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文档简介

1、1,5.2 解析函数的孤立奇点,1、孤立奇点的分类及性质,2、施瓦兹引理,3、皮卡定理,2,1 孤立奇点,1、孤立奇点的定义,例如,孤立奇点,3,奇点未必 是孤立的.,若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤立奇点.,2、孤立奇点的分类,注,4,2.1 可去奇点：展式中不含z-z0负幂项，即,特点?,“可去”一词的解释?,5,2.2 极点：展式中仅含有有限多个z-z0负幂项，即,特点?,6,2.3 本性奇点：展式中含有无穷多个z-z0负幂项,特点?,7,3、 函数在孤立奇点的性质,若z0为 f (z) 的孤立奇点，则下列条件等价：,性质1（可去奇点的判定定理）,证：只须证,显然,由极限定义即可,

2、8,其中,由于,9,性质2（m级极点的特征）,证：,去心邻域,10,则,例如：,为f (z)的一个4级极点，,为f (z)的单极点.,11,注意：在判断孤立奇点类型时，不要一看 到函数的表面形式就急于作出结论. 例如,利用洛朗展式容易知道，z=0分别是它们的单极点，可去奇点，2级极点.,性质3 若z0为f (z)的孤立奇点，则,z0为f (z)的极点的充要条件是,在判断函数的极点时，请比较性质2和性质3.,性质5,分析,13,例如，,1,5,性质6 （极点的运算性质）,14,性质7 z0为 f (z) 的本性奇点,注：在求复变函数的极限时，也有同实 函数类似的罗必塔法则.,由性质1和性质3，得

3、,定理5.7 若z=a为f(z)之一本性奇点,且在点 a的充分小去心邻域内不为零,则z=a亦必为,的本性奇点.,证 （反证法）,若z=a为(z)的可去奇点(解析点),都与假设,若z=a为(z)的极点,a为f(z)的可去奇点,a为f(z)的可去奇点,a为f(z)的极点,矛盾！,16,答：,17,性质8 (Weierstrass)定理,例如：,本性奇点,点).根据前面(1)段的结果,必定有一个趋向a的点列zn存在,使得,可能有这种情形发生,在点a的任意小的邻域内有这样 一点z存在,使f(z)=A.定理得证,否则,a必为f(z)的可去奇点.,.这样,由定理5.7,函数,在K-a内解析,且以a为本 性

4、奇点(因a为f(z)的本性奇,由此推出,因此,我们可以假定,在点a的充分小去心邻域K-a内f(z)A,证 (1) 在 A的情形,定理是正确的.因为函 数f(z)的模在a的任何去心邻域内都是无界的.,(2)现在设,定理5.9(毕卡(大)定理) 如果a为f(z)的本性奇点,则对于每一个A,除掉可能一个值A=A0外,必有趋于a的无限点列zn使f(zn)=A (n=1,2,).,席瓦尔兹(Schwarz)引理 如果函数f(z)在 单位圆|z|1内解析,并且满足条件 f(0)=0, |f(z)|1 (|z|1), 则在单位圆|z|1内恒有|f(z)|z|, 且有 |f /(0)|1.,5.2.4 Schwarz引理

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