《高考专题提升》数学文科第三部分专题突破6圆锥曲线整合

1、第2课时,圆锥曲线中的最值问题,圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、 面积等的最值问题；另一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值 问题. 解决有关最值问题时，首先要恰当地引入变量(如点的坐 标、角、斜率等)，通过回归定义，结合几何知识，建立目标函 数，利用函数的性质或不等式等知识以及观图、设参、转化、 替换等途径来解决,例 1：(2013 年广东)已知抛物线 C 的顶点为原点，其焦点,F(0，c)(c0)到直线 l：xy20 的距离为,.设 P 为直线 l,上的点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA ，PB，其中 A，B 为切点 (1)求抛物线 C 的方程； (2)当点 P(x

2、0，y0)为直线 l 上的定点时，求直线 AB 的方程； (3)当点 P 在直线 l 上移动时，求|AF|BF|的最小值,所以 x1x02y02y10，x2x02y02y20,所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0 x2y02y0的两组解. 所以直线 AB 的方程为 x0 x2y2y00.,(3) 由抛物线定义可知|AF|y11，|BF|y21, 所以|AF|BF|(y11)(y21)y1y2(y1y2)1.,【思维点拨】本题的关键在于求直线 AB 的方程,所以切线 PA 的方程为 x1x2y2y10 ，切线 PB 的方程,为 x2x2y2y20,因为切线 PA ，PB 均过点 P(x0

3、，y0)，所以 x1x02y02y1,0，x2x02y02y20,所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程 x0 x2y02y0 的两组解. 所以直线 AB 的方程为 x0 x2y2y00.,【突破训练】,(1)求椭圆 C 的方程； (2)在椭圆 C 上，是否存在点 M(m，n)使得直线 l：mxny 1 与 O：x2y21 圆相交于不同的两点 A，B，且AOB 的 面积最大？若存在，求出点 M 的坐标及相对应的AOB 面积； 若不存在，请说明理由,圆锥曲线中的定值(点)问题,作为高考的一个热点，从考纲的要求以及全国各省高考命 题的趋势来看，圆锥曲线背景下的定点与定值问题要引起我们 的高度重视

4、，特别是和向量、不等式的结合关于定点与定值 问题，一般来说从两个方面来解决：(1)从特殊入手，求出定点 或定值，再证明这个点或值与变量无关；(2)直接推理、计算， 并在计算的过程中消去变量，从而得到定点或定值,(1)求椭圆 C 的方程； (2)设直线 l1：ykxm，l2：ykxn，,若 l1，l2 均与椭圆 C 相切，证明：mn0；,图 1,(3)在(2)的条件下，试探究在 x 轴上是否存在定点 B，点 B 到 l1，l2 的距离之积恒为 1？若存在，请求出点 B 坐标；若不存 在，请说明理由,(2)把 l1 的方程代入椭圆方程得(12k2)x24mkx2m22,0,直线 l1 与椭圆 C

5、相切，16k2m24(12k2)(2m22),0，,化简得 m212k2.,同理可得：n212k2.,m2n2，若 mn，则 l1，l2 重合，不合题意， mn，即 mn0；,(3)设在 x 轴上存在点 B(t,0)，点 B 到直线 l1，l2 的距离之 积为 1，,把 12k2m2 代入并去绝对值整理， k2(t23)2 或者 k2(t21)0 前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的 kR 恒成立 则 t210，解得 t1; 综上所述，满足题意的定点 B 存在，其坐标为( 1,0)或 (1,0). 【思维点拨】k2(t21)0 对于任意的实数 k 恒成立，则 t2 10，有 t1.,【突破训

6、练】,(1)求椭圆 C 的方程；,图 2,(2)如图 2，A，B，D 是椭圆 C 的顶点，P 是椭圆 C 上除顶 点外的任意点，直线 DP 交 x 轴于点 N 直线 AD 交 BP 于点 M， 设 BP 的斜率为 k，MN 的斜率为 m，证明 2mk 为定值,圆锥曲线中的探索性问题,探索性问题是近几年高考的热点问题，是一种具有开放性 和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备要求解答者 自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括 主要题型包括条件追溯型、结论探索型、存在判断型等圆锥 曲线的探索性问题大部分是存在判断型解决这类问题的基本 策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)

7、或暂且认 可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若 由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论其中反证 法在解题中起着重要的作用,例 3：(2013 年广东广州一模)已知椭圆 C1 的中心在坐标原 点，两个焦点分别为 F1(2,0)，F2(2,0)，点 A(2, 3)在椭圆 C1 上， 过点 A 的直线 L 与抛物线 C2：x24y 交于 B，C 两点，抛物线 C2 在点 B，C 处的切线分别为 l1，l2, 且 l1 与 l2 交于点 P.,(1)求椭圆 C1 的方程；,(2) 是否存在满足|PF1| |PF2| |AF1| |AF2| 的点 P? 若存 在，指出这样的点 P

8、 有几个(不必求出点 P 的坐标); 若不存在， 说明理由,则点 P 在椭圆 C1 上，而点 P 又在直线 yx3 上， 直线 yx3 经过椭圆 C1 内一点(3,0)， 直线 yx3 与椭圆 C1 交于两点.,满足条件|PF1|PF2|AF1|AF2| 的点 P 有两个. 解法二：设点 B(x1，y1)，C(x2，y2)，P(x0，y0)，,点 A(2,3)在直线 L 上，y0x03. 点 P 的轨迹方程为 yx3.,若|PF1|PF2|AF1|AF2| ，则点 P 在椭圆 C1 上，又在,直线 yx3 上，,直线 yx3 经过椭圆 C1 内一点(3,0)， 直线 yx3 与椭圆 C1 交于两点.,满足条件|PF1|PF2|AF1|AF2| 的点 P 有两个.,【思维点拨】请仔细体会本题与 2013 年广东高考题是多么 的相似(见例 4)，同样，本题的关键在于求点 P 的轨迹方程. 设 点 B(x1，y1)，C(x2，y2)，P(x0，y0)，,【突破训练】,3(2012 年江西)已知三点 O(0,0)，A(2,1)，B(2,1)，曲线,(1)求曲线 C 的方程；,(