2011届高考数学(一轮)复习精品学案课件：第6章 数列―数列应用

1、学案5 数列的应用,返回目录,一、等差、等比数列的性质 1.若an,bn皆为等差数列，则kan+b,an+bn分别是 和 数列. 2.若an为等差数列，m,n,p,qN*，且m+n=p+q，则ap+aq am+an;若2m=p+q,则2am ap+aq.,等差,等差,=,=,考点分析,返回目录,3.若an为等差数列，公差为d，则am,am+n,am+2n, am+3n,为 数列，公差为 . 4.若an为等差数列，Sn,S2n,S3n为其前n项，2n项，3n项的和，则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n为 数列. 5.若an, bn为等比数列，则 ， an ,bn , kan (k0)都为 数列.

2、 6.若an为等比数列，m,n,p,qN*，且m+n=p+q，则aman apaq,若2m=p+q，则 apaq. 7.若an为等比数列（公比q-1），Sn为其前n项和，则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n为 数列.,等差,nd,等差,等比,=,=,等比,二、数列综合应用题的解题步骤 1.审题弄清题意,分析涉及哪些数学内容,在每个数学内容中,各是什么问题. 2.分解把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等. 3.求解分别求解这些小题或这些小“步骤”，从而得到整个问题的解答.,返回目录,8.若an为等比数列，则am,am

3、+t,am+2t,am+3t,为 数列.,等比,具体解题步骤如下框图:,返回目录,返回目录,三、数列应用题常见模型 1.银行储蓄单利公式 利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=a(1+xr). 2.银行储蓄复利公式 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x,则本利和y=a(1+r)x. 3.产值模型 原来产值的基础数为N,平均增长率为p,对于时间x的总产值y=N(1+p)x. 4.分期付款模型 a为贷款总额,r为年利率,b为等额还款数,则,返回目录,已知an为等比数列，a3=2,a2+a4= .求an的通 项公式.,【分析】根据等比数列的定义及通项

4、公式求解.,考点一 等差、等比数列性质的应用,题型分析,返回目录,【解析】解法一：设等比数列an的公比为q,则q0, a2= ,a4=a3q=2q, +2q= , 解得q= 或3. 当q= 时，a1=18, an=18（ ）n-1= =233-n. 当q=3时，a1= , an= 3n-1=23n-3.,解法二：由a3=2,得a2a4=4,又a2+a4= , 则a2,a4为方程x2- x+4=0的两根, a2= a2=6 a4=6或 a4= . 当a2= 时,q=3,an=a3qn-3=23n-3. 当a2=6时,q= ,a2=233-n. an=23n-3或an=233-n.,返回目录,解得

5、,返回目录,【评析】等比数列性质an=amqn-m, aman=apaq(p+q=m+n,m,n,p,qN*)是常用公式,注意 应用.,对应演练,若两个等差数列an和bn的前n项和分别是Sn,Tn,已知 求 的值.,返回目录,解法一: 解法二: 可令Sn=7nkn=7kn2,Tn=kn(n+3), a5=S5-S4=7k52-7k42=63k,b5=T5-T4 =k5(5+3)-k4(4+3)=12k, ,返回目录,返回目录,解法三: 即a1= b1, 又 即10a1+5d1=28b1+14d2 , 即2a1+2d1=7b1+7d2, 由解得b1= a1,d1=2a1,d2= a1, ,又,返

6、回目录,设数列an，bn满足a1=b1=6，a2=b2=4，a3=b3=3， 且数列an+1-an（nN*）是等差数列，bn-2是等比 数列，求an和bn的通项公式.,【分析】由题意，先求出an+1-an，用累加法求an 的通项公式，同理求bn.,考点二 等差数列、等比数列的综合应用,【解析】由已知a2-a1=-2，a3-a2=-1，d=-1-（-2）=1， an+1-an=(a2-a1)+(n-1)d=-2+(n-1)1=n-3, an-an-1=n-4(n2),an-1-an-2=(n-1)-4, a3-a2=3-4,a2-a1=2-4. 以上各式左右分别相加得 an-a1=2+3+(n-

7、1)+n-4(n-1) = -1-4n+4.,返回目录,an= (n2-7n+18)(n2). 当n=1时，也适合上式. an= （n2-7n+18）. 又b1-2=4，b2-2=2，q= . bn-2=4( ) n-1. bn=2+ (nN*).,返回目录,返回目录,【评析】首先利用迭加法求出等差数列的通项公 式，再求等比数列的通项公式. 由于题目已告诉 bn-2 是等比数列，故可由b1- 2=4与b2-2=2求得公比q= ，否则不成立.,返回目录,对应演练,一个等差数列an（公差d不为零)中的部分项构成公比为q的等比数列 ,已知k1=2,k2=4,k3=12. (1)求数列kn的通项公式;

8、 (2)求数列kn的前n项和Sn.,(1) 解法一: 是数列an的第kn项,又是 的第n项, =a1+(kn-1)d= qn-1=a2qn-1. kn+1-kn是以k2-k1为首项,公比为4的等比数列, kn+1-kn=(k2-k1)4n-1=24n-1. 递推可得kn-kn-1=24n-2,k2-k1=240, 上述n-1个等式累加可得kn= 4n-1+ .,返回目录,返回目录,解法二:由a2,a4,a12成等比数列,得 =a2a12, 即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+11d). 6a1d+2d2=0.d=0或d=-3a1. 由d=-3a1知 =q=4.下同解法一. (2)由kn=

9、4n-1+ ,可得Sn= .,返回目录,已知f（x）=logax(a0，且a1),设f（a1），f（a2），f（an）（nN*）是首项为4，公差为2的等差数列. （1）若a为常数，求证：an成等比数列； （2）设bn =an f（an） ，若bn的前n项和是Sn ，当 a= ，求Sn.,【分析】利用函数的有关知识得出an的表达式，再 利用表达式解决其他问题.,考点三 数列与函数的综合问题,返回目录,【解析】（1）f（an）=4+（n-1）2=2n+2, 即logaan=2n+2,可得an=a2n+2. 为定值. an为等比数列.,（2）bn=anf（an）=a2n+2logaa2n+2=(2n

10、+2)a2n+2. 当a= 时，bn=（2n+2）（ ）2n+2=（n+1）2n+2. Sn=223+324+425+（n+1）2n+2， 2Sn=224+325+426+n2n+2+（n+1）2n+3. -得-Sn=223+24+25+2n+2-(n+1)2n+3 =16+ =16+2n+3-24-n2n+3-2n+3=-n2n+3. Sn=n2n+3.,返回目录,返回目录,【评析】数列与函数、方程、不等式、解析几何等 知识常常相互结合出题，解这类题目，常用的方法有： 函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等.,返回目录,对应演练,已知二次函数f（x）=x2-2（10-3n）x+9n2-

11、61n+100，其中nN*. （1）设函数f(x)的图象的顶点的横坐标构成数列an， 求证数列an为等差数列. （2）设函数f(x)的图象的顶点的横坐标构成数列 dn，求数列dn前n项的和Sn. （3）对于（1）中的数列an ， 求数列cn中的最大项与最小项.,证明:二次函数 f(x)=x2-2(10-3n)x+9n2-61n+100(nN*)图象的顶点的横坐标为10-3n, an=10-3n(nN*). an+1-an=10-3(n+1)-(10-3n)=-3, 数列an是等差数列.,返回目录,返回目录,(2)二次函数f(x)=x2-2(10-3n)x+9n2-61n+100(nN*)的图象

12、的顶点到y轴的距离为|10-3n|, dn=|10-3n|(nN*),数列dn的前3项为一个首项为7，公差为-3的等差数列,第4项开始为一个首项为2，公差为3的等差数列,数列dn前n项的和 7n+ (-3)，n3, 12+2(n-3)+ ,n4 , ，n3, ,n4.,Sn=,即Sn=,(3)cn= ，数列cn的图象是以（ ，1）为中心，以x= 、y=1为渐近线的双曲线上的一些点.显然，n=2时cn的值最小，其值c2=-1；n=3时cn的值最大，其值c3=3.,返回目录,返回目录,若,是方程x2- x+m2=0(m0)的两实根，而且,-,成等比数列. （1）求m的值； （2）数列an的通项公式

13、为an= ，且Sn是它 的前n项和，求证：log2mSn0)的两实根， =（- ）2-4m20. - m ，且+= ,=m2. 又,-,成等比数列， （-）2=. (+)2-5=0. 5m2=10,m= .,（2）证明：Sn=a1+a2+an= m= , log2m=log2 = , logm2= =1. 要证log2mSn logm2,只要证 Sn1即可. nN*,0 .- - 0. 1- 1. 故 Sn1，得证.,返回目录,【评析】在第一问中不能忽视0这个条件；在第 二问中求出Sn=1- 后，要根据单调性确定出Sn的变 化范围，从而加以比较.这是一道数列与方程相结合的综 合性题目.,返回目

14、录,已知数列an是公比大于1的等比数列，且 =a15，Sn=a1+a2+an， 求满足SnTn的最小正整数n.,对应演练,返回目录,设an的公比为q，依题意得 （a1q9）2=a1q14，a1q4=1，即a1= ， q1,0a11,an0, 又Sn= ， 而Tn= Sn， SnTn0, ， qn-1 =q8.又q1,n-18,n9. 满足SnTn的最小正整数n=10.,返回目录,考点五 数列与解析几何的综合问题,已知点M(1,2),An(2,an),Bn( )为直角坐标平面上的点(nN*). (1)若点M,An,Bn在同一直线上,求数列an的通项公式; (2)设dn= ,Dn为dn的前n项和,

15、求 证: Dn .,【分析】 (1)由 ,求an. (2)用裂项相消法求出Dn.,返回目录,【解析】 (1)M,An,Bn三点共线, ,an=2n-1. (2)证明:dk= k=1,2,3,n, Dk= 显然,Dn是一递增数列, Dn 7.2. 答：经过8年后该地区就开始水土流失.,返回目录,返回目录,1.深刻理解等差（比）数列的性质，熟悉它们的推导过程是解题的关键.两类数列性质既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强记忆.同时，用好性质也会降低解题的运算量，从而减少差错. 2.等比数列的前n项和公式要分两种情况：公比等于1和公比不等于1.最容易忽视公比等于1的情况，要注意这方面的练习. 3.在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程（组）求解，在解方程组时，仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处.,高考专家助