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文档简介
1、概率论与数理统计,3.4 随机变量函数的分布,第三章,概率论与数理统计,主要内容,二、二个随机变量函数的分布,一、一个随机变量函数的分布,解,例1,第一步 先求 =2 +8 的分布函数,一、一个随机变量函数的分布,第二步 由分布函数求概率密度.,解,例2,再由分布函数求概率密度.,当 =2 +3 时,有,定理1 设 为连续型随机变量，p (x)为其密度函数.又y =f (x)严格单调,其反函数h (y)具有连续导数.则 也是一个连续型随机变量，且其密度函数为,其中,同理可证 f（x）单调减时结论也成立.,已知 的密度函数p (x) 或分布函数求 的密度函数,（1） 从分布函数出发,注： 连续性
2、 r.v.函数的分布的求法,（2）用公式直接求密度函数,证明,的概率密度为,例5,解,例6,例3 已知 N (0,1) , , 求,解 从分布函数出发,y,当 y 0 时，,故,从而,即,二、 二个连续型随机变量函数的分布,当 为连续r.v.时，,其中,Dz,其几何意义为,仿一维的作法.,第一步 先求分布函数由分布函数的定义,第二步 由分布函数和密度函数的关系求密度函数,例4 设 独立同分布,均服从N (0,1) ,求,的密度函数。,1、 和的分布：,设 的联合d.f.为 p(x,y), 则,x +y= z,令y=z-x,特别地，若 相互独立，则,或,或,称之为函数 与 的卷积 .,例5 已知
3、 的联合d.f.为,解法一（图形定限法）,显然 相互独立,且,求, z-1 z 0 1 y, z-1 0 z 1 y, 0 z-1 1 z y, 0 1 z-1 z y,解法二,解法三 从分布函数出发,当z 0 时，,当0 z 1 时，,当1 z 2 时，,z-1,当2 z 时，,例3 已知 的联合 d.f.为,解法一 （图形定限法）,由公式（1）,当 z 2 ,当 0 z 1,当 1 z 2,p Z (z) = 0,这比用分布函数做简便.,解法二 （不等式组定限法）,考虑被积函数取非零值的区域, z z /2 0 1 y, 0 z/2 z 1 y, 0 z/2 1 z y, 0 1 z/2 z y,故,例4 设 与 相互独立且都服从N（0，1）,证明,证 由卷积公式,正态随机变量的结论,若,相互独立,则,推广,2、 商的分布：,设 的联合d.
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