利用函数性质判断方程解的存在

1、4.1 函数与方程, 函数零点的定义,对于函数 y =f (x)，我们把使f (x)=0的实数x叫做函数y =f(x)的零点。,方程的根与函数零点的关系,方程f(x)=0有实数根,函数y=f(x)有零点,函数y=f(x)的图象与x轴有交点.,？, 在区间 上 零点（填“有”或“无”） f(-2)= ，f(1)=， f(-2) f(1) 0,（填“”）,探究（一）,()观察二次函数 f (x) =x 22x-3的图象,在区间2,4上 零点, f(2)= , f(4)= , f(2) f(4) 0,5,- 4,5,有,有,- 3,返回目录,若函数y=f(x)在闭区间a,b上的图像是 ，且 ，则在区

2、间（a,b）内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间（a,b)内 ，函数f(x)有零点 ；即函数y=f(x)的图像 或者方程f(x)=0 .,连续曲线,f(a)f(b)0,至少有一个实数解,与x轴有交点,有解,端点函数值异号，则函数有零点,？,函数图象连续, 零点存在性定理,如果函数y =f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a) f(b)0,则函数在（a,b）内有零点。,注:只有上述两个条件同时满足,才能判断函数在指定区间内存在零点。,下图中在区间 内有几个零点?,探究（二）,什么情况下只有唯一一个零点？,端点函数值异号的 单调函数, 零点存在性

3、定理,如果函数y =f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a) f(b)0,则函数在（a,b）内有零点。,如果函数 y=f(x) 在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a) f(b)0,且是单调函数,那么这个函数在(a,b)内必有唯一的一个零点。,9,用一用,解：因为,又 的图象是连续的,所以 在区间-1,0 内有零点,即 在区间 -1,0 内有实数解。,分析：判定方程有没有实数解即可以等价转化为相应函数有没有零点,新 知 应 用,10,例2 判定方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个大于5,一个小于2.,解:构造函数f (x)=(x-2)(x-

4、5)-1 则f (5)=(5-2)(5-5)-1=-1 f (2)=(2-2)(2-5)-1=-1 又因为f (x)的图像是开口向上的抛物线, 所以抛物线与横轴在(5,+)内有一交点,在(-,2)内也有一个交点.,所以相应的方程(x-2)(x-5)-1=0有两个相异的实数解,且一个大于5,一个小于2,新 知 应 用,返回目录,1、判断下列函数在给定区间上是否存在零点. （2） f(x)=x3-x-1,x-1,2;,解: (2)f(-1)=-10, f(x)=x3-x-1,x-1,2存在零点.,1、函数yf (x)的图象在a, b内是连续 的曲线，若f (a)f (b)0，则函数yf (x) 在

5、区间(a, b)内（ ） A只有一个零点 B至少有一个零点 C无零点 D无法确定,B,练一练,2、 若函数yf(x)在区间(2, 2)上的图 象是连续不断的曲线，且方程f(x)0在 (2, 2)上仅有一个实数根，则f(1)f(1) 的值 （ ） A大于0 B小于0 C无法判断 D等于零,C,3、 不论m为何值，函数 f (x)x2mxm2的零点有（ ） A2个 B1个 C0个 D不确定,A,函数零点方程根， 形数本是同根生。 函数零点端点判， 图象连续不能忘。,1.2 利用二分法求方程 的近似解,问题2不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的一个正的近似解（精度为0.1）?,由图可知：方程x2

6、-2x-1=0 的一个解x1在区间(2,3)内， 另一个解x2在区间(-1,0)内,画出y=x2-2x-1的图象(如图),结论：借助函数 f(x)= x2-2x-1的图象，我们发现 f(2)= -10，这表明此函数图象在区间(2, 3)上穿过 x轴一次，可得出方程在区间(2,3)上有惟一解.,二分法求方程的近似根,对于在区间a,b上连续不断，且f(a)f(b)0的函数 y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为 二，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点(或对应 方程的根)近似解的方法叫做二分法,问题4：二分法实质是什么？,用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取中点”的方法，运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间。,问题3如何描述二分法？,下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求其零点的是（ ）,C,1利用yf(x)的图象，或函数赋值法(即验证f (a) f(b)0 )，判断近似解所在的区间(a, b).,2“二分”解所在的区间，即取区间(a, b)的中 点,二分法求方程近似根的步骤,3计算f (x1)： (1)若f (x1)0，则x0x1； (2)