选修2-31.3.2二项式定理

1、.,1.3.2 二 项 式 定 理,.,1、二项式定理：,2、通项公式：,3、特例：,(展开式的第r +1项),温故知新,.,(2)增减性与最大值：,从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增大，随后又逐渐减小.,因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数,(3) 二项式系数的和,(1)对称性：,二项式系数的性质,取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系,数 、 相等且同时取得最大值,.,在 展开式中,(1)求二项式系数的和;,例1.,(2)各项系数的和;,(3)奇数项的二项式系数和 与偶数项的二项式系数和;,(4)奇数项的系数和与偶数项的系数和;,1024,1,512,.,1.在(ab)20展开

2、式中，与第五项的系数相同的项是( ).,2.在(ab)10展开式中，系数最大的项是( ).,A 第6项 B 第7项 C 第6项和第7项 D 第5项和第7项,A 第15项 B 第16项 C 第17项 D 第18项,C,A,学生活动,.,学生活动,3、已知(2x+1)10=a0 x10+ a1x9+ a2x8+a9x+ a10,(1)求a0+ a1+ a2+ +a9+ a10的值,(2)求a0+ a2+ a4+ + a10的值,1,结论:,展开式所有项系数和为f(1),.,5.( 1x ) 13 的展开式中系数最小的项是 （ ） (A)第六项 (B)第七项 （C）第八项 (D)第九项,C,学生活动

3、,写出系数最小的项与系数最大的项,.,基础训练：,.,3.求值：,.,例2 已知 的展开式中只有第10项 系数最大，求第五项。,解：依题意， 为偶数，且,变式：若将“只有第10项”改为“第10项”呢？,(答案略),.,例3 写出在（a+2)10的展开式中， 系数最大的项？,解：设系数最大的项是第 r + 1 项，则,则系数最大的项是第8项,.,例4、已知a,bN，m,n Z ，且2m + n = 0，如果二项式( ax m + bx n )12 的展开式中系数最大的项恰好是常数项，求 a : b 的取值范围。,解：,令m (12 r )+ nr = 0，将 n =2m 代入，解得 r = 4

4、故T5 为常数项，且系数最大。,.,例5.已知(12x+3x2)7=a0+a1x+a2x2+ +a13x13 +a14x14 . (1)求a0+a1+a2+ +a14 ; (2)求a1+a3+a5+ +a13 .,.,例6.证明:,.,学生活动：,1、已知(2x+ )100=a0+a1x+a2x2+a100 x100，求下列各式的值： (1)(a0+a2+a100)2(a1+a3+a99)2 ； (2)a0+a2+a100 .,.,学生活动,.,例5 求证： (nN，且n2),证明：,又n2，上式至少有三项，且,0, (nN，且n2),.,（1） 能被1000整除,例2、求证：,（2） 能被7整除,（3） 能被 整除,.,例3 计算 (精确到0.001),解：,.,例题讲解：,例1 在 的展开式中， 的系数是多少？ 求 展开式中含 的项.,解：原式=,可知 的系数是 的第六项系数与 的第三项系数之和.,即：,原式=,其中含 的项为：,.,课堂小结：,本节课讨论了二项式定理的应用，包括组合数的计算及恒等式证明、近似计算与证明不等式、整除、二项式系数与系数最大问题等当然，二项式定理的运用