大学物理,功和能及功能原理4.4 功能原理 机械能守恒定律

1、1,4.4 功能原理 机械能守恒定律,( Law of Conservation of Mechanical Energy ),2,机械能：,一、质点系的功能原理,质点系动能定理,3,注意：,1）功能原理给出的是机械能的改变与功的关系，只须计算保守内力之外的其它力的功。,2）功能原理也只适用于惯性系。,而动能定理给出的是动能的改变与功的关系，应计算包括保守力在内的所有力的功；,质点系的功能原理：,4,功能原理,二、机械能守恒定律,机械能守恒定律：只有保守内力作功的情况下，质点系的机械能保持不变。,表明：只有保守力内作功时，系统的动能与势能可以相互转换，且转换的量值一定相等。,机械能守恒定律也可

2、以表示为：,5,1）机械能守恒定律的条件是：,2）质点系的机械能和机械能守恒定律也适用于包含有定轴转动刚体的系统。,3）机械能守恒定律只是普遍的能量转换和守恒定律的特殊形式。,6,外力不作功，意味着物体系既不接受外界的机械能，也不向外界传递机械能。,如果A非保内= 0，就意味着在物体系内部不存在机械能与其它能量形式间的相互转换。,所以，当满足A外= 0 和A非保内= 0 的条件时，系统的机械能将保持不变。,1）机械能守恒定律的条件是：,7,亥姆霍兹（18211894），德国物理学家和生理学家。于1874年发表了论力（现称能量）守恒的演讲，首先系统地以数学方式阐述了自然界各种运动形式之间都遵守能

3、量守恒这条规律。所以说亥姆霍兹是能量守恒定律的创立者之一。,能量守恒定律,8,如果一个系统是孤立的、与外界无能量交换，系统内部各种形式的能量可以相互转换，或由一个物体传递给另一个物体。但是不论如何转换，这些能量的总和却保持不变。能量既不能消灭，也不能创造。这一结论叫做能量守恒定律。,人们在总结各种自然过程中发现：,例如：利用水位差推动水轮机转动，能使发电机发电，将机械能转换为电能。,电流通过电热器能发热，把电能又转换为热能。,能量守恒定律,9,能量守恒定律,10,水力发电,风力发电,太阳能发电,无轨电车,太阳能热水器,拖拉机,11,1）它是物理学中最具普遍性的定律之一，也是所 有自然现象必须遵

4、守的普遍规律。 2）机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械 运动范围内的体现； 3）系统能量不变，但各种能量形式可以互相转化； 4）功是能量交换或转换的一种量度。,说明：,能量守恒定律,12,1）按具体情况选定物体系，分清外力和内力； 2）判断A外和A非保内是否等于零， 如果两者均为零，就可应用机械能守恒定律； 如果任一个不等于零，就应用功能原理； 3）确定过程的初态和终态，规定势能的零点位置，分别写出初态和终态的总机械能； 4）最后规定势能零点，根据机械能守恒定律或功能原理列出方程，求出未知量。,应用功能原理或机械能守恒定律解题的 主要思路和方法：,13,1）守恒定律是关于变化过程的规律，

5、其意义是：,当满足一定条件时，不必考虑过程细节而能对系统的初、末状态的某些特征下结论，这是各个守恒定律的特点和优点。,2）当守恒定律不成立时，再考虑动量定理和动能定理，分析力的两个积累效应。,关于守恒定律的说明：,14,3）若研究物体的瞬时状态，只有用牛顿运动定律。,动量对时间的变化率,思考问题的顺序为：,15,牛 顿 运 动 定 律,16,如图的系统，物体 A，B 置于光滑的桌面上，物体 A 和 C, B 和 D 之间摩擦系数均不为零。首先用外力沿水平方向相向推压 A 和 B， 使弹簧压缩，后拆除外力， 则 A 和 B 弹开过程中， 对 A、B、C、D 组成的系统,（A）动量守恒，机械能守恒

6、。 （B）动量不守恒，机械能守恒。 （C）动量不守恒，机械能不守恒。 （D）动量守恒，机械能不一定守恒。,17,例：一柔软链条长为l，质量为m，桌面光滑。开始链条静止，悬垂长度为 b 。求：当链条全部脱离桌子时的速度。,解：,选链桌地为系统，,机械能守恒。,建坐标（重力势能零点在原点）,得:,18,解： 以弹簧、物体、地球为系统，取弹簧自然伸长处为原点，沿斜面向下为x轴正向，且以原点为弹性势能和重力势能零点，则由功能原理，在物块向上滑至 x 处，有：,例：一轻弹簧一端系于固定斜面的上端，另一端连着质量为 m 的物块，物块与斜面的摩擦系数为，弹簧的劲度系数为k，斜面倾角为，今将物块由弹簧的自然长

7、度拉伸 l 后由静止释放。 求：物块第一次静止在什么位置上？,物块静止位置与 v = 0对应，故有：,19,另一根 x = l，即初始位置，舍去。,解此二次方程，得：,例：一轻弹簧一端系于固定斜面的上端，另一端连着质量为 m 的物块，物块与斜面的摩擦系数为，弹簧的劲度系数为k，斜面倾角为，今将物块由弹簧的自然长度拉伸 l 后由静止释放。 求：物块第一次静止在什么位置上？,20,例：有一轻弹簧, 其一端系在铅直放置的圆环的顶点P， 另一端系一质量为m 的小球，小球穿过圆环并在圆环上运动(不计摩擦)。开始小球静止于点 A，弹簧处于自然状态，其长度为圆环半径R； 当小球运动到圆环的底端点B时，小球对

8、圆环没有压力。 求：弹簧的劲度系数。,解 以弹簧、小球和地球为一系统，,只有保守内力做功,系统机械能守恒,取图中点 为重力势能零点,21,又：,所以：,即：,22,例：如图所示，轻质弹簧劲度系数为k，两端各固定一质量均为M的物块A和B，放在水平光滑桌面上静止。今有一质量为m的子弹沿弹簧的轴线方向以速度0射入A 物块而不复出。求：此后弹簧的最大压缩长度。,解：第一阶段： 子弹射入到相对静止于物块中。,由于时间极短，可认为物块还没有移动， 应用动量守恒定律，求得物块A的速度A,23,第二阶段：A移动，直到当A和B有相同的速度时，弹簧压缩最大。应用动量守恒定律，求得两物块的共同速度,应用机械能守恒定

9、律，求得弹簧最大压缩长度。,24,例 ： 用一轻弹簧（k）将质量分别为m1，m2 的两水平木板A和B连在一起， m2放在地面上。求： 1）若以 m1 在弹簧上的平衡静止位置为重力势能和弹性势能的零点，写出系统（ m1 、弹簧、地球）的总势能表达式； 2）至少需用多大的压力F 加于上板，才能在该力撤去后，恰好使 m2 离开地面?,解： 1）,选系统：m1 g k,，建坐标如图。,重力势能零点和弹性势能零点都选在坐标原点。,平衡时有：,25,在任一位置 y 处，体系的重力势能为：,体系的弹性势能为：,体系的总势能为：,式中 y 为相对于平衡位置的位移。,26,以加力F时为初态，撤去F 后弹簧恰使m

10、2提起为末态。,整个过程只有保守力作功，系统机械能守恒，有：,又因恰能提起m2时，,可得：,2）,27,例：一质量为m的小球，由顶端沿质量为M的圆弧形木槽自静止下滑，设圆弧形槽的半径为R，忽略所有摩擦。求：1）小球刚离开圆弧形槽时，小球和圆弧形槽的速度各是多少？2）小球滑到B点时对槽的压力。3）m从A滑到B的过程中， m对M所作的功？,解：设小球和圆弧形槽的速度分别为 和V,1）由动量守恒定律：,由机械能守恒定律：,28,由上面两式解得：,2）小球相对槽的速度：,由牛顿运动第二定律：,在最低点B处的瞬间，槽在水平方向不受外力，加速度为零，可以当作惯性系。,29,3）m从A滑到B的过程中， m对M所作的功？,物体对槽做的功就等于槽动能的增量，有：,由动能定理：,30,例：装有一光滑斜面的小车处于静止状态，小车质量为M，斜面倾角为 ，现有一质量为 的木块沿斜面滑下，木块起始高度为 ，求：当木块到达斜面底部时，小车的速度。 （不计小车与地面间的摩擦）。,31,例： 一雪橇从高度为 50m 的山顶上点 A 沿冰道由静止下滑