2)在没有单位根，时间变量前的参数显着不同于零时，该序列显示确定性倾向。 可以用差分的方