概率论与数理统计 谢永钦

1、2,1. 确定性现象和不确定性现象.,2. 随机现象: 在个别试验中其结果呈现出不确定性, 在大量重复试验中其结果又具有统计规律性.,第一章 概率论的基本概念,前 言,3. 概率与数理统计的广泛应用.,3,1.随机试验,E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T) 面 的情 况.,E2: 将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.,E3: 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况.,举例:,我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验 称为试验。,E4: 电话交换台一分钟内接到的呼唤次数.,E5: 在一批灯泡中任取一只, 测试它的寿命.,4,随机试验: (1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试

2、验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.,5,2. 样本空间与随机事件,(一) 样本空间: 定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.,样本空间的分类:,1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等.,2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命t|t0.,6,(二) 随机事件,定义 样本空间S的子集称为随机事件, 简称事件. 在一次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称这一事件发生.,基本事件:,复合事件:,必然事件:,不可能事件：,

3、由一个样本点组成的单点集. 如:H,T.,由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件为复合事件. 如:E3中出现正面次数为奇数.,样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是发生的，称为必然事件。,空集不包含任何样本点, 它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。,7,例1. 试确定试验E2中样本空间, 样本点的个数, 并给出如下事件的元素: 事件A1=“第一次出现正面”、事件A2=“恰好出现一次正面”、事件A3=“至少出现一次正面”.,8,（三）事件间的关系与事件的运算,1.包含关系和相等关系:,若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与

4、B相等.,9,2.和事件:,3.积事件： 事件A B=x|x A 且 x B称A与B的积，即事件A与B同时发生. A B 可简记为AB.,类似地, 事件 为可列个事件A1, A2, .的积事件.,10,4.差事件: 事件A-B=x|xA且xB 称为A与B的差. 当且仅当 A发生, B不发生时事件A-B发生. 即:,显然: A-A=, A- =A, A-S= ,11,5.事件的互不相容(互斥):,12,6. 对立事件(逆事件)：,13,7.事件的运算律:,交换律:,结合律:,对偶律:,分配律:,14,例. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示 甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表

5、示的结果：,15,3. 概率的概念,一. 古典定义：,等可能概型的两个特点:,例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.,(1) 样本空间中的元素只有有限个;,(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.,概率的古典定义: 对于古典概型, 样本空间S1, 2, , n, 设事件A包含S的 k 个样本点，则事件A的概率定义为,16,古典概型概率的计算步骤:,(1) 选取适当的样本空间S, 使它满足有限等可能的要求, 且把事件A表示成S的某个子集.,(2) 计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k.,(3) 用下列公式计算:,17,例1. 袋中装有4只白球和2只红球. 从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种

6、式: (a)放回抽样; (b)不放回抽样. 求: (1)两球颜色相同的概率; (2)两球中至少有一只白球的概率.,例2. 设一袋中有编号为1,2,9的球共9只, 现从中任取3只, 试求: (1)取到1号球的概率,（事件A） (2)最小号码为5的概率.（事件B）,18,例3. 某接待站在某一周曾接待过12次来访, 且都是在周二和周四来访. 问是否可以推断接待时间是有规定的?,19,二、几何定义:,定义,20,定义 当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区域是等可能的,则事件 A 的概率可定义为,说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结

7、为几何概率.,21,例1 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预 定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t ( t0)的一些平行直 线,现向此平面任意投掷一根长为l ( 0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).,推广,34,35,(三) 全概率公式和贝叶斯公式:,1. 样本空间的划分,注,(1) 若B1,B2,Bn是样本空间S的一个划分, 则每次试验中, 事件B1, B2, , Bn 中必有一 个且仅有一个发生.,36,2. 全概率公式:,称为全概率公式.,3. 贝叶斯公式:,37,例4. 某电子设备厂所用的晶体管是由三家元件制 造厂提供的,数据如下:

8、 元件制造厂 次品率 提供的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 (1) 任取一只晶体管,求它是次品的概率. (2) 任取一只,若它是次品,则由三家工厂 生产的概 率分别是多少?,38,例5. 对以往数据分析结果表明, 当机器调整得良好 时, 产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时, 其合格率为30%, 每天早晨机器开动时机器调整良 好的概率为75%, 试求已知某日早上第一件产品是 合格品时, 机器调整得良好的概率是多少?,39,1.6 独立性,设A,B是试验E的两事件,当P(A)0, 可以定义P(B|A).,一般地, P(B|A)P(B), 但当

9、A的发生对B的发生的概 率没有影响时,有P(B|A)=P(B),由乘法公式有 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).,例如 设试验E为掷甲、乙两枚硬币，观察正反面出现情况. 设A“甲币出现H”, B“乙币出现H”, 试求: B发生的条件下，A发生的概率；A发生的概率.,1. 定义: 设A,B是两事件,如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B), 则称事件A与事件B是相互独立的事件.,40,由定义可知:,1) 零概率事件与任何事件都是相互独立的.,2) 由对称性, A,B相互独立, 必有B, A 相互独立.,如果对于任意的k(kn), 任意的1i1i20,则A,B相互独立 的充要条

10、件是: P(B|A)=P(B).,有关结论:,42,三. 利用独立性计算古典概率:,1. 计算相互独立的积事件的概率： 若已知n个事件A1, A2, , An相互独立，则 P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An),2. 计算相互独立事件的和的概率： 若已知n个事件A1, A2, , An相互独立，则,例1. 两架飞机依次轮番对同一目标投弹, 每次投下一颗炸弹, 每架飞机各带3颗炸弹, 第1架扔一颗炸弹击中目标的概率为0.3, 第2架的概率为0.4, 求炸弹未完全耗尽而击中目标的概率。,43,44,45,第一章 习题课,一、主要内容:,样本空间,随机事件,概率定义及性质,古典概型,条件

11、概率,全概率公式,Bayes公式,事件的独立性,46,二、课堂练习:,1.选择题: (1)当事件A与B同时发生,事件C必发生,则有( ) (A) P(C)=P(AB) (B) P(C)=P(AB) (C) P(C)P(A)+P(B)-1 (D) P(C)P(A)+P(B)-1,47,2. 填空题：,(2) 设两个事件A, B相互独立, A, B都不发生的概率 为1/9, A发生而B不发生的概率与B发生而A不发生 的概率相等, 则P(A)=_.,3.计算题：,48,设甲箱中有a只白球，b只黑球，乙箱中有c只白球，d只黑球，从甲箱中任取一球放入乙箱中，然后从乙箱中任取一球，试求从乙箱中取得白球的概

12、率。 有n个不同(可辨别)的球，每个球都以同样的概率1/N被投到N (nN)个箱子中的每一箱中，试求下列事件的概率： (1) 某指定的n个箱子中各一球(A) (2) 恰有n个箱，其中各有一球(B) (3) 某指定箱中恰有m(m n)个球(C) (4) 恰有k个箱子，其中有m个球(D). 3. 在一个盒子中混有新旧两种乒乓球，新的有白球40个，红球30个，旧球中有白球20个，红球10个，在这个盒子中任取一球，发现是新的，求这个球是白球的概率.,49,第二章 随机变量及其分布,2.1 随机变量,即X(e)是定义在样本空间S上的一个实函数,对于不同的试验结果e, X取不同的值, 由于试验前不能预料e

13、的取值, 因而X取1还是取0也是随机的, 故称X(e)为随机变量。,50,1. 定义: 设随机试验E的样本空间是S=e, 若对于每一个 eS, 有一个实数X(e)与之对应, 即X(e)是定义在S上的单 值实函数，称为随机变量。简记为r.v.,注,(1) 可用随机变量X描述事件.,反过来, X的一个变化范围表示一个随机事件: “2Xx1, F(x2)-F(x1)=Px1Xx2 0.,(2) 0F(x)1, F(-)=0, F(+ )=1.,(3) F(x)至多有可列个间断点, 而在其间断点 上也是右连续的,F(x+0)=F(x).,62,结论,反之，若已知分布函数求分布律用如下公式求解：,63,

14、64,4. 连续型随机变量的概率密度,则称X为连续型r.v. f(x)称为X概率密度函数, 简称概率密度.,65,例1. 一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能击中靶, 以X表示弹着点与圆心的距离. 试求X的分布函数.,66,定义,3. 关于连续型r.v.的一个重要结论:,定理: 设X为连续型r.v. 它取任一指定的实数值a的概率均为0. 即PX=a=0.,67,4.几个常用的连续型r.v.分布,(一)均匀分布:,则称随机变量X在(a,b)上服从均匀分布,记作XU(a,b).,分布函数为:,68,(二) 正态分布:,69,性质:,(2

15、)标准正态分布:,70,引理:,结论,71,例 设某商店出售的白糖每包的标准全是500克,设每包重量X(以克计)是随机变量,XN(500,25),求: (1) 随机抽查一包, 其重量大于510克的概率; (2) 随机抽查一包, 其重量与标准重量之差的绝对值在8克之内的概率; (3 求常数c,使每包的重量小于c的概率为0.05.,注,(1) 由(x)=0.05怎样查表求x的值?,(2) 服从正态分布N(,2)的r.v. X之值基本上落入-2, +2之内, 几乎全部落入-3, +3内. 特别强调N(0,1)的情况在计算中的应用.,72,(3) 标准正态分布的上分位点:,73,(三) 负指数分布:,

16、74,(四) 伽玛分布:,75,5. 随机变量的函数的分布,一、 X为离散型r.v.,76,(2) 若g(x1),g(x2), 中不是互不相等的, 则应将那些相等的值分别合并, 并根据概率加法公式把相应的pi相加, 就得到了Y的概率分布律.,77,二、X为连续型r.v.,78,79,(1) 若f(x)在有限区间a, b以外等于零, 则只需假 设在a, b上g(x)严格单调, 选取 =min(g(a), g(b), =max(g(a), g(b).,2.公式法： 定理:设X是连续型r.v., 具有概率密度f(x),设y=g(x)是x的严格单调函数, 且反函数x=h(y)具有连续的导函数. 当g(

17、x)严格增加时, 记 =g(-), =g(+); 当g(x)严格减少时, 记 =g(+), =g(-), 则Y的概率密度为:,说明,(2) 定理中条件y=g(x)是X的严格单调函数是相当 苛刻的,许多常见的函数都不能满足, 因此,求随机 变量的函数的分布时, 只能按“分布函数法”直接 求解.,80,例4. r.v.XN(, 2), 证明X的线性函数Y=aX+b (a0)也服从正态分布.,81,第二章 习题课,一. 主要内容,二. 课堂练习,1. 甲，乙两名篮球队员独立地轮流投篮，直到某人投中为止，今设甲投中的概率为0.4,乙投中的概率为0.6, 求甲队员投篮次数的分布律(设甲先投).,82,8

18、3,第三章 多维随机变量及其分布,1 二维随机变量,1. 二维r.v.定义: 设E是一个随机试验, 样本空间是 S=e,设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的r.v., 由它们构成的一个向量(X, Y), 叫做二维r.v.,2. 二维r.v.(联合)分布函数:,84,若将(X, Y)看成平面上随机点的坐标, 则分布函数F(x,y)的值为(X,Y)落在阴影部分的概率(如图1),图1,图2,二维r.v.的分布函数的基本性质与一维r.v.的分布函 数F(x)的性质类似, 此处从略.,85,3. 下面分别讨论二维离散型和连续型r.v.,(一) 二维离散型r.v.,86,例1. 设r.v. X在1,

19、 2, 3, 4四个整数中等可能地取值, r.v. Y则在1X中等可能地取一整数, 试求(X, Y)的分布律.,结论,87,(二) 二维连续型r.v.,88,二维连续型r.v. (X, Y)落在平面G上概率, 就等于密度函数f(x, y)在G上的积分, 这就将概率的计算转化为一个二重积分的计算了.,注,89,2. 边缘分布,一、边缘分布函数：,二、边缘分布律：,90,91,三、边缘概率密度:,92,93,3. 条件分布,一、二维离散型r.v.的情况:,94,95,例2 一射击手进行射击, 击中目标的概率为p(0p1), 射击到击中目标两次为止, 设以X表示首次击中目标进行的射击次数,以Y表示总

20、共进行的射击次数,试求X和Y的联合分布律和条件分布律.,96,二、二维连续型r.v.,首先引入条件分布函数,然后得到条件概率密度.,97,进一步可以化为:,98,例3. 设数X在区间(0, 1)上随机地取值, 当观察到X=x (0x0,140,提法二: 强大数定律, 即证明：,1. 切比雪夫大数定律的特殊情况,设r.v.X1, X2, , Xn, 相互独立, 且具有相同的数学期 望和方差:,141,性质:,142,143,2. 中心极限定理,一. 问题提出:,对于独立随机变量序列1, 2, , n, ,假定Ei, Di存在, 令,144,1. 独立同分布的中心极限定理:,设 r.v. Xk(k

21、=1, 2, )相互独立, 服从同一分布(i.i.d.) 且具有有限的数学期望和方差:,145,2. 李雅普诺夫定理:,146,3. 德莫佛-拉普拉斯定理:,147,例2. 设某车间有200台车床, 每台车床由于种种原因出现停车, 且每台车床开车的概率为0.6, 假定每台车床停或开车是相互独立的. 若每台车床开车时需消耗1000W电能, 问要以99.9%的概率保证这个车间不致因供电不足而影响生产，需供应多少电能？,148,练习: 1. 抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受，问应检查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不能被接受的概率达到0.9? (147个)

22、2. 一个复杂的系统，由n个相互独立起作用的部件组成，每个部件的可靠度为0.9，且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统工作，问n至少为多少才能使系统的可靠度为0.95? (25个) 3. 设某电话总机要为2000个用户服务，在最忙时，平均每户有3%的时间占线，假设各户是否打电话是相互独立的，问若想以99%的可能性满足用户的要求，最少需要多少条线路？(79条),149,第六章 样本及抽样分布,1. 随机样本,一. 定义:在统计学中, 我们把所研究的全部元素组成的集 合称作母体或总体, 总体中的每一个元素称为个体. (可分 为有限总体和无限总体).,二. 定义:设X是具有分布函数F的r.v.,

23、若X1, X2,Xn是具 有同一分布函数F的相互独立的r.v.,则称为从分布函数F (或总体F或总体X)得到的容量为n的简单随机样本, 简称 样本, 它们的观察值x1,x2, , xn称为样本值, 又称为X的n 个独立的观察值.,150,结论,151,2. 抽样分布,一. 定义: 设X1, X2, , Xn是来自总体X的一个样本, 又设 g(X1, X2, , Xn)是一个连续函数, 如果g中不含有未知参 数, 则称g(X1, X2, , Xn)为统计量.,152,二. 常用的统计量:,153,定义：统计量是样本的函数, 它是一个随机变量. 统计量的分布称为抽样分布.,注,结论,154,三.

24、几种常用的统计分布:,2. 分布与2(n)分布的关系：,155,注,3. 2(n)分布的性质：,156,157,(二) t-分布:,说明,158,注,159,(四) F分布:,160,161,例题,0.1,162,四. 正态总体样本的均值与样本方差的分布:,结论,重要定理,163,164,第七章 参数估计,1. 点估计,一. 问题的提法:,165,二. 矩估计法:,166,样本矩Ak依概率收敛于相应的总体矩, 而样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数.,依据,167,三. 极大似然估计方法:,说明,168,理论依据,169,极大似然估计的求解方法:,170,例2. 设X服从a, b

25、区间上的均匀分布, 求a和 b的极大似然 估计和矩估计量.,极大似然估计的性质:,171,2. 估计量的评选标准,1 无偏性:,(2)例子,S2是D(X)的无偏估计量.,(3) 有偏估计向无偏估计的转化：-一般化方法。,172,2有效性:,173,3一致性:,结论,切比雪夫不等式，大数定律,174,3. 区间估计,一. 问题引入:,1. 定义:,175,说明,1.置信区间的直观含义.,176,二. 求置信区间的一般思路:,1. 设法构造一个随机变量Z=Z(X1, X2, , Xn;),除参数 外, Z不包含其他任何未知参数, Z的分布 已知(或可求 出),并且不依赖于参数, 也不依赖于 其他任

26、何未知参 数.,177,4.正态总体均值与方差的区间估计,一. 单个正态总体的均值与方差的区间估计:,178,二. 两个正态总体的区间估计:,179,180,三. 两个总体方差比的置信区间:,181,5. (0-1)分布参数的区间估计,例 设自一大批产品的100个样品中, 得一级品60个, 求这批产品的一级品率p的置信度为0.95的置信区间.,182,6. 单侧置信区间,1. 定义:,183,第八章 假设检验,1. 假设检验,一. 基本思想:,例1. 某车间用一台包装机包装葡萄糖,包得的袋装糖重是 一个随机变量, 它服从正态分布. 当机器正常时,其均值为 0.5公斤,标准差为0.015公斤.

27、某日开工后为检验包装机是 否正常,随机地抽取它所包装的9袋,称得净重为(公斤) 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512 问机器是否正常?,184,假设检验所采用的方法是一种反正法: 先假设结论成立, 然后在这个结论成立的条件下进行推导和运算, 如果得到矛盾, 则推翻原来的假设, 结论不成立, 这 里的矛盾是与实际推断原理的矛盾, 即如果 “ 小概率事件在一次试验中发生了”, 则认为原假设不成立, 因此, 假设检验是一种带有概率性质的反证法.,基本思想,二. 基本概念与术语:,1. 称给定的(0 1)为显著性水平.,185,说明

28、,186,5. 假设检验的一般步骤：,187,三. 假设检验的两类错误:,1. 第一类错误: 如果原假设H0成立,而观察值落入拒绝域,从而作出拒绝H0的结论,称作第一类错误,又称“弃真”的错误.由定义知, 显著性水平恰好是犯第一类错误的概率.,2. 第二类错误: 如果原假设H0不成立, 而观察值未落入拒绝域,从而作出接受H0的结论,称作第二类错误, 又称“取伪”的错误,通常记作.,188,四. 双边假设检验和单边假设检验:,189,190,2 正态总体均值的假设检验,一. 已知2, 检验:,二. 未知2, 检验:,191,例1. 某种电子产品的寿命x(以小时记)服从正态分 布, 2均未知, 现

29、测得16只元件的寿命如下: 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170 问：是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时?,192,例2.某种元件的电阻值长期以来服从 分布. 现从一批这种电子元件中随机抽取25个，测得平均电阻值 ，均方差 , 问：在 下能否认为这批电子元件的电阻均值有显著变化？,193,三. 两个正态总体均值差的检验(t-检验):,2. 对于12, 22已知时, 可用“u- 检验方法”检验.,194,例2. 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议 是否会增加钢的得率, 试验是在同一只平炉上进行的. 每 炼一炉钢时除操作方法外, 其它条件都尽可能做到相同. 先用标准方法炼一炉, 然后手建议的方法炼一炉, 以后交 替进行, 各炼了10炉, 其得率分别为:标准方法: 78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3 新方法: 79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1 设这两个样本相互独立, 且分别来自