第三章-动量-角动量.ppt

1、明确冲量是力对时间的积累效应，掌握动量原理， 注意动量的瞬时性、矢量性和相对性。 掌握系统动量守恒定律，包括动量分量守恒的情 况，会分析动量守恒条件，包括当内力远大于外 力时的情况。 掌握质点系的质心以及质心运动定理 建立质点对定点的角动量（动量矩）概念，力对 定点的力矩概念，理解质点角动量守恒定律。,教学基本要求,下一章我们讨论了力对空间的积累效应，本章讨论力对时间的积累效应，冲量与质点运动状态的变化、质点动量增量之间的关系。, 3-1 动量 冲量 动量原理,一、动量,从力的瞬间作用定律牛顿第二定律出发，根据牛顿自己提出的形式，第二定律为：,合外力等于质点的动量对时间的变化率。,当 v c（

2、真空中光速）时m 可视为常量：,注意： （1）动量是描写运动状态的量 ，是状态的单值函数。 （2）动量是矢量。 （3）动量有相对性（因为v与参照系有关）。,当m 不为常量时，牛顿第二定律应写为,二、冲量 动量原理,将（3-1）改写为 Fdt = dP , 并对时间 t 积分可得,（3-2）,上式左边定义为力 F 从 t1 时刻到 t2 时刻的冲量，记为 I：,（3-3）,（3-2） 式可写为,（3-4）,质点的动量原理。 表明：作用于质点的合外的冲量等于质点在同一时间间隔内动量的增量。,在SI制中，动量的单位为千克米每秒，冲量的单位为牛顿秒， 动量和冲量的量纲均为 M LT-1。,标量式为,(

3、3-5),（2）冲量是矢量，其方向与动量增量方向相同。 即 I 的方向与 P 或 mv 的方向相同。,对于冲量 I 应注意： （1）冲量是力对时间的积累作用。,（2） 动量原理是矢量式，常用其分量式。,（3） 动量原理用于惯性系。,对动量原理应注意： （1） F 是指物体所受的合外力，I 是合外力的冲量。,例 质量为 m 的质点作速率为 v 的匀速圆周运动，t1时刻位于A点，转过 /2 后， t2 时刻到了B点，求在这段时间内，向心力的冲量。,解：由动量原理，向心力的冲量为 ：,I 的方向： tg =-1，Ix 0, Iy0 = -3 /4,I 的大小为：,2. 平均力,在物体碰撞过程中，相互

4、作用时间很短，而相互作用力很大，这种力称为冲力。,冲力随时间变化的关系 F ( t ) 实际上是难确定的，但可以引入平均力来近似地描述它们：,(3-6),(3-7),由（3-7）式可知，引起相同的动量改变，相互作用时间愈短，平均力愈大。,标量式为,（3-8）,例1、一质点的运动轨迹如图所示，已知质点的质量为20 g，在A 、B 两位置处的速率都是20 m/s ，vA与x轴成45 o角，vB垂直于y 轴。求质点由A点到B点这段时间内，作用在质点上外力的总冲量。,解：由动量定理知质点所受外力的总冲量为,由A到B，冲量的分量为,I的方向与X轴正向夹角：,例2、 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为

5、,子弹从枪口射出时的速率为300 m/s ，假设子弹离开枪口时合力刚好为零，则 （1）子弹走完枪筒全长所用的时间 t = 。 （2）子弹在枪筒中所受力的冲量 I = 。 （3）子弹的质量 m = 。,解：,0. 003 s,0. 6 N.s,2 g,在质点动量原理的基础上，本节将讨论两个或两个以上物体组成的系统的动量原理并由此导出动量守恒定律。, 3-2 动量守恒定律,1. 系统动量原理,设有两个相互作用的物体组成系统，F 1和F2分别为作用于两个物体的外力，f21和f12为它们之间互相作用的内力，将动量原理分别用于这两个物体得：,将上两式相加，根据牛顿第三定律：,将上式推广到多个质点组成的系

6、统可得 :,( 3-9 ),系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量，称为系统动量原理。,可得:,（3-10）,2、动量守恒定律,在（3-10）式中，当 时,则有 或,（3-11）,上式称为动量守恒定律。,它表明：当系统不受外力或合外力为零时，系统总动量在运动中保持不变，内力的作用仅仅改变总动量在各物体之间的分配。动量守恒定律是物理学中又一条重要而又具有普遍性的定律。,动量守恒定律的分量式为：,当,时，有,当,时，有,（3-12）,注意： 有时合外力或它在某方向上的分量并不为零，但合外力（或它在某方向上的分量）比系统内物体的相互作用力（或内力在该方向上的分量）小得多而可忽略时，系统的总动量（或

7、动量在该方向的分量）仍可认为是守恒的，（3-11） 或（3-12）式仍然适用。 所以动量守恒的条件可写为,即使系统所受合外力不为零，但如果合外力在某一方向上的分量为零，则系统在该方向的分量也是守恒的。,（2）所有的物体的速度都要对同一惯性系而言。 （3）动量守恒定律常用其分量式。 （4）系统内各物体的动量不一定守恒，动量可以传递，一个物体动量的减少必有另一个物体动量增加，但总动量保持不变。 （5）动量守恒定律是一条最基本、最普遍的定律。应用最广泛，无论宏观还是微观领域都可以使用。,对动量守恒定律应注意： （1）动量守恒定律是用于物体系的。,例1、炮车以30 的仰角发射一颗炮弹，已知炮车重500

8、0 kg, 炮弹 重100 kg, 炮弹对炮车的出口速度为 300 m/s, （1）求炮车的反冲速度 V, 忽略炮车与缓冲垫间的摩擦 （2）设炮车倒退时与垫子的相互作用时间为 2s, 求垫子受的平均冲力,解: (1)选质量为 M 的炮车和质量为 m 的炮弹组成的系统为研究对象。在水平方向上,垫子给炮车的阻力为外力，炮车与炮弹的相互作用力为内力， 外力 内力 总动量的水平分量守恒，,即 mivix = 常量,炮车对地的反冲速度为V，方向向左，以右为正方向，其动量为 MV; 已知炮弹对炮车的相对速度为v ，仰角为 ，由速度叠加原理，炮弹对地的瞬时速度 v 的水平分量为 v x = v cos V

9、系统总动量为 m (v cos - V) MV 系统总动量的水平分量守恒方程： m (v cos - V) MV = 0,代入数字 解得：,发射炮弹前： mivix = 0 发射炮弹的瞬间：如（图 3- 4）所示，,由牛顿第三定律，垫子受的平均冲力为- Fx = -12725N，方向向左。 从上例可以总结出解动量守恒定律的问题步骤如下： 选系统; 分析外力、内力或它们的分力，判断是否满足动量守恒条件; 选取坐标系，确定相互作用前、后两时刻各物体的动量; 列方程求解，（有时还要联系与系统能量相关的方程）。 动量守恒定律中个物体的速度是相对同一个惯性参照系的，如果问题中有相对运动，要正确地运用速度

10、叠加原理及它的分量式。,( 2 ) 在炮车从反冲到静止的过程中，对炮车的应用原理： 由（3-1）式，垫子给炮车的平均冲力,应用动量守恒定律的标量式有： x 方向： mv11 + 0 = mv12 cos +Mv22cos y方向： 0 = mv12sin Mv22sin 解得粒子散射的速度与其初速度之比,例2、 一个粒子与一静止的氧原子核碰撞后，沿着与最初运动方向成72角的方向被散射出来，而氧原子则在另一边沿41角的方向反冲，试求粒子散射的速度与其初速度之比。,解：粒子+氧原子核组成一个系统，在它们发生相互作用的过程中，外力 = 0,故系统总动量守恒。,以整个软链为研究对象，应用牛顿第二定律:

11、,解：,下垂部分，长度为 y ，受重力 m 1 g ，仍在桌面上的部分，受重力m 2 g ，以及桌子的支持力N ，于是有：, 3-3 质点系的质心 质心运动定理,见03sjsh.pdf, 3-4 质点对定点的角动量 角动量守恒定律,质点对定点的角动量和角动量守恒定律对解决有心力场 中质点的运动问题十分方便，同时也是下一章相关概念和定 律的基础。,设 O 为空间一定点，质量 为m 的质点某时刻位于P点，速度为v，其动量 p = mv ，质点相对于O点的位置矢为 r ，则矢径 r与质点动量 P 的矢量积定义为质点P相对于O点的角动量或动量矩，记为 L：,(3-19),一、质点对定点的角动量,显然，

12、当定点O 在质点速度沿长线上时， 质点对该点角动量为零；对圆周运动而言, = 90o ， 故质点对圆心的角动量大小为： L = mvr 在SI制中，角动量的单位为 kgm2/s,量纲为 ML2T-1。,角动量的大小为： L = P r sin = mvrsin (3-20) 方向为： 服从右手螺旋定则 写成矢量式：,二、质点的角动量定理 对（3-19）两边求对时间的导数得 上式右边第二项为零， 有 将牛顿第二定律代入上式，得 上式右边的 r 也是力 F 的作用点相对点O的矢径，定义矢量 积为力 F 对O点的力矩，记为 M：,( 3-21 ),( 3-22 ),力矩 M 的大小为： M = F

13、r sin (3-23) 为 r 和 F 的正方向之夹角 力矩 M 的方向为： 服从右手螺旋法则。 力矩具有与功相同的单位和量纲。 将（3-22）式代入（3-21）式，得,（3-24）,上式表明：质点所受的合外力对定点O 的力矩等于质点相对于同一点的角动量对时间的变化率，这一结论称为质点的角动量定理。,其中 称为dt 时间内力矩 对质点的冲量矩。两边积分有：,质点的角动量定理可以写为,上式表明：作用于质点的合外力矩M 从 t1 到 t2 时间间隔内的冲量矩，等于质点在同一时间间隔内角动量的增量。,三、质点的角动量守恒定律 如果作用于质点 P 的合外力对定点 O 的力矩 M 等于零，即如果 M

14、= 0 ，则 dL / dt = 0, 得 L = 常矢量。 （3 - 25） 这一结论称为质点的角动量守恒定律。 如果一个力的方向永远指向空间的一定点，这种力就称为有心力，该定点则称为力心。因为有心力对其力心的力矩为零，故质点在有心力的作用下运动时，对其力心的角动量是守恒的。,例4、一质点在x-y平面内运动，已知质点的质量为20 g，在A 、B 两位置处的速率都是20 m/s ，vA与X轴成45 o角，vB垂直于y轴。求质点由A点到B点这段时间内，作用在质点上外力对O点的总冲量矩（已知OA=2m，OB=4m）。,解： 由质点的角动量定理知：,由A到B，角动量的方向均垂直于x-y平面向上,外力

15、的总冲量矩为：,例5、在竖直平面内，一个质量为 m 的粒子从P点被释放，如图（3-11 ） 所示，试求：（1）粒子所受的重力相对于定点O的力矩，( 2 )粒子下落时，对O点的角动量，并说明结果符合角动量定理。,其方向由右螺旋法则确定为垂直纸面向里。大小为 M = m g r sin = m g d 其中 d = r sin , 为O点到重力作用线的垂距 。,解：（1）重力 作用点对O点的矢径为 ，这两个矢量的方向夹角为 ，重力对O 点的力矩为：,其大小为 mgt，故任意时刻 t，粒 子对O点的角动量为：,例6、哈雷慧星围绕太阳作轨道为椭圆运动，慧星轨道上的近日距离为 ：Rp为 0.885 1011 m，远日距离为 ：Ra为 52.5 1011 m 。已知在近日点，慧星的速率为： vp为5.4 104 m/s, 计算慧星在其远日点处的速率va 。,解：太阳对哈雷慧星的引力的作用线通过力心（太阳），为有心力。引力对力心的力矩为零，故慧星对太阳中心的角动量守恒，设慧星质量为 m ，它在近日点和远日点的角动量分别为 Lp 和 La有： Lp = La 或 m vp Rp = mva Ra 慧星在远日点处的速率为,例7、 行星以太阳为一个焦点作椭圆运动，试证明开普勒第二行星运动定律：行星对太阳的矢径在相等时间里扫过相等的面积。,（1