机器人静力学和动力学

1、机器人技术、陶建国、哈尔滨工业大学机电学院2005. 2 .2，第6章机器人静力学和动力学、静力学和动力学分析是机器人操作机设计和动态性能分析的基础。 特别是动力学分析，也是机器人控制器设计、动态仿真的基础。 机器人静力学是研究机器人静止或缓慢的运动公式，研究作用于机器人的力和力矩的问题。 特别是手指接触环境时，各关节力(力矩)和接触力的关系。 机器人动力学研究了机器人运动与关节驱动力(力矩)的动态关系。 描述这种动态关系的微分方程称为动力学模型。 由于机器人结构的复杂性，其动力学模型也经常很复杂，因此很难实现基于机器人动力学模型的实时控制。 但是，高质量的控制应该基于被控制对象的动态特性，合

2、理简化机器人动力学模型，满足实时控制的要求，一直是机器人动力学研究者所追求的目标。 3、6.1机器人静力学、一、部件间的静力传递、操作机中，任意取两个连杆。 在设置于杆上的点上作用有力矩和力，在杆上作用有自重，和分别是从和的方向。 4、用静力学的方法，将这些力、力矩简化后的固定坐标系，可以得到、或式中(杆的质量)。 求出轴上的成分，得到关节力和扭矩，无视摩擦后，致动器为了保持静力平衡而应提供的关节力和关节力矩，其大小为，5，无视杆的自重的情况下，上式为无视重力的关节力和扭矩值，旋转关节上求出6、例1两杆操作机的静关节力矩(坐标系和构造尺寸图)。 解：已知、7、8、9、2、操作机的静力平衡、如设

3、置有操作机的图所示，关节力矩(广义的驱动力、指向的正方向)作用于各关节，在末端执行器的基准点产生力和力矩。 操作机作用于外界对象的力和力矩，为了和输入关节力矩一起运算，应该取负值。 10、利用虚功原理建立静力平衡方程，命令操作机的总虚功：根据虚功原理，如果系统平衡，则总虚功(虚功之和)为0，即11，式中J 是速度分析时导出的雅可比矩阵，其要素为相应的偏置速度从机器人的运动微分关系可以看出，因为是独立坐标，所以上式是操作机的关节力和致动器的基准点之间产生的力和力矩的关系式。 该公式表示关节空间和直角坐标空间的广义力可以被雅可比矩阵j变换。 这种变换关系也能够扩大两杆间的固定直角坐标系上的广义的力

4、的变化。 在这种情况下，应该用直角坐标空间的雅可比矩阵来替换关节空间和直角坐标空间的雅可比矩阵。 如图12、例2所示，操作机的手爪扭转板手即英里的栓，在手爪上连接负载传感器，就能够测量六维的力矢量(力和力矩)。 我们来确认一下测力计与板扭转时的力和力矩的关系。 13、解：在测力传感器上放置坐标系Sf ()，在螺栓上放置坐标系s ()。 在图示的瞬间，两个坐标系相互平行。 刚体的无限小位移(平移和旋转)可以表现为6维矢量，因此两者的微小位移分别为：两坐标系的坐标轴平行：14，前式也可以从前图直观地求出。 如果是对应的广义的力矢量、对应的广义的力矢量，则上式也可以直接用虚功原理求出。 15、一、研

5、究目的： 1、合理确定各驱动单元(以下简称关节)的电机功率。2 .解决伺服驱动系统的控制问题(力控制)，当机器人处于不同的位置模式(比特形)时，各关节的有效惯性矩和结合量发生变化(时变)，因此施加于各关节的驱动力也应该时变，能够用动力学方程式来决定。 6-2机器人动力学概要，2，机器人动力学研究的问题，1，给出机器人的驱动力(力矩)，用动力学方程式求出机器人(关节)的运动参数和动力学效果(即求出已知、和，称为动力学正问题)。 (请参见。) 2 .给出机器人的运动要求，求出应施加给机器人的驱动力(力矩) (即，已知和、求出，称为动力学逆问题)。 16、3、动力学研究方法：1.拉格朗日方程法：通过

6、动态、势能变化和广义力的关系，建立机器人的动力学方程。 代表人物R.P.Paul、J.J.Uicker、J.M.Hollerbach等。 计算量O(n4 )，优化O(n3 )，并递归地估计O(n )。 2 .牛顿欧拉方程式法：用构件重心的平移和相对重心的旋转来表现机器人构件的运动，利用运动法建立基于牛顿欧拉方程式的动力学方程式。 代表人物Orin、Luh (陆养生)等。 计算量O(n )。 3、利用高斯原理法：力学中的高斯最小约束原理，把机器人动力学问题作为极值问题来解决。 代表人物波夫(苏)，解决第二类问题。 计算量O(n3 )。 4 .凯恩方程法：引入偏速度概念，应用矢量分析建立动力学方程

7、。 该方法在求出部件的速度、加速度和关节驱动力时，仅进行一次从基础到最终杆的导出就可以求出关节驱动力，在此期间不需要求出关节的约束力，具有完全的构造，也可以适用于链式机器人。 计算量O(n！ (请参见。) 系统的动能和势能可以用任何坐标系(极坐标系、圆柱坐标系等)表示，不一定是直角坐标系。 动力学方程是广义力广义速度广义坐标(力或力矩)(或)、6.3双棒机器人的拉格朗日方程，应用质点系的拉格朗日方程处理棒系问题。 定义： L=K-P LLagrange函数k-系统动能之和p-系统势能之和。6.3.1刚体系拉格朗日方程式，18、2个机械臂的长度分别设定，质量分别集中在端点，坐标系如图选择。 以下

8、分别是方程式的各项：一，动能与势，对质点：动能：(负与坐标系有关)，对质点：先直角坐标式：6.3.2刚体系拉格朗日方程式，19，求导速度成分：动能：势：二，Lagrange函数计算动力学方程，先求第一关节上的力矩，(1)，21，同样，可以求对和微分，第二关节力矩，以上是双杆机器人动力学模型。(2)、22，系数d的物理意义：关节的有效惯性矩(等效惯性矩的概念)。 关节处的加速度引起的关节处的力矩是()，-与关节的结合惯性。 关节或的加速度(或)引起的关节和位置的力矩，或者是向心力项系数。 关节上的速度表示自己关节上作用的向心力()，四、动力学方程式各系数的物理意义，把前面的结果改写成简单的形式：

9、二十三、科里奥利力项系数。 两者的组合是关节和处理速度作用于关节的科里奥利力，科里奥利力是由于相关运动旋转的缘故。-关节的重力项。 重力项仅与大小、长度和机构结构图()有关。 得到了双机器人例子的系数和通式的系数比较有效的惯性系数：耦合惯性系数：24，向心力项系数：科里奥利力项系数：重力项：25，6.4机器人的拉格朗日方程的一般表示形式，从上一节中容易看出Lagrange方程是二次耦合，非线性和微分方程，简化计算以下方程式的导出，也不考虑传动链引起的摩擦的影响，仅考虑杆自身，也考虑关节部的驱动装置(电动机、软线盘等)的影响。 导出分五个阶段进行：一、计算任意构件上任意点的速度二、计算动能三、计

10、算势能四、形成Lagrange函数五、建立动力学方程式。 26，其速度是：一，点的速度，因为系统整体的动能是在基础系统中考虑的，所以可以求出系统各质点在基础坐标系中的速度。 然后按一下。 对于条形坐标系的点，在基本坐标系中的位置是公式中-变换矩阵、速度平方：公式中-矩阵的轨迹，即矩阵的主对角元素的和。 27，22，动能，在杆上质量的质点的动能为：28，杆的动能(在基础坐标系中)为：在命令式中称为链节的伪惯性矩矩阵。 获得的杆的动能可以表示为：相对于杆上的任意点(在杆坐标系中)，可以表示为：29，根据理论力学中的惯性力矩，惯性积和力矩的定义，以下符号：相对于坐标轴的惯性力矩：或：30，相对于坐标

11、轴的惯性积：相对于坐标轴的然后：31，同样：可以表现为：机器人手臂的总动能为：32关节部驱动装置的动能：替换求出痕迹和加法运算顺序，加上关节部驱动装置的动能，机器人整体的动能为：(移动关节的情况)，公式三、势能，杆的重心在再自坐标系中的位置向量，其基础坐标系中的位置向量为33，重力加速度在基础坐标系中的二次分量为：机器人的总势能为：杆的基础坐标系中的势能为：(一般被认为基础坐标系的z轴方向上方)，34， 拉格朗日方程的各项：四，拉格朗日函数五，动力学方程，(1)，35，对称矩阵，把：式中前两项合并，得到了(1)。 当时，后面的关节变量不包含：可：36，(2)，交换其中的一些假元，得：37，(3

12、)，38，以上各项带入拉格朗日式，和分别取，得：上式是拉格朗日式的最后形式。 由于这些方程式与加法的顺序无关，所以可以将上式写为简化形式：(5)、(4)、39、式中：以上的动力学方程式(5)的系数d的意思与上一节相同，分别是有效惯性项系数()、耦合惯性项系数()、向心力项系数()、科里奥利力项系数()、重力项等。 40、动力学方程中的惯性项和重力项在机器人控制的重量上尤为重要，直接成为系统的稳定性和定位精度。 只有机器人高速运动时，向心力项和科里奥利力项才是重要的。 传动装置的惯性值较大，往往也不能忽视对系统的动态特性的影响。 在机器人动力学问题的讨论中，拉格朗日动力学方程很好地被简化了的一般

13、形式：式中：的意思参照(5)式。(6)，41，乘法次数：6.5机器人的牛顿-欧拉方程，机器人的拉格朗日动力学模型是非线性二次常微分方程，可以利用这些方程，根据已知的各轨迹设定点的关节位置、速度和加速度，计算各关节的标称扭矩，而拉格朗日方程是44次变换矩阵加法次数：为了实现实时控制，曾省略过科里奥利力和向心力的简化模型，而当操作机快速运动时，科里奥利力和向心力对计算关节力矩非常重要。 因此，这种简化只能用于机器人的低速运动，在典型的制造业环境中，这是不理想的。 另外，该简化引起的关节力矩误差不能用反馈控制来校正。 牛顿欧位法采用迭代形式方程，计算速度快，可以用于实时控制，成为常用的建模方法。42

14、、求出旋转坐标系和固定惯性坐标系之间必要的数学关系，推广到运动坐标系(旋转和平移)和惯性坐标系之间的关系。 如图所示惯性坐标系O-XYZ和旋转坐标系O-X*Y* Z*的原点与o点重叠。 OX*、OY*、OZ*轴相对于OX、OY、OZ轴旋转。 和，作为沿着这两个坐标系的主轴的单位向量。 旋转坐标系的中点p可以表示为其中一个坐标系的成分：6.5.1旋转坐标系或惯性坐标系中的运动：旋转坐标系中的运动：43，惯性坐标系中的运动：(7)需要解决旋转坐标系轴在惯性坐标系中的导数问题。 假设旋转坐标系以通过原点o的某轴OQ为中心以角速度旋转。 方向沿着OQ轴，指向旋转坐标系的右旋。 从(6)式可以得到：这是

15、建立旋转坐标系的两个时间导数的关系的基本方程式，因为可以证明旋转坐标系中任何固定向量在惯性坐标系中的导数为：44。 方程式(9)也被称为哥哥定理。 (8)、(9)、45、6.5.2运动坐标系、图像，运动坐标系O-X*Y* Z*相对于惯性坐标系O-XYZ进行旋转和移动。 质量m的质点p分别用和决定惯性坐标系和运动坐标系相对于原点的位置。 原点O*相对于原点o的位置用矢量表示。 有(10 )、(11 )、46、6.5.3部件运动学，根据上述运动坐标系的概念，导出一系列的数学方程式，描述机器人运动部件相对于基础坐标系的运动学关系。 是坐标系相对于基准坐标系的线速度和角速度。 是构件I坐标系相对于基础

16、坐标系和构件i -1坐标系的角速度。 相对于基准坐标系的部件I坐标系的线速度和角速度分别为：坐标系为基准坐标系，固定于坐标系和部件I，原点为Oi-1和Oi。 分别通过位置矢量来表示原点Oi的原点o和相对于原点Oi-1的位置。 用位置矢量表示原点Oi-1相对于基础坐标系原点o的位置。 47、式中的d*(.)/dt表示运动坐标系下的时间微分系数。 (12 )、(13 )、48、(14 )、(15 )是相对于坐标系的角加速度：根据在机器人的构件坐标系中建立的步骤和参数的定义，构件I在构件i -1坐标系中的运动沿方向直线移动或旋转。 因此，在式中，是部件I相对于部件i -1坐标系的角速度值。 与式(16 )、49、(18 )同样地，式(13 )和式(16 )为：式(15 )、式(16 )和式(17 )为：式(21 )、式(15 )、式(16 )和式(17 )为：式(12 )、式(13 )和式(20 )为：矢量交叉如果部件I旋转，则部件I直线移动，刚体的运动被分解为质心的移动和围绕质心的旋转。 利用构件运动学的知识，我们将达兰贝尔原理应用于各构件，说明机器人各构件的运动