第一节 欧拉方法

1、在高等数学中用解析法求解常微分方程的初值问题,例如初值问题,又由 y(0)=1, 得,因此初值问题解为 y=ex,但很多时候解析解求不出来, 如 f(x, y)=x2+y2 .,第八章 常微分方程数值解法,由 得解,求解常微分方程的初值问题,上的近似值为,yn称为问题的数值解，数值解所满足的离散方程统称为差分格式，hi=xi-xi-1称为步长，实用中常取定步长.,第一节 欧拉方法,的数值解，就是寻求准确解y(x)在一系列离散节点,定理 设函数f(x, y) 在区域,上连续，且在区域D内满足李普希兹( Lipschitz )条件, 即存在正数L，使得对于R内任意两点(x, y1) 与(x, y2

2、)，恒有,则初值问题(1)的解y(x)存在并且唯一. (不证),这一定理保证了初值问题(1)的数值解法才有意义，只要满足条件就可以继续讨论.,将求解区间a, b分成 N 等分, 令,在xn 点列出方程式,将 y( xn) 表示为数值微分前差商方程有,一、欧拉法（欧拉折线法）,代入前式可得,截去,再用yn近似代替 y (xn)，用yn+1近似代替 y (xn+1)，就得到了微分方程满足的递推公式为,此式称为(显式单步法)欧拉( Euler )公式.,欧拉公式具有明显的几何意义，就是用折线近似代替方程的解曲线，因而常称为欧拉折线法.,如果对方程,从xn到xn+1积分，得,右端积分用左矩形公式hf(

3、xn,y(xn)近似，再以yn代替y(xn)，yn+1代替y(xn+1)也得到欧拉公式,因此欧拉公式也称为矩形法.,例1 用欧拉公式解初值问题,解 取步长h=0.1，欧拉公式的具体形式为,其中xn=nh=0.1n (n=0,1,10), 已知y0 =1, 由此式可得,依次计算下去，部分计算结果见下表.,与准确解 相比，可看出欧拉公式的计算结果精度很差.,二、改进的欧拉法(梯形法),为得到比欧拉法精度高的计算公式，在等式,称为改进的欧拉法，也称为梯形方法(公式).,右端积分用梯形求积公式近似, 并用yn代替y(xn), yn+1代替y(xn+1)，则得,不难发现，欧拉方法是显式单步法，而梯形方法

4、是隐式单步法，要用迭代法求解.,先用欧拉法提供迭代初值,再用梯形迭代公式迭代,对于给定的精度 ，如果有,这时就取 ，然后再转入下一步计算.,可以证明，如果f(x, y)满足李普希兹条件，只要步长h足够小，就可保证数列的收敛性，即,三、预估-校正法,梯形公式虽然提高了精度，但其算法复杂，要进行多次迭代，计算量很大，而且往往难以预测. 为了控制计算量，通常只迭代一两次就转入下一步的计算，这就简化了算法.,具体地说，我们先用欧拉公式求得一个初步的近似值 ，称之为预估值，此预估值 的精度可能很差，再用梯形公式将它迭代一次得到校正值yn+1.即有,预估-校正公式为,或表示为下列形式,例2 用预估-校正公

5、式解例1中的初值问题,解 仍取步长h=0.1,预估-校正公式为,计算结果见下表(为了比较，这里把欧拉公式计算的结果也放在一起，明显预估-校正公式改善了精度).,欧拉法有2位有效数字,而预估-校正法有3位有效数字.,例3 用预估-校正公式解初值问题,解 预估-校正公式为,计算结果 见数表,的数值解，取步长h=0.2,以4位有效数字计算.,四、公式的截断误差与方法的阶,为了简化分析，在进行误差分析时，假设前一步的结果是准确的，即在yn=y(xn)的前提下，考虑用yn+1作为y(xn+1)的近似值而产生的截断误差，这种误差称为局部截断误差.,定义 若某种微分方程数值解公式的截断误差是O(hk+1)，则称这种方法是k阶(精度)方法.,用泰勒展开式将y(xn+1)在xn处展开，则有,对欧