概率及概率密度分布函数ppt课件

1、第一章概率和概率密度分布函数、系统状态宏量、系统状态微观量、统计方法、最基本的概念、概率、1.1概率的基本概念、统计规律性、随机现象和随机事件、随机事件发生的可能性的定义、概率的基本性质、概率的简单计算、1.1.1随机事件例如，只要进行简单的谐振动作并知道其固有的频率和初始条件，就可以随时计算摆动球的位置和速度。 随机现象：只能识别那些影响进化的因素的一部分。 另外，因为某些因素无法确定或控制，所以现象的发展的结局不是唯一的，究竟如何，无法事先预言。 例如，容器中的气体能够控制容器的容积、气体的压力以及其温度，但无法控制气体分子在热运动中如何与其他分子、如何与容器的壁碰撞，从而无法预言各分子的

2、每时间的空间位置和速度。 气体中一个分子所在的空间位置及其运动状态是随机的现象。 随机事件：将在特定条件下可能出现一种随机现象的多个结果中的每一个称为随机事件。通过实验观测随机现象，在一次实验中出现的不能“分解”的事件称为基本随机事件。 例如，发生掷骰子得分不同的随机现象，1次实验分别得1分、2分、3分、4分、5分、6分，成为基本的随机事件。 一个随机现象的所有基本随机事件构成一个基本事件组。 掷骰子的基本活动组由上述6个基本事件构成。 复杂随机事件：中的某些随机事件b由随机事件A1、A2、Am构成。 即：仅在m个事件中的一个发生时发生。 这种随机事件b是复杂的随机事件。 以掷骰子为例，“投出

3、的分数在5以上”作为随机事件，记为b。 很明显，不管出的分数是5还是6，都发生了事件b。 据说b事件由“缓慢的分数为5”的基本随机事件和另一个“缓慢的分数为6”的基本随机事件构成。 此时，随机事件b是复杂的随机事件。 、基本随机事件组内的事件是相互兼容的：是一次实验，如果发生这些事件b，就会发生A1、A2 .Am中的任一个，A1、A2 .Am中的两个事件不可能在一次实验中同时发生，没有相互兼容。 基本随机事件组内的事件彼此不兼容。 一般来说，一次实验中不能同时发生的两个随机事件是互相不相容的随机事件。两个随机事件可以分别具有独立性：如果选定的随机事件a和b中的一个发生或另一个发生都不受影响，则

4、说a和b是相互独立的。 例如，同时扔了两个骰子，一个是不是5点出现与另一个是不是3点出现无关，骰子虽然分别是5点和3点这两个随机事件同时发生，但却是相互独立的。 用骰子来说，“这次投掷是5点”和“下次投掷是3点”无关，尽管连续两次投掷，这两个随机事件还是独立的。 并且，以我们在本过程中特别关注的气体分子的速度为例，一分子速度的x成分处于多大的区间和其y成分处于多大的区间，z成分处于多大的区间，是相互独立的。随机现象、基本随机事件、A1、A2、An、Am-1、Am、1.1.2统计规律性、演示实验对大量随机事件整体有统计规则。 加尔顿板实验：图、在带玻璃板的大箱子中用垂直隔板分成宽的小格，另外倾斜

5、放置的底板面上有很多小铁钉的木槽，其开口与大箱子的口的一边相接。这个装置经常被称为加尔顿板。 将garton板、球从钉板上滚动，它必须与板钉不规则地碰撞，滚动过程中受力的复杂细节失去人为的控制，特别是将多个小球或多个小球同时或连续地沿钉板挥落的情况下， 我们不能一个一个地控制落下的初始状态，而且不仅和钉子碰撞，而且相互碰撞，使小球的运动成为随机状态。 尽管各个球的运动遵循牛顿力学规律，但它离开钉沟的速度在大小和方向上都具有偶然性，所以在各个球上，滚动落在大木箱的哪个格子上是无法预测的。1.现在不改变木沟的倾斜，首先把少量的球从钉子板上掉下来，滚下分布在箱子里的各栅栏上。 尽量用同样的方法再撒一

6、次同样数量的小球，再一次可以看出，每次小球在各格上的分布有明显的差异。 二.现在撒了很多小球，箱子里各网格接的球数不相等，两边网格球数少，中间网格中掉得最多。 哪个格中最多，与木沟的倾斜有关。 如果用同样数量的球再撒一次，如上所述，因为各个球的运动轨迹无法控制，所以可能会偶然推测出掉落在箱子里的哪个格，像还撒了少量的球时一样，出现了与上次明显不同的分布。 但是，实际上，树沟的倾斜度一定，球的数量足够多，总数也不变，撒球的方法也尽量相同的话，多次实验得到的结果非常接近。加尔顿板实验结论：多个小球落入大箱各格的分布没有偶然性，这是一定条件下，大量随机事件整体具有较稳定的特性，有必然的规律，这是统计

7、规律性。统计规律性包含单一随机事件的偶然性：在尝试把多个小球中的一个染成不同颜色，多次实验中各小球的数量稳定分布的同时，这个能识别的染色小球出现在哪个小球上完全不确定。统计规律性一定伴有“干满”现象。 garton board实验中，我们每次落地的球数分阶段数记录的话，每次实验中球数的实际分布与经过极多的实验统计计算的平均分布有偏差。 这被称为“干满”，而且在投出的球的总数少的情况下，这种“干满”现象很显着。 大量随机事件必然遵循的统计规律性依赖于个别随机事件的偶然性，变动现象和统计规律性表示偶然性和必然性的辩证关系。1.1.3随机事件发生的可能性概率定义：概率是统计规律中最基本的概念。 概率

8、-表示发生随机事件的可能性有多大。 在一定条件下，对随机现象进行充分多次观测实验，可以看到这一现象中可能发生的各种随机事件。 设实验的总次数为n，其中，定义事件a出现的次数为NA，事件a出现的次数。 虽然该度数随n而变化，但随着n的增大，偶然因素所发挥的作用相对降低，随机现象自身的固有特性变得明显，vA在某个值附近稳定，只有逐渐小的起伏。 n大时，度数达到极限： PA被称为事件a的出现概率。 概率反映了随机事件出现的可能性，显然PA越大，事件a出现的可能性越高。、1.1.4概率的基本性质，1 .任何事件的概率PA必须为01.pa=1，这意味着在给定a事件的条件下一定发生。必然事件PA=0不可能

9、在给定a事件的条件下发生、2 .加法定理把A1、A2视为不相容的事件，在A1或A2出现的情况下，视为A1和A2的“or”(或者称为“和”)。 表示为：A=A1 A2或A=A1A2。在： PA=PA1 PA2式中，有PA、PA1、PA2分别出现a、A1、A2的概率。 如果a互不相容的几个随机事件的“or”: a=a1-a2 -卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡6 4 .乘法定理a、b两事件不相容，将a、b两事件视为c 如果表示为：C=AB或C=AB，则在：PC=P(AB)=PAP(B|A )中，PA是a事件发生的概率，P(B|A )是b事件在a发生的前提下出现的概率，称为“条件概率”。 如

10、果a、b两个事件相互独立，即b出现的概率与是否附加了a出现的条件无关，反之亦然。 P(B|A)=PB； P(A|B)=PA .此时，与PC=P(AB)=PAPB兼容的独立事件出现的概率等于两个独立事件单独出现的概率的积，将其称为乘法定理。 到计算多个不相容的独立事件出现的概率为止的展开：1.1.5概率的简单计算，1 .古典随机现象的概率的简单计算：古典随机现象需要满足以下两个条件： (1)该随机现象的基本随机事件组的事件数有限例：是均匀的，形状有规则的骰子，有6个对称的面，出几点，有6个概率是经典的随机现象。 例：容器内有n个气体分子，如果将容器在假想截面上分成容积相等的a、b两个部分，各分子

11、可以在a、b之间自由往来，可以由n个分子区分，但如果分别独立同样地热运动，则这些气体分子在a、b两个部分的分布这又是经典的随机现象。如果经典随机现象的基本随机事件组包含n个基本事件，则经典随机现象应满足的条件，在每个基本事件中容易发生的概率： -(1.1.8) 如果该存在随机现象的复杂的随机事件c是m个基本事件的组合，则在c的概率： -(1.1.9)具体的计算中，首先适当地定义基本事件群，根据(1.1.8)式和(1.1.9)式变得明确，重要的1.2概率变量和概率分布，概率变量离散型概率变量的概率分布连续型概率变量的概率密度分布函数，1.2.1因为概率变量首先对概率事件进行数值化，以研究概率事件

12、和对应概率的关系，所以引入了概率变量。 当确定条件下的概率现象中的各概率事件w唯一地与一个实数值X(w )对应时，定义部：将实数值变量X(w )称为一个概率变量。例1-2-1框中有3个白色的球，2个黑色的球，从其中任意取3个球。 在：触摸的三个球中调查了黑球的数量。 现在把这五个球编上号码。 (1)、(2)、(3)是白球，(4)、(5)是黑球。 有十种可能“触摸了三个球”的w，参照表1.2.1的第一列，给出了十种中分别触摸的三球的编号。 把随机变量X(w )设定为按每个可能的状况接触黑球的数，其值也如表1.2.1所示。 表1.2.1随机事件w和随机变量X(w )、其中所选随机变量可以取0、1、

13、2的实数值，并且可以区分三种复杂的随机事件。 每个可能性是在给定条件下满足明确请求的基本随机事件，其是对应的确定值；然而，一个确定值可以对应于多个基本随机事件，例如，X=1对应于6个不同可能性的情况。 例1-2-2硬币的一面刻有国徽，另一面刻有货币价值。扔硬币，落地时哪个面朝上是随机的。 我们可以事先约定，国徽在上面与随机变量X=1相对应，货币在上面与随机变量X=0相对应。 以这种方式，可以使用随机变量来识别特定数量，而不出现在任何随机事件中。 例1-2-3气体分子处于不断不规则的热运动中，任何一个单一分子所处的空间位置和运动速度都随机地发生着变化。 能够将各个分子的速度设为随机变量，或者将其

14、速度分量设为随机变量组，或者将其空间位置坐标设为随机变量组。随机变量分类：离散型随机变量3360随机变量(或随机变量组)取的值可以一个一个列举的非离散型随机变量3360的随机变量(或随机变量组)取的值，在例1-2-3中，是分子位置坐标分子的速度和速度三种成分取值也是一样的。 实际遇到的很多非离散型随机变量具有好的数学性质，并由数学家定义，和连续型随机变量的名称，并且1.2.2离散型随机变量的概率分布知道为了表现完全随机现象，其随机变量x不足以取哪个值可能的值是通过分别在pi=p (x=Xi ) (I=1，2，n )处适当地选择对应的概率的随机变量来适当地选择随机变量，并且对应于各个事件的随机变

15、量x的函数P=f(x )，、概率分布-二项式分布，等等设各自的概率为p和q，根据概率正规化条件，设p q=1 (1.2.1)，从整体上看这种随机现象的n次独立测试结果。 求出在该n次独立测试序列中出现n-1次事件a (当然是N-n1次b )的概率。 在互不相容的事件“or”的概率相加定理： (1.2.2)式中，因子是以各种顺序n次实验中n-1次a出现的组合数，通常记为。 利用二项式定理和(1-2-1)式，不容易证明由(1-2-2)式给出的概率分布函数满足正规化条件：概率分布函数PN(n1 )也是二项式展开中p的第n-1项，因此，该分布被称为二项式分布。 一维“随机漫游”问题例1-2-4假设在笔直的东西行驶的狭窄的街道上立着电线杆，酒吧下面醉汉沿着街摇晃着他的一步一步的步是l，各步的朝东和朝西不受前一步的影响，完全是随机的他从电线杆走了n步后，尝试了到电线杆的距离为x的概率。 “不规则地走”是有名的概率问题。 不限于一维，每个步骤都可以不相等，需要更多的随机变量。 物理上有很多问题的数学模型是“不规则地走”。 例如，布朗粒子的运动就像醉汉，用“不规则行走”模型来讨论其均方根位移。解基本的随机事件，是向东还是向西，只有两个。 把他朝东、朝西