分叉计算的若干问题

1、1、分歧计算的一些问题，吴纪可，北京大学力学与工程科学系，2，1前言2弧长法与分歧点的判定3动力系统分歧的定义4非自治动力系统的等价分类5寻找同宿(异宿)轨道6求解动力系统的伪弧长法，3，1前言4，著名理论物理学家、诺贝尔奖获得者理查德菲利普费曼， 1918-1988)在他的物理学讲义(物理学讲座)中：“我们已经写下了水流方程，并且通过实验，我们已经找到了一系列理解的近似概念涡街、湍流尾流和边界层。 如果我们有形式稍有不同的类似方程，并且我们没有办法用这个方程进行实验，我想用一种原始的、可疑的和模糊的方式来解决这个方程，以便确定定量行为或定量结果。例如，我们的等式是把太阳看成一个没有太阳黑子、

2、表面没有硬块、没有骨瘦如柴的氢气球。尽管如此简化，我们还没有找到解决方案。在下个世纪，当人类的智慧觉醒时，一种理解方程数量意义的新方法可能会出现。”，理查德菲利普费曼，1918-1988，5，分叉是一种非常普遍的现象。分叉是具有两种不同性质的状态转换点。掌握系统的分岔点对于把握系统的本质和行为非常重要。分歧问题本质上是非线性的。目前，分歧的研究已经引起了所有精确科学的共同兴趣。1998年9月19日上午，青海省中部桥头电厂六期扩建工程施工现场发生重大伤亡事故。当一座正在施工的冷却塔被修复到20米高时，用于浇筑混凝土的钢模板突然倒塌并脱落，造成数十名正在施工的工人从空中坠落，造成4人死亡，52人受

3、伤。目前，事故原因正在调查中。这张照片显示了事故现场。深圳，2000年11月28日(新华社)昨晚9点左右，正在施工中的深圳延坝高速公路起点高架引桥突然倒塌，69名在桥面上工作的工人随桥面一起跌倒。截至今天凌晨1点30分，所有工作人员获救，33人被送往医院进行急救，其中10人重伤，23人轻伤。图为大桥坍塌现场(陈文摄)。初步确定事故是由技术问题引起的桥梁支撑不稳定引起的。假设弹性球体的内径趋向于零，则空腔开始。并考虑在一定压力的作用下，孔半径突然从零增加到非零。在这种情况下，通过求解相关方程可以得到孔起爆的条件。我们分析并解决了这个问题，并数值计算了相应的解析表达式。对于不同的值和不同的V值，获

4、得的值的结果显示在图上。从图中可以看出，当时机成熟时，它趋向于某一值。这恰好是一个关键的情况，在这种情况下，空洞突然从零半径出现。a，b，9，2弧长法和分叉点判断，1。吴，苏显岳。弹性系统的稳定性，科学出版社，1994年2月。周坤。动力系统Hopf分支的数值计算及应用，硕士论文，3。吴、黄胜。分岔，11，微分(1)，如果让，如果记住，12，这里，它的意思是划掉列。显然，引入了弧长这一辅助参数，定义了空间一维曲线的弧长由。13，因此，公式(1)的解曲线的切向量是其单位切向量。因此，公式(1)的解可以简化为求解。同样，上述公式可以转化为常微分方程的柯西问题：14，数值求解公式(2)的最简单方法是，

5、(2)，15。考虑到动态系统是它的平衡解，也就是说，对给定的动态系统稍加扰动，如果u有非零解，就可以得到动态系统的分支点。16.判断和确定解曲线：上的分支点为了找到一种适用于高维问题的算法来判断和确定分支点，我们可以引入一种变换：矩阵A，B的特征值有如下关系：它把复平面上A的特征值的虚轴映射到复平面上B的特征值的特征圆上。17、因此，在初始状态(稳态)下，的特征值在复平面的左半部分，相应的特征值都在复平面的单位圆内。这样，找到系统分支点的问题就转化为具有最大模的共轭复特征值问题。如果我们搜索出模最大的点，并能进一步判断它对应于，那么毫无疑问，对应的点就是静态分叉点；否则，它就是霍普夫分岔点。由

6、于在实际计算中很难找到分岔点，我们需要用变号法在解曲线上寻找分岔点。1.吴，苏显岳。弹性系统的稳定性，科学出版社，1994。，18，分叉，即当，当数值分析方法。根据定理5.5.1(参考文献。1)，分叉方向可以转化为线性特征值问题，其中，是的单位正交基。寻找分叉方向：对于寻找静态分叉方向，这里只给出简单的、19。首先，需要两个的单位向量。为了避免向量微分，取适当小的正数、计算、矩阵、20，以及相应的非零特征向量和单个实特征根。在找到Hopf分支点后，有必要跟踪周期闭合轨道。让轨道是空间中的一条闭合曲线，这里是曲线的弧长。对于x(s)，我们使用具有m个等距点的埃尔米特插值，并且我们将使用一组非线性

7、方程。这样，我们把跟踪极限环的动态问题转化为静态问题，用伪弧长算法可以很容易地实现。因此，对于线性特征值问题，21，一些例子可以通过使用弧长法毫无困难地计算一系列以前考虑的困难问题，例如材料软化和塑性流动后屈曲行为。悬臂槽钢的弯曲，大变形22，24，3定义动力系统的分叉，25，其相应的平衡方程是，定义1。凌，这是系统(4)的一个不动点，而且矩阵没有纯虚特征值。如果有两个不同的解，在任何邻域内，分歧问题已经研究了很多年，尽管人们非常关注，但其定义还没有仔细推敲。就平衡解的分歧而言，有两种不同的定义。考虑动力系统的两个不同的解，26，我们定义2。凌是系统(3)的零解，且矩阵没有纯虚特征值。如果有不

8、同于，并且，在的任何邻域中，它被称为静态分叉点(3)。在7和8中，我们证明了以下条件，即它是系统(3)的孤立奇点，0是矩阵的单个特征值。以上两个定义是等价的。然而，当有多个特征值时，它们可能是不相等的，并给出一个反例。定义3。如果存在某一点，对于任何给定的，关于分歧的定义，非线性动力学杂志，第2卷，第3期，第264-269页，8周克周，吴建国，关于分歧的定义，国际分歧和混沌杂志，第7卷，第8期，(1997)，和27属于不同的等价类，所以它们被称为分歧点(3)。在这个定义中，我们将动态系统的分支与其等价类联系起来，不同的等价类定义有不同的分支。，如果解，28，4非自治线性动力系统的等价类，5。吴

9、，黄，关于线性非自治系统的等价性，自然科学进展，第11卷，第3期，第184-191，29页，定义4，它位于空间的U区，给出了两个动力系统。它们对应的流程是，如果我们在两个动力系统的变量X和Y之间给出一种变换，在H中就有一种变换，在这种变换下(5)和(6)或(5)和(6)。如我们所知，对于线性自治系统，如果矩阵A没有实部为零的特征值，并且有正实部特征值和负实部特征值，则(8)在这里等于31。对于非自治系统，我们最近证明了以下结果：在非自治系统中，如果矩阵A(t)和A常数小于负实数。此外，它的所有特征值都满足以下条件：如果有一个正规数，它满足：因此(10)在拓扑上等价于(9)，如果它足够大，或。3

10、2的一个解是，对这个解做一个小扰动，把它代入原始方程，减去这两个方程，然后线性化右边的方程，你将得到一个线性非自治系统：在得到线性非自治系统的等价类的结果后，我们还可以讨论动力系统的一个具体解是否是一个分歧解。让动力系统的分支33被定义。如果解有分歧点，我们可以说它是分歧解。根据定义4，我们可以找到一个关于同宿(异宿)轨道的周期为t的闭合轨道。如果我们能判断在相应的闭合轨道(12)上有一个(或多个)奇点，也就是说，这个闭合轨道是同宿(或异宿)轨道。一般认为，同宿轨和异宿轨的出现是动力系统从规则运动向混沌转化的通道。因此，确定动力系统中同宿轨和异宿轨出现的条件，对于讨论系统向混沌运动的转化具有重

11、要意义。让我们假设我们已经跟踪了动态系统，36，假设，是闭合轨道上的一个点，并且是一个奇点。展开(13)，我们得到一个方程。在上面的方程中，是一个非零向量，所以系数级数和公式必须满足：37，然后代入(14)得到它，这样我们才能判断。上述求解过程是在给定的参数和条件下求解的。的奇点不一定在闭合轨道上，也不一定是唯一的。但是，我们可以粗略地理解奇点随闭合轨道的位置而变化，从而确定闭合轨道上的奇点。接下来，我们将讨论在变化的条件下确定同宿轨和异宿轨的方法，使得闭合轨道上的点对应于同宿轨(异宿轨)上的奇点。在该点展开(13)，然后通过求解上述公式就可以得到闭合轨道。因此，在闭合轨道上，系数的行列式必须

12、满足：39，并且可以通过代入(12)得到，这样就可以判断它是否在闭合轨道上，从而确定它是否已经到达同宿或(异宿)轨道。通过同时求解上述公式和跟踪闭合轨道的弧长公式，可以得到对应于40，6的求解动力系统的伪弧长法，41这里，求解静态问题的弧长法已在参考文献1中详细讨论。至于求解动态问题，即时间微分方程，有时引入弧长可以克服许多困难，使原本困难的问题更容易解决。现在我们将介绍9中发展的弧长法。摘要：考虑常微分方程组的初值问题，9吴，徐，丁，用弧长法求解微分方程组的初值问题。利用数学和力学，第20卷，第8期，第875-880，42页，让我们成为一个弧长参数，然后让我们，从这些方程，我们可以得到，也就

13、是说，考虑到上述公式，(19)可以写成，44。如果引入维数向量，并将上述公式的右端项写成维数向量，则方程(18)及其初始条件可以统一写成，显然上述初值问题等价于(18)。因此，通过引入弧长的这种变换，求解(18)的问题变为求解初始值问题(23)。45，当问题(18)的右端项很大时，即当其未知向量随时间的变化率很大时，即使存在不连续性，根据(18)的数值解也可能导致失败，而根据(23)的数值解则很容易。对于(23)的解，可以使用通常的龙格-库塔方法。例：求解刚性微分方程的应用实例。所谓刚性微分方程是指动力系统方程的右端项与其导数项相比非常大，或者其左端导数项具有小参数。这类问题一直是微分方程数值

14、解中的一个非常困难的问题。让我们举一个参考文献10中讨论的非线性例子，它是范德波尔方程。问题(23)的优点是它的向量场在非零向量点处是单位长度。46.在方程中，让，让，把它代入(24)，仍然把Z变成Y，得到一个典型的刚性方程组：初始条件是在参考文献10 (24)中，隐式龙格-库塔方法被直接用来解决这个问题，结果如图1所示。这个结果只能说明这个问题的解决非常复杂，其结果没有什么参考意义。47，图1，参考文献10中(24)的结果，10。e. Hairer等人，解微分方程ii，刚性和微分代数问题，springer-verlag，1991。48.我们通过使用本节中描述的弧长法解决了这个问题。结果表明，

15、这种转换非常有效。我们使用弧长s计算增量步长为0.001，总共计算10000步。最后5000步的计算结果如图2所示。曲线的尾部振荡(c)表明系统有一个极限循环，系统的运动趋向于极限循环。49，图2。使用本节介绍的弧长法，求解(24)中获得的10000步中最后5000步的结果。50和图2(B)对应于图1的计算结果。51，图2(c)10000步结束的结果。我们还用弧长法求解偏微分方程，这对于那些解不连续的偏微分方程特别有效。文献9还给出了一个求解Burgers方程的例子来说明该方法的有效性。如果(18)是一个自治系统，也就是说，它的右端项不包含时间t，那么我们不需要考虑时间t是弧长s的函数，然后它从方程