状态变量分析法

1、第十二章 状态变量法, 输入输出法和状态变量分析法； 状态变量、状态方程的概念； 状态方程的建立； 用拉普拉斯变换法求解状态方程； 连续系统状态方程与输出方程的时域解法； 系统的可控制性与可观测性,12.1 基本概念与定义,一、输入输出法（端口法） 研究单输入单输出系统； 着眼于系统的外部特性； 基本模型为系统函数，着重运用频率响应特性的概念。 二、状态变量分析法 产生于20世纪50至60年代； 卡尔曼(R.E.Kalman)引入； 利用状态变量描述系统的内部特性； 运用于多输入多输出系统； 用n个状态变量的一阶微分（或差分）方程组来描述系统, 状态变量分析法优点,(1)提供了系统的内部特性以

2、供研究；,(2)一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行 数值计算；,(3)便于分析多输入多输出系统；,(4)容易推广应用于时变系统或非线性系统；,(5)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。,三、基本概念与定义,1、状态变量 对于动态系统，在任意时刻，都能与激励一起确定系统全部响应的一组独立完备的变量，称为系统的状态变量。,x1(t),x2(t)符合状态变量的定义，所以它们是一组独立完备的状态变量。 该方程称为该电路的输出方程。,2、状态向量,则此列矩阵x(t)即称为n维状态向量，简称状态向量。,3、状态与初始状态 状态变量在某一时刻t0的值，称为系统在t0时刻的状态。 状态变量在t=0-时刻

3、的值称为系统的初始状态或起始状态。X(0-)也称为初始状态向量或起始状态向量。,4、 状态方程 从已知的激励与初始状态，求状态向量的一阶向量微分方程，称为状态方程。,-x2(t),2,特点： 方程左端都是一个状态变量的一阶导数; 而方程右端则为各状态变量与各激励的线性组合。,矩阵形式:,一阶向量微分方程的形式:,A常称为系统矩阵; B常称为控制矩阵。,5、输出方程,写成矩阵形式为,称为输出方程,C常称为输出矩阵。,状态方程与输出方程，共同构成了描述系统特性的完整方程(即数学模型)，统称为系统方程。,6、状态变量法 以系统的状态方程与输出方程为研究对象，对系统特性进行系统分析的方法，称为状态变量

4、法。 一般步骤： (1) 选择系统的状态变量。 (2) 列写系统的状态方程。 (3) 求解状态方程，以得到状态向量。 (4) 列写系统的输出方程。 (5) 将第(3)步求得的状态向量及已知的激励向量，代入第(4)步所列出的输出方程中，即得所求响应向量。,12.2连续时间系统状态方程的建立与求解,一、 由电路图直观列写,网络状态方程的直观列写方法，一般步骤： (1) 选取电路中所有独立电容电压和独立电感电流作为状态变量。 (2) 必须对每一个独立电容列写出只含此独立电容电压一阶导数在内的节点KCL方程； 对每一个独立电感列写出只含此独立电感电流一阶导数在内的回路KVL方程。 (3) 非状态变量也

5、用激励和状态变量表示出来，然后整理成式所示的矩阵标准形式。,例12.2.1 列写出图所示电路的状态方程。若以电压y1(t)，电流y2(t)为响应，再列写出输出方程。,解: (1) 列写状态方程：,=,(2) 列写输出方程：,二、单输入单输出系统状态方程与输出方程的列写,设系统为三阶的，即n=3)。该系统的系统函数(取)为,设H(s)的分子与分母无公因式相消，则可根据系统的微分方程或画出其模拟图或信号流图， 然后选取每一个积分器的输出变量作为状态变量，即可列出系统的状态方程与输出方程。,直接模拟相变量法,选取每一个积分器的输出变量x1(t),x2(t),x3(t)作为状态变量,系统的输出方程：,

6、但应注意 A， B矩阵仍不改变。,并联模拟： 系统矩阵A为一对角阵，其对角线上的元素即为系统函数的极点； 控制矩阵B则为元素值均为1的列矩阵； 输出矩阵C则为行矩阵，其元素值从左到右，依次为的部分分式的系数。,级联模拟： 系统矩阵A为一上三角矩阵，其对角线上的元素即为H(S)的极点，且其排列顺序正好与各子系统级联的顺序相反。,例12.2.2 列写出图所示系统的状态方程与输出方程。,由框图列写状态与输出方程 由系统的框图列写状态方程与输出方程，一般是选取一阶子系统的输出信号作为状态变量。,系统的输出方程为：,三、多输入多输出系统状态方程与输出方程的列写,系统的输出方程为：,四、 连续系统状态方程

7、与输出方程的s域解法,1、状态方程的s域解法,I为与A同阶的单位矩阵,2、输出方程的s域解法与转移函数矩阵H(s),3、矩阵A的特征值与系统的自然频率,例12.2.3 已知系统的状态方程与输出方程为,解：,例12.2.4 求下列系统的自然频率 (各矩阵A的特征值)：,解,当A为对角阵时，其对角线上的元素值即为A的特征值。,即求各矩阵A的特征值,例12.2.5 如图所示系统。(1) 列写系统的状态方程与输出方程；(2) 求系统的转移函数矩阵H(s)；(3) 求系统的微分方程。,系统的输出方程为,例12.2.6 已知系统的状态方程与输出方程为,(1) 画出系统的信号流图；(2) 求H(s)与h(t

8、)；(3)求系统的零输入响应，已知系统的初始状态为,解（1）,zi,zi,五、 连续系统状态方程与输出方程的时域解法 1、状态方程的时域解法,对上式等号两端同时积分,设有两个矩阵函数为,引入一个mm(m为系统激励的个数)阶的单位冲激激励对角矩阵(t)，,称为系统的单位冲激响应矩阵，为rm阶，即与D同阶。,例12.2.6 用时域法求解例12.2.3。,已知系统的状态方程与输出方程为,解:,零状态解为:,(2) 求y(t)：,单位冲激响应矩阵为,故零状态响应为,例12.3.1 如图所示系统，欲使系统稳定，试确定K的取值范围。,12.3 由状态方程判断系统的稳定性,一、连续系统,解： 选每个积分器的

9、输出变量x1(t), x2(t), x3(t)为状态变量，则可列出状态方程为:,故得系统的特征多项式为:,可见，欲使系统稳定，其必要条件是K0。 再排出罗斯阵列：,欲使系统为稳定系统，必须有:,0K5，系统就是稳定的,例12.3.2 图所示电路。(1) 欲使电路稳定，求K的取值范围；(2) 欲使电路为临界稳定，求K的值，并求此时的单位冲激响应h(t)。,解： 选x1(t), x2(t)为状态变量，则可列出状态方程为:,电路的特征多项式为:,可见，欲使电路稳定，必须3-K0，即K3。,(2) 欲使电路为临界稳定，则必须K=3。,(3) 当K=3时，电路的各系数矩阵为,一系统的可控制性与可观测性,

10、1、可控性 当系统用状态方程描述时，给定系统的任意初始状态，可以找到容许的输入量（即控制矢量），在有限的时间之内把系统的所有状态引向状态空间的原点（即零状态），则系统是完全可控制的。 如果只有对部分状态变量可以做到这一点，则系统不完全可控制。,12.4 系统的可控制性与可观测性,2、可观性 当系统用状态方程描述，给定控制后，能在有限的时间间隔内 （0tt0） 根据系统输出惟一地确定系统的所有起始状态，则系统是完全可观。 如果只能确定部分起始状态，则系统不完全可观。,例12.4.1给定系统的状态方程和输出方程为,试讨论系统的可控性与可观性。,解： 系统的各参数矩阵为：,所以：,可观，不可控,可观

11、，又可控,不可观，可控,二、判别法 1、可控性判别,（1）根据状态方程的参数矩阵判别,当 A 为对角阵形式时,B 中的0元素对应不可控因素。,设系统的状态方程,（2）可控阵满秩判别法,若有 ,则连续系统完全可控的充要条件是:M 矩阵满秩。M 称为系统的可控制判别矩阵，即可控阵。,（3）A 矩阵约当规范型判据 单输入、单输出系统可控性的 A 矩阵约当规范型判据,若在 A 为约当规范型中，B与每个约当块最后一行相应的那些行不含零元素，则系统完全可控。,例12.4.2给定下列两系统,问这两系统是否都可控性。,解：只要观察系统的 M 矩阵是否满秩,因而系统（a） 是不完全可控的,（b）,因而系统 （b

12、） 是完全可控的,2、可观性判别法,（1）根据状态方程的参数矩阵判别,设系统的状态方程,（2）可观阵满秩判别法,若有,则连续系统完全,可观的充要条件是:,矩阵满秩。,称为系统的可判别矩阵，即可观阵。,（3）单输入、单输出系统可观性的A 矩阵约当规范型判据,例12.4.3讨论给定系统,的可观性。,解：系统的各参数矩阵为：,则,所以 满秩，系统是完全可观的。,三可控、可观性与H（s）关系,由转移函数表达式：,经非奇异变换而对角化：,暂且不考虑与输入信号直接相联系的 ，则有：,上式展开为：,结论：,1.若系统不完全可控或不完全可观,则s域上表现为H（s），必有零极点相消现象。,2.转移函数描述的系统

13、只是反映了系统中可控和可观部分运动规律，不能反映不可控和不可观部分的运动规律。,例12.4.4给定线性时不变系统的状态方程和输出方程为,（1） 检查系统的可控性和可观性。 （2） 求可控与可观的状态变量个数。 （3） 求系统的输入输出转移函数。,解： （1）按系统可控性判据，即M是否满秩。为此求：,而,故系统不完全可控。,检查可观性，此时,且,故系统不完全可观。,（2）为求可控和可观状态变量个数可以对状态方程变换为对角化的规范形式。经求特征矢量得到对角化所需的变换矩阵为,系统对角化的方程表示为,对角化以后,因而其中 两个状态变量可控； 两个状态变量可观。,画成结构图如图所示。,（3）求系统的转移函数,可见系统具有零极相消现象。,输入量只有通过 影响到输出量 ，这说明用系统转移函数来描述一系统是不全面的。,本章总结： 1、状态变量、状态方程的概念； 2、连续时间系统状态方程的建立与求解；（单输入单输出系统状态方程与输