曲线的参数方程

1、二 参数方程,打开课本21页阅读第一段话，回答： 为什么要引入参数，来表示曲线上点的坐标x，y的关系？,问题引入,1.参数方程的概念,1、参数方程的概念：,探究：一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？,提示：确定投放时机指确定投放点到救援点的水平距离。,救援点,投放点,实例引入,A,y轴过点A.,记物资出舱点为A，在经过飞行 航线且垂直于地面的平面上建立 平面直角坐标系,其中x轴为地平面与这个平面的 交线，,1、参数方程的概念：,如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以1

2、00m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？,实例探究,x,y,500,B,记物资出舱时刻为0，设出舱后 t时刻的位置为M(x,y)，则,思考1：你能否直接找到x与y的等量关系式吗？,A,x表示物资的水平位移量，,y表示物资距地面的高度。,1、参数方程的概念：,如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？,实例探究,（1）沿水平方向作初速为100m/s的匀速直线运动； （2）沿竖直方向作自由落体运动。,

3、思考2：物资投出机舱后，它的运动由哪些运动合成？,x,y,500,B,思考3：你能分别写出x，y与时 间t的关系式吗？,A,1、参数方程的概念：,如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？,实例探究,x,y,500,B,记物资出舱时刻为0，设出舱后 t时刻的位置为M(x,y)，则,A,（1）,观察上述方程组思考下列问题：,实例探究,思考3.方程组有几个变量？从函数角度看x，y与变量t的关系是什么？,方程组有3个变量x，y，t。其中的x,y表示点的坐标。,思考4：在时间t的允

4、许范围内给定一个t值，由方程组（1）所确定的点在物资的运动轨迹上吗？,x,y分别是t的函数。此时的变量t叫做参变量。,在，这是因为点M的坐标x，y由时间t唯一确定，即是说， 由时间t可以唯一确定点M的位置。,（1）,t有取值范围吗？,物资运动轨迹上的点 满足方程组的有序实数对（x,y）,实例探究,（t是参数）,令y=0，即,解得t=10,把t=10代入上式得x=1000,因此，飞行员在离救援的水平距 离为1000m时投放物资，可以使 其准确落在指定点。,（2）,并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的点M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程组(2) 就叫做这条曲线的参数方程, 联系

5、变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数.,一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变数t的函数,参数方程的概念,思考5：一般的参数方程表达式形式是什么？你能给 出曲线的参数方程的概念吗？,相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程F(x,y)=0。,（2）,参数的理解,3.参数的取值一般是有限制的。,参数的几点说明：,1.参数是联系变数x,y的桥梁,2.参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义的, 也 可以没有明显意义；,参数方程的理解,2.x，y都是变量t的函数，但x与y之间并不一定是函数关系。,（2）,1.参数方程是一个方程组，有两个表达

6、式，其中x，y 分别是参变量t的关系式。,思考7：参数方程与普通方程的联系与区别？,区别,普通方程F(x,y)=0直接给出了曲线上点的坐标x，y之间的关系，有两个变量x，y；,联系,参数方程和普通方程是同一条曲线的两种不同的表达形式，是可以互化的。,而参数方程间接地给出了曲线上点的坐标x，y的关 系，有三个变量x，y，t；,参数方程的理解,F(x,y)=0,例1: 已知曲线C的参数方程是 （1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C的位置关系； （2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。,例题讲解,解 （1）把点M1(0,1)代入方程得,解得t=0,所以点M1在曲线C上；,

7、同理可得点M2不在曲线C上。,练习,1、曲线 与x轴的交点坐标是( ) A（1，4） B C D,B,a=1,3.已知曲线C的参数方程是 点M(5,4)在该 曲线上，求常数a;,2.已知曲线C的参数方程是,当=时，曲线上对应的点的坐标是,（-3,0）,例2：动点M作匀速直线运动, 它在x轴和y轴方向的速度分别为5m/s和12m/s ,直角坐标系的长度单位是1， 运动开始时位于点M0(1,2)处, 求点M的轨迹参数方程。,解法1：设经过时间t，动点的位置是M (x,y) ，依题意，得,所以，点M的轨迹参数方程为,例题讲解,x-1=5t,y-2=12t,例2：动点M作匀速直线运动, 它在x轴和y轴方向的速度分别为5m/s和12m/s ,直角坐标系的长度单位是1， 运动开始时位于点M0(1,2)处, 求点M的轨迹参数方程。