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1、,2.4.2,空间两点的距离公式,问题导入,在平面上任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离的公式为 |AB|=,那么对于空间中任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)之间的距离的公式会是怎样呢？,合作探究,探究一：空间中任间一点P(x，y，z)到原点之间的距离公式会是怎样呢？,.,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A作ABxOy平面,垂足为B,过B分别作BDx轴,BEy轴,垂足分别为D,E.,根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO、BOD是直角三角形,所以BO2=BD2+OD2,AO2=AB2+BO2=AB2+BD2+OD2=z2+

2、x2+y2,因此A到原点的距离是,探究二：空间中任意两点P1(x1，y1，z1)到点P2(x2，y2，z2)之间的距离公式是怎样呢？,如图，设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离.我们分别过P1P2作xOy平面的垂线,垂足是M,N,则M(x1,y1,0),N(x2,y2,0),于是可以求出,再过点P1作P1HP2N,垂足为H,则|MP1|=|z1|,|NP2|=|z2|,所以|HP2|=|z2-z1|.,在RtP1HP2中,|P1H|=|MN|=,根据勾股定理得，,因此空间中任意两点P1(x1，y1，z1)到点P2(x2，y2，z2)之间的距离为,于是空间两点间的距离公式是,它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.,例 已知A(3,3,1),B(1,0,5),求线段AB的中点坐标和长度.,解：设M(x,y,z)是线段AB的中点,则根据中点坐标公式得 x=（3+1）/2=2,y=（3+0）/2=1.5,z=（1+5）/2=3,根据两点间距离公式得,d=,=29,巩固,在z轴上求一点M,使点M到点A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等.,解：设M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB| （0-1）2+（0-0）2+（z+2）2 =（0-1）2+（0+3）2+（z-1）2 得z=-3 所以M（0，0，-3

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