气体动理论 大学物理

1、,第二章 气体动理论,(Kinetic theory of gases),引 言,气体动理论是从气体分子热运动的观点出发，运用统计方法研究大量气体分子的宏观性质和统计规律的科学，它是统计物理学最基本的内容。本章将根据气体分子模型，研究气体的压强与温度等宏观性质和分子速率分布规律与能量分布规律等统计规律，从微观角度揭示这些性质和规律的本质，同时穿插介绍这些理论的一些应用.,1 气体的微观图像,一、原子（atom),“假如在一次浩劫中所有的科学知识都被摧毁，只剩下一句话留给后代，什么语句可用最少的词包含最多的信息?我相信，这是原子假说，即万物由原子(微小粒子)组成.”费曼,现代的仪器已可以观察和测

2、量原子的大小以及它们在物体中的排列情况, 例如 X 光分析仪,电子显微镜, 扫描隧道显微镜等.,二、分子（molecule）,分子是游离状态下的单质或化合物的能够独立存在的最小粒子；单质的分子是由相同元素的原子组成的，化合物的分子则由不同元素的原子所组成阿伏伽德罗,物质都是由大量分子组成的，物质的分子是可以独立存在、并保持该物质原有性质的最小单元 。,用摩尔（mol）表示物质的量。每l mol任何一种物质所含有的分子(或原子)数目均相同阿伏伽德罗常数。,1.分子数是大量的,2.分子是很小的，可看作质点。,3.分子之间有作用力,气体分子间距离很大，分子力的作用范围很小，除分子与分子、分子与器壁相

3、互碰撞的瞬间外，气体分子间相互作用的分子力极其微小。,气体分子质量一般很小，重力对其作用可以忽略。,4.分子在作永不停息的运动，其剧烈程度与温度有关。,布朗运动的实验验证是法国物理学家皮兰所做的。他根据实验描绘的布朗运动如左图所示。皮兰还通过实验测算出了阿伏伽德罗常量，进而测出了原子和分子的质量。皮兰因此而获得了“世界上第一位称量原子的人”的美称，进而获得了1926年的诺贝尔物理学奖。,爱因斯坦从统计观点出发，推导出微观粒子在流体介质中的扩散方程：,皮兰用实验证实了爱因斯坦理论的正确性，而且还通过实验测算出了阿伏伽德罗常量。,在无线电技术中，电涨落现象(由于放大而引起的电磁噪声) 可以根据布朗

4、运动的理论来加以研究解决。,以布朗运动理论为基础，通过概率分析法可以研究股票价格、通货膨胀率、利率以及其它金融变量的行为，1997年获诺贝尔经济学奖的组合投资理论的基础就是布朗运动理论。,2 理想气体的压强和温度,一、理想气体的分子模型和统计性假设,分子可以看作质点,其大小可以忽略，每一个分子的运动服从牛顿运动定律。,分子之间的相互作用可以忽略，分子所受的重力也可以忽略。,分子之间的碰撞，分子与器壁之间的碰撞是完全弹性碰撞。,1. 理想气体的分子模型,2. 理想气体的统计性假设,分子按位置的分布是均匀的，分子数密度n=N/V处处相同;,分子沿着各个方向运动的分子数相等;,分子速度在各个方向上分

5、量的统计平均值都相等;,二、理想气体的压强公式,气体的压强是由大量分子在和器壁碰撞中不断给器壁以力的作用所引起的，压强是气体分子给容器壁冲量的统计平均量。,例: 雨点对伞的持续作用。,对压强的统计解释,单位时间内分子a作用在A面上的作用力:,压强公式的推导：,分子之间的弹性碰撞不影响压强公式的成立;,讨论,压强公式适用于任何形状的容器;,对少数分子，气体的压强没有意义;,压强公式可以改写为：,理想气体的压强公式是克劳修斯首先推出的。他在1857年发表的论热运动形式一文中，首次提出了较完整的理想气体分子运动模型。他指出：分子本身的体积与气体所占的整个空间相比是无限小的；分子每次碰撞经历的时间比起

6、两次碰撞之间的时间间隔是无限小的；分子力的作用是无限小的。当这些条件得不到满足时，就超出了理想气体定律的适用范围。,克劳修斯,三、理想气体的温度,，称玻耳兹曼常量。,常量k是玻耳兹曼在1872年引入的，它是物理学中一个非常重要的常量。R是描述l mol气体行为的普适常量，而k是描述一个分子或一个粒子行为的普适常量。,温度是分子热运动剧烈程度的标志，对少数分子，温度没有意义。,讨论,温度公式不能进行不合理的外推（固体、液体）,压强和温度的关系是,在标准状态下，p=1.013105Pa，T=273K，将这些参数代入可算出标准状态下任何气体在1m3体积内所含的分子数为2.6 8671025个洛施密特

7、数(Loscbmidt number)。,在相同的温度和压强下，各种气体在相同的体积内所含的分子数相同阿伏伽德罗定律(Avogadro law)。,Avogadro law,道尔顿分压定律 （Dalton law of partial pressure）,对同一温度下的混合气体，各种气体分子的平均平动动能应相等：,混合气体的压强等于各种气体的分压强之和道耳顿分压定律,方均根速率（Root-mean-square speed ）,由方均根速率可见，常温下气体分子的速率是非常大的，很难观察和测量。但是，在科学研究中常常需要对原子或分子进行观察和测量，用激光冷却与捕陷原子的技术可以使原子或分子的运动

8、速率降至极小甚至接近于零。美籍华人朱棣文与美国人达诺基和菲利浦斯由于在发展原子的激光冷却与捕陷方法上的贡献共同获得了1997年度诺贝尔物理奖。,例1：容积为 V=1.0m3 的容器内装有 N1=1.01024 个 氧分子N2=3.01024 个氮分子的混合气体， 混合气体的压强 p =2.58104 Pa 。求： (1) 分子的平均平动动能； (2) 混合气体的温度。,解：(1) 由压强公式得,(2) 由理想气体的状态方程得,例2： 容器内贮有氧气，其压强,解：由于容器中的压强不太大，温度不太低，氧气可当作理想气体来处理。,（2）,（3）,温度T=300K。求：（1）单位体积内的分子数； （2

9、）氧气分子的质量；（3）分子的平均平动动能。,（1）,（A）温度相同、压强相同。 （B）温度、压强都不同。 （C）温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强. （D）温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强.,解,例3：一瓶氦气和一瓶氮气密度相同，分子平均平动动能相同，而且它们都处于平衡状态，则它们,例4：理想气体体积为 V ，压强为 p ，温度为 T ,一个分子 的质量为 m ，k 为玻尔兹曼常量，R 为摩尔气体常量，则该理想气体的分子数为：,解：,（A） （B） （C） （D）,3 实际气体的物态方程,一、实际气体与理想气体的偏差,理想气体状态方程为,对Mol理想气体,根据此方程，画出的pV关系曲线

10、为双曲线,等温线,二、Van der waals 方程,1.考虑分子固有体积,b为体积修正量,为内压强修正量,2.考虑分子力,范德瓦耳斯,3.Van der Waals 方程,范德瓦尔斯等温线与实际气体等温线颇为相似,修正是成功的.,在临界等温线以上，二者很接近，并且温度愈高二者愈趋于一致。但在临界等温线以下，二者有明显的区别.因此,范德瓦尔斯方程仍不完善.,因为此项工作,获得了1910年诺贝耳物理学奖.,范德瓦耳斯是荷兰木匠的儿子，家境清寒。小学毕业后就工作，自学中学的课程。后来进入莱顿大学，但因未学过希腊文和拉丁文而未能获得参加考试的资格。直到1873年改革了教育制度，他才取得了攻读博士学

11、位的资格。他的成果是在其博士论文论气态和液态的连续性中用荷兰文发表的，当时在自己祖国并未受到重视。幸好，他的文章被麦克斯韦看到。麦克斯韦在次年的自然杂志发表了热情的评论，这才引起了科学界的注意。,三、Onnes方程,A、B、C、D分别称为第一、第二、第三、第四位力（Virial )系数,更普遍的真实气体状态方程是昂内斯方程。在1908年首次液化氮气，又在1911年发现超导电现象的荷兰物理学家昂内斯在研究永久性气体(指氧、氦等沸点很低的气体)的液化时，在1901年提出了此方程。,昂内斯,4 气体分子的速率分布规律,一、麦克斯韦速率分布规律,1.分布的意义,气体系统由大量分子组成,各分子的速率通过

12、碰撞不断改变，不可能准确知道某一个分子的速率, 但是，气体分子速率分布有无规律可寻？,问题,f(v) 称为麦克斯韦速率分布函数（Maxwell speed distribution function）.,麦克斯韦提出，若系统处于平衡态下时的总分子数为 N ，则在vv+ dv 区间内分子数的百分比满足如下规律：,2.麦克斯韦速率分布规律,(1)麦克斯韦速率规律和分布函数的物理意义,讨论,() f(v) 与v的关系曲线,(3) 速率分布规律满足归一化条件（normalization condition）,1.最概然速率（The most probable speed）,f(v) 出现极大值时对应的

13、速率称最概然速率，它表示在此速率附近单位速率区间的分子数占总分子的百分比最大。,二、分子速率的三种统计值,2.平均速率(average speed),3.方均根速率（ root-mean-square speed）,（1）温度变化时速率分布的变化,讨论,(2)同一温度下不同种气体速率分布比较,(3)气体分子按平动动能的分布规律,代入上式得,两边微分,f(v)是速率分布函数，下列各式所表示的物理意义是什么？,思考,三、麦克斯韦速率分布的实验验证,1. Stern experiment(1920),德裔美国物理学家，1943年荣获诺贝尔奖，最早测定分子速率。,2. Zartman-Ko exper

14、iment(1934),实验分析方法：铋蒸汽成 带状分布，取等宽窄带， 则每一窄带的厚度比表示相应速率区间的分子数比。,3. Miller-Kusch experiment(1956),检测离子流强度，确定v分布。,四、麦克斯韦速率分布的适用条件,麦克斯韦分布适用于平衡态的气体,没有考虑到分子之间的相互作用，麦克斯韦分布只适用于处于平衡态下的理想气体。,麦克斯韦速率分布律只适用于由大量分子组成的处于平衡态的气体，不能用于少量分子。,实际值和统计平均值相比较可能会出现涨落现象。,(1) 从统计概念来看，若说速率恰好等于某一值的分子数有多少，是没有意义的。,(3) 麦克斯韦速率分布定律对处于平衡态

15、下的混合气体的各组分分别适用。,(2) 在通常情况下实际气体分子的速率分布和麦克斯韦速率分布能很好的符合。,基本认识,（1）,（2）,例1：已知分子数N ，分子质量m ，分布函数 。 求(1) 速率在 之间的分子数；（2）速率在 之间所有分子动能之和。,解：速率在 之间的分子数为,例2：有N 个粒子，其速率分布函数为,(1) 作速率分布曲线并求常数 a (2) 求速率大于v0 和速率小于v0 的粒子数,解(1)： 由归一化条件得,同理 vv0 的分子数为 ( N/3 ),（2）,解：因为仅在（0 ，vm）区间分布有电子，所以,5 玻耳兹曼分布律,麦克斯韦速率分布律是无外力场时，气体分子的速率分

16、布。此时，分子在空间的分布是均匀的。若有外力场存在，分子按密度如何分布呢？,一、重力场中粒子按高度的分布,讨论,在重力场中，粒子数密度随高度增大而减小，m越大，n 减小越迅速；T 越高，n 减小越缓慢。,等温气压公式(isothermal barometric formula),p0 是高度为零处的压强,例1： 飞机起飞时，压强p0 =1atm、温度t =27C。当压强变为p=0.8atm时，飞机的高度是多少？已知空气的摩尔质量为0.029kg/mol。（1atm=1.013105Pa),解：,例2：拉萨海拔约为3600m ，气温为273K，忽略气温随高度的变化。当海平面上的气压为1.0131

17、05 Pa 时，,设人每次吸入空气的容积为V0 ，在拉萨应呼吸x 次,解：由等温气压公式得,求：(1) 拉萨的大气压强；(2) 若某人在海平面上每分钟呼吸17 次，他在拉萨呼吸多少次才能吸入同样的质量的空气。（M=2910-3 kg/mol）,例3：实验测得常温下距海平面不太高处，每升高10 m，大气压约降低133.3 Pa。试用恒温气压公式验证此结果（海平面上大气压按1.013105 Pa 计，温度取273K）。,解：,将上式两边微分，有,二、玻耳兹曼分布律( Boltzmann distribution law),平衡态下温度为T 的气体中，位于空间某一小区间 xx+dx ,yy+dy,z

18、z+dz 中的分子数为,意义：在势场中的分子总是优先占据势能较低的状态。,推广到任何保守力场,三、麦克斯韦玻耳兹曼分布律,玻耳兹曼提出，平衡态下温度为 T 的气体中，位置在 xx+dx， yy+dy， zz+dz 中, 且速度在 vx vx+dvx , vy vy+dvy ,vz vz+dvz 区间的分子数为,把麦玻分布对位置积分，可得麦克斯韦分布。,把麦玻分布对速度积分，由归一化条件，可得玻氏分布。,麦克斯韦,玻耳兹曼,气体分子速度分布律是麦克斯韦在1859年宣布的，起初，麦克斯韦的工作受到了许多人的怀疑，但玻耳兹曼继承了麦克斯韦的理论并将其加以推广。麦克斯韦是幸运的，因为在这之前他因电磁场

19、理论方面的成就取得了很高的社会地位，又生活在自由讨论成风的英国，但玻耳兹曼很不幸，他活动在封建保守势力较强大的中欧，他因继承和发展了麦克斯韦的学说而成为围攻的对象。玻耳兹曼长期孤军奋战，从忧愤、悲凉到绝望，终于1906年自杀身亡。但是，科学是不可战胜的。玻耳兹曼的贡献被载入史册。,6 能量按自由度均分原理,（Theorem of equipartition of energy ）,一、自由度（Degree of freedom）,决定物体空间位置所需的独立坐标数称该物体的自由度,海面上航行的轮船的自由度,举例2,空间自由运动的细棒,举例3,自由刚体（Free rigid body）,举例4,气

20、体分子自由度的确定,举例5,刚性双原子分子,非刚性双原子分子,结论,二、能量均分原理（Theorem of equipartition of energy ）,在温度为T 的平衡状态下，分子的每个自由度的平均动能均为kT/2,这个结论称能量按自由度均分定理。,（1）均分原理是某一平衡态下的统计规律，是大量分子 统计平均的结果，分子碰撞是能量均分的原因。,（2）若某种气体分子具有t 个平动自由度和r 个转动自由 度，个振动自由度，每个气体分子的平均总动能为,讨论,（3）由于每个气体分子的平均势能为 ，每个分子的 平均总能量为,（4）对于刚性分子（理想气体）,三、理想气体的内能（Internal

21、energy）,系统中与热现象有关的那部分能量称内能，气体的每个分子的热运动动能和分子之间相互作用势能的总和构成了气体的内能。,每个气体分子的平均总能量为,1mol 理想气体的内能为,质量为M的理想气体的内能为,例：容器内理想气体的温度为273K，密度为= 1.25 g/m3， 压强为 p = 1.010-3 atm。求：(1) 气体的摩尔质量，是何种气体？(2) 气体分子的平均平动动能和平均转动动能； (3) 单位体积内气体分子的总平动动能；(4) 设该气体有0.3 mol，气体的内能是多少？,(3) 单位体积内气体分子的总平动动能为,(4) 由气体的内能公式，有,(2),7 气体分子的扩散

22、与热传导,一、菲克扩散定律（Fick law of diffusion）,自然界气体的扩散现象是常见的现象,容器中不同气体间的互相渗透称为互扩散;同种气体因分子数密度不同, 温度不同或各层间存在相对运动所产生的扩散现象称为自扩散 .,D为扩散系数，负号表示分子扩散的方向与分子数密度梯度的方向相反。,大气压下小分子气体的扩散系数,气体扩散现象的微观本质是气体分子数密度的定向迁移,而这种迁移是通过气体分子无规热运动来实现的.,讨论,二、傅立叶热传导定律（Fourier law of heat conduction）,设气体各气层间无相对运动,且各处气体分子数密度均相同,但气体内由于存在温度差而产生热量从温度高的区域向温度低的区域传递的现象叫作热传导现象.,气体热传导现象的微观本质是分子热运动能量的定向迁移,而这种迁移是通过气体分子无规热运动来实现的.,常见农业工程材料的热导率,生物材料的热导率,关于地球大气的讨论,地球周围环境中的大气分子要受到地球引力的作用，如果分子的动能大于地球引力势能，气体分子就可以逃逸出地表大气层。气体分子的逃逸速率可由分子动能等于相对于无穷远时的引力势能求得，即,最后的话,各种气体分子