浙江省台州市2024-2025学年高二下学期6月期末数学试题

浙江省台州市2024-2025学年高二下学期6月期末数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“∀x∈R，x2A．∃x∈R，x2+1≤0 B．∀x∈RC．∃x∈R，x2+1>0 D．∀x∈R2．已知随机变量X服从正态分布Nμ,σ2A．σ=2 B．σ2=2 C．μ=0 3．若tanθ=2，则复数z=2sinθ+icosθ（i为虚数单位）的模为（）A．175 B．855 C．854．已知直线y=ax−1与曲线y=lnx相切，则实数aA．13 B．12 C．15．一个袋子中装有除颜色外完全相同的6个红球和4个白球，从中一次性随机摸出3个球，用X表示这3个球中白球的个数，则下列概率中等于C10A．PX=1 B．PX≤1 C．PX≥16．关于x3A．第7项的二项式系数最大B．当x=1时，x3+1xC．展开式中存在常数项D．展开式中存在连续三项的系数成等差数列7．若函数fx=xex+a（A．0,+∞ B．1e,+∞ C．8．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若△ABC的面积为3c2+A．14 B．34 C．12二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．设样本空间Ω=a,b,c,d含有等可能的样本点，且A=a,b，B=a,cA．事件A,B,C两两互斥 B．事件A,B,C两两独立C．PABC=PA10．设平面向量a,b满足b=2a=2，a⋅bA．存在t，使得向量c与向量a−B．d的最小值为3C．若t=1，则向量c在向量a上的投影向量为aD．c⋅11．已知正四面体A−BCD的棱长为4，四面体内部一点P（包含边界）到三个侧面ABC，ABD，ACD的距离之比为1:1:2，则下列说法正确的是（）A．正四面体A−BCD内切球的半径为6B．点P可以为△BCD的重心C．CD⊥BPD．△PCD面积的最小值为8三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12．某学生最近五次的数学考试成绩分别为125，123，120，133，130，则该学生数学成绩的第30百分位数为．13．已知函数fx=2sinωx+π3，满足fx+π14．已知函数fx=x3−bx2+cx+1，若存在实数c，使得四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数fx（1）求函数fx（2）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且a=2,fA=1−316．在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，四面体P−ABC的体积为216（1）证明：BD⊥AP；（2）求直线PB与平面ABC所成角的正弦值．17．为了提高学生学习数学的兴趣，某校组织1000名学生参加数学竞赛预赛，学校根据预赛成绩选拔400名学生入围复赛（划定入围复赛分数线，成绩大于等于分数线即入围），下图是根据预赛成绩（满分150分）整理后绘制成的频率分布直方图．（1）估算本次预赛成绩的平均分以及入围复赛的分数线；（2）从参加预赛的1000名学生中随机抽取30人进行访谈，设抽取到入围复赛的人数为X，求EX（3）为了给未入围复赛的学生参加复赛的机会，学校允许数学老师在未入围复赛的600名学生中推荐100名学生参加复赛．若推荐入围复赛的学生在复赛中获奖的概率为0.1，通过预赛入围复赛的学生在复赛中获奖的概率为0.4．在入围复赛的500名学生中随机抽取1名学生，求抽取的学生在复赛中获奖的概率．18．已知函数fx=lnx−ax，gx（1）若函数y=fx存在2个零点，求a（2）记hx①当a=1时，求hx②若hx的最小值为2，求a19．把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，这就是“算两次”原理．比如“Cn+1m=Cnm+Cnm−1”；一方面问题视为从包含a的n+1个不同的元素中取出m个元素，共有Cn+1m种方法；另一方面，还可以视为取出的（1）若函数fx对任意x∈0,+∞都有2elnx≤fx≤（2）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，角B的内角平分线交AC于D，证明：c−acos（3）当n≥3时，求k=1n1+−1

答案解析部分1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】C6．【答案】D7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】B,D10．【答案】A,C,D11．【答案】A,C,D12．【答案】12313．【答案】2（答案不唯一：4k+2,k∈Z均可）14．【答案】1,+15．【答案】（1）解：由题意得，fx=32cos2x−32sin2x+1=3cos2x+π3+1，

∴函数fx（2）解：由fA=1−3得3cos2A+π3+1=1−3，故cos2A+π3=−1，

∵0<A<π，∴π3<2A+π3<7π3，

∴16．【答案】（1）证明：取AP中点K，连接KB,KD，由PD=DA，PB=BA，得AP⊥BK，AP⊥DK，又因为BK∩DK=K，且BK，DK⊂平面BDK，所以AP⊥平面BDK，因为BD⊂平面BDK，所以BD⊥AP．（2）解：设点P到平面ABC的距离为h，直线PB与平面ABC所成角为θ，则四面体P−ABC的体积为13由题意有33h=21故sinθ=hPB=74，即直线PB17．【答案】（1）解：由频率分布直方图可知平均分为：0.1×15+0.2×45+0.3×75+0.25×105+0.15×135=79.5，因为4001000=0.4，前三个矩形面积之和为故第60百分位数为90，即入围分数线估计为90分．（2）解：由题意知X~B30,0.4，所以E（3）解：设B=“在复赛中获奖”，A=“由推荐入围复赛的学生”，A=“由预赛入围复赛的学生”，则PA=0.2，PA=0.8，PBA=0.1，PB18．【答案】（1）解：因为函数y=fx的定义域为0,+∞，

令fx设tx=lnxx，则t'x=1−lnxx2，

令t'x=0所以tx=lnxx在因为t1=0，te=1e，

当x→+∞（2）解：①当a=1时，hx设mx=x−lnx，则令m'x=0当0<x<1时，m'x<0；当x>1所以mx=x−lnx在0,1上单调递减，在则mminx=m1=1，

②因为hx由①知，2lnx−2x≥2，当且仅当x=1取到等号，

所以h则0≤a≤2．19．【答案】（1）解：一方面，由fx≤x另一方面，由fx≥2elnx可得所以fe（2）证明：一方面，BD⋅另一方面，BD=BD因为BC=所以BDBC化简得acosB即c−acos（3）解：先计算k=1nk2一方面，若班长和团支书由1人兼任有Cn1种方法，其余n−1人有2n−1种选法，共有Cn1×2n−1种方法；若班长和团支书分别由2人担任有An另一方面，从n人中