正弦函数余弦函数的性质周期性（人教A版必修4）

1、,y,x,0,y=sinx(xR),曹县一中 曹广波,1.4.2正弦、余弦函数的周期性,发现始于观察，创造源于探索,世界上有许多事物都呈现“周而复始”的变化规律，如年有四季更替，月有阴晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性，在函数领域里，周期性是函数的一个重要性质.,今天是星期三.7天后星期几？ 14天后、 98天后呢？ 前面我们还研究了三角函数f(x)sinx和g(x)cosx它们 也有类似的特征吗？,问题探究,问题1.观察正弦函数的图象，它具有哪些特征？,探究1：观察正弦函数的图象，它具有哪些特征？,.,2,诱导公式,其理论依据是什么？,问题探究,正弦曲线每相隔 个单位重复出现.,探究2：设f

2、(x)=sinx， 则 可以 怎样表示？,f(x+2k)=f(x),我们把f(x)=sinx称为周期函数,2k为这个函数的周期 (其中kz且k0).,一、周期函数的概念,探究3：我们把函数f(x)=sinx称为周期函数.那么，如何定义一般的周期函数呢？,周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 f(x+T)=f(x) 那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.,探究4：周期函数的周期是否唯一？正弦函数y=sinx的周期有哪些？,答：周期函数的周期不止一个. 2，4，6，都是正弦函数的周期，事实上，任何一个常数2k(kz且k0

3、)都是它的周期.,【最小正周期】 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.,今后本书中所涉及到的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期.,【最小正周期】 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.,今后本书中所涉及到的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期.,答：正弦函数y=sinx有最小正周期，且最小正周期T=2,思考5：我们知道 2，4，6，都是y=sinx的周期,那么函数y=sinx有最小正周期吗？若有，那么最小正周期T等于多少？,正弦函数y=sinx是周

4、期函数，2k（kZ且 k0）都是它的周期，最小正周期 T=2,探究5：就周期性而言，对正弦函数有什么结论？,y,-1,x,O,1,2,3,4,5,6,-2,-3,-4,-5,-6,-,y=sinx,对余弦函数呢？,余弦函数y=cosx是周期函数，2k（kZ且 k0）都是它的周期，最小正周期 T=2,(1)观察等式 是否成立？ 如果成立，能不能说 是y=sinx的周期？,对于f(x+T) f(x)中每一个x都要成立,讨论：,答：不能.因为,讨论：,(2)由诱导公式 ，是否可 以说 的周期为2?,针对f(x+T) f(x)中自变量x本身所加的常量T才是周期。,所以 的周期不是,(3)T(T0)是f

5、(x) 的周期，kT(kZ且k0)是f(x) 的周期？,周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(kZ且k0)一定也是周期。,讨论：,X,X+2,4,8,6,12,T是f(x)的周期，那么kT也一定是f(x)的周期. (k为非零整数),(3)T(T0)是f(x) 的周期，kT(kZ且k0) 是f(x) 的周期吗？,讨论：,(4) 是不是所有的周期函数都有最小正周期？,周期函数必有周期，但不一定有最小正周期。,讨论：,二：周期概念的拓展,思考1：判断下列说法是否正确,思考2：周期函数的定义域有什么特点？,函数f(x)=sinx（x0）是周期函数( ) 函数f(x)=sinx（x0）是周期函数(

6、 ) 函数f(x)=sinx（x3k）是周期函数( ) 函数f(x)=sinx，x0，10是周期函数( ),答:R,例1 求下列函数的周期： y=3cosx,xR; y=sin2x,xR; y=2sin( - ),xR;,解, 3cos(x+2)=3cosX, f(x+T)=f(x) 由周期函数的定义可知，原函数的周期为2,知识应用,y=sin2x,xR;,sin(2x+2),解：,sin2(x+)=,f(x+T)=f(x),由周期函数的定义可知，原函数的周期为,y=2sin( - ),xR;, f(x+T)=f(x)由周期函数的定义可知，原函数的周期为4,解：,由上例知函数y=3cosx的周

7、期 T= 2； 函数y=sin2x的周期 T=； 函数y=2sin( - )的周期 T=4 想一想：这些函数的周期与解析式中的量有关吗？若有，有什么样的关系？,一般地，函数y=Asin(x+) (A0， 0)的最小正周期是多少?,限时抢答,(2)函数 的最小正周期为_,(4)函数 的最小正周期为_,一般地，函数y=Asin(x+) (A0， 0)的最小正周期是多少?,限时抢答,(2)函数 的最小正周期为_,(4)函数 的最小正周期为_,2,(5)函数 的最小正周期为 , 则,限时抢答,限时抢答,（2）函数 的最小正周期为：,限时抢答,（5）函数 的最小正 周期为 ,则,限时抢答,限时抢答,（4

8、）函数 的最小正周期为：,例2 已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x2)f(x)=0，试判断f(x)是否为周期函数？,解：由题意得：f(x2)= -f(x) f(x+4)= 即 f(x4)=f(x) 由周期函数的定义知，f(x)是周期函数.,f(x),=-f(x)=,-f(x2),f(x2)+2=,函数周期求法：,1.定义法： 2.公式法：,3.图象法:,一般地，函数 y=Asin(x+) 及y=Acos(x+) （其中A ,为常数，且 A0, 0 ）的周期是:,1. 一个周期函数的周期有多少个? 周期函数的图象具有什么特征? 参考答案：无数个，重复性,练习,2.已知函数 , 使f (x)

9、的周期在(2/3, 4/3)内, 则正整数k的最小值和最大值分别是多少? 解：函数f (x)的最小正周期为 ， 故 ，得 ， 又k为正整数， 故k的最小值为15，最大值为28.,练习,1.判断下列说法是否正确,并简述理由： (1) 时， ,则 一定不是函数y =sin x的周期；,正确,(2) 时， ,则 一定是函数y =sin x的周期,不正确，因为在x=7/6时 成立, 并不能保证对任意的x都有 成立, 如x=0时， 就不成立.,巩固 练习,2. 求下列函数的周期： (1) y =2 cos3x； (2) ,3若函数 的最小正周期为 ，则正数k = ,4. 若弹簧振子对平衡位置的位移x(cm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示： （）求该函数的周期； （）求t10.5时弹簧振子对平衡位置的位移,周期为4； 8cm.,如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期,对于函数f(x)，如果存在一个非零常