理论力学精品课程 第十章 刚体的平面运动

1、第十章 刚体的平面运动,刚体平面运动的简化及其分解 平面图形上各点的速度分析 平面图形上各点的加速度分析 运动学综合应用举例,11.1,刚体平面运动的简化及其分解,一、刚体平面运动的定义,观察上述刚体的运动发现，它们在运动的过程中有一个共同的特征，即：当刚体运动时，刚体内任一点至某一固定平面的距离始终保持不变。具备这样一个特征的刚体的运动称为刚体的平面运动，简称平面运动。,11.1,刚体平面运动的简化及其分解,二、刚体平面运动的简化,如图所示，刚体作平面运动时，刚体上所有与空间某固定平面距离相等的点所构成的平面图形就保持在它自身所在的平面内运动。,经分析可得如下结论：,刚体的平面运动可以简化为

2、平面图形S在其自身所在的平面内运动。,11.1,刚体平面运动的简化及其分解,三、刚体平面运动的运动方程,建立如图的静坐标系，将 点称为基点。,当刚体作平面运动时， ， 和 均随时间连续变 化，它们均为时间的单值连 续函数，即,上式称为刚体的平面运动方程。分析运动方程可知，平面运动包函了平动和定轴转动这两种基本运动形式，即：平面运动是平动和转动的合成运动。,11.1,刚体平面运动的简化及其分解,四、平面运动分解为平动和转动,在平面图形S上任选一点 作为基点，并以基点 作为坐标原点建立随同基点运动的平动坐标系 ，如图所示。于是：平面运动（绝对运动）就可以分解为随同基点的平动（牵连运动）和相对基点的

3、转动（相对运动）。,在进行平面运动的分解时，基点的选择是完全任意的。在解决具体问题时，一般总是选图形上其运动为已知的点作为基点。由于所选的基点不同，分解运动中的平动部分的运动规律不同，即：图形随同基点平动的速度和加速度与基点的位置的选择有关。但图形对于不同的基点转动的角速度和角加速度都是一样的。下面予以说明：,11.1,刚体平面运动的简化及其分解,如图所示，由图可知：,而,即：在任一瞬时，图形绕其平面内任何点转动的角速度和角加速度都相同。亦即：角速度和角加速度与基点的位置的选择无关。于是可以直接称为平面运动的角速度和角加速度,11.2,平面图形上各点的速度分析,一、基点法（速度合成法）,如图，

4、在图形内任取一点 作为基点，已知该点的速度为 及图形的角速度为 ，则图形上任一点M的牵连速度为,相对运动为圆周运动，相对速度的大小为,方向如图。,M点的速度 即为绝对速度，即 。,于是根据点的速度合成定理 可将M点的速度写成,即：平面图形内任意一点的速度等于基点的速度与该点相对于基点转动的速度的矢量和。这就是平面运动的速度合成法，又称基点法。,11.2,平面图形上各点的速度分析,二、速度投影法,将速度矢量式 投影到 上，则有,即：在任一瞬时，平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。这就是速度投影定理。,三、速度瞬心法,如图所示，在垂直于 的半直线上必有一点且仅有一点 ，它的相对速度和

5、牵连速度大小相等而方向相反，因而绝对速度等于零。,点 的位置满足下列关系,或,11.2,平面图形上各点的速度分析,即：如平面图形的角速度不等于零，则该瞬时图形上总有唯一的速度为零的一点。这个点称为图形的瞬时速度中心，简称瞬心。,如取瞬心 作为基点，则平面图形上任一点M的速度大小为,必须指出：瞬心可以在平面图形内，也可在平面图形外，它的位置不是固定的。即：平面图形在不同的瞬时具有不同的速度瞬心。由此可见，刚体的平面运动可以认为是绕一系列的瞬心作瞬时转动。如果求出图形的角速度和确定出数心的位置，就可以求出图形上所有各点在此瞬时的速度。这种方法称为瞬时速度中心法，简称瞬心法。,11.2,平面图形上各

6、点的速度分析,下面介绍确定瞬心的方法：,11.2,平面图形上各点的速度分析,例1 椭圆规机构如图。已知连杆AB的长度 ，滑块A的速度 ，求连杆与水平方向夹角为 时，滑块B和连杆中点M的速度。,解：（1）基点法,AB作平面运动，以A为基点，则B点的速度为,B点的速度合成矢量图如图所示。建立如图的投影坐标，由速度合成矢量式，将各矢量投影到轴上得,于是,方向如图所示。,11.2,平面图形上各点的速度分析,以A为基点，则M点的速度为,M点的速度合成矢量图如图所示。建立如图的投影坐标，由速度合成矢量式，将各矢量投影到轴上得,解之得,（2）速度投影法,由速度投影定理财 得,11.2,平面图形上各点的速度分

7、析,（3）瞬心法,AB作平面运动，瞬心在 点。,方向如图。,11.2,平面图形上各点的速度分析,例2 如图所示，一个带有凸缘的轮子沿直线轨道纯滚动。已知轮心速度为 ，轮凸缘半径为R，轮半径为r，求其上A、B、C、D各点的速度。,解：（1）基点法,轮子作平面运动，以轮心O为基点，则A、B、C、D各点的速度为,速度合成矢量图如图所示。,11.2,平面图形上各点的速度分析,下面先求平面图形的角速度 。,如图所示。,由于此式对任意时间都成立，故两边对时间求导有,由此可得,再对时间求导有,由此可得,11.2,平面图形上各点的速度分析,取如图的水平投影轴 ，由以上的速度合成矢量式，将各矢量投影到 轴上得,

8、11.2,平面图形上各点的速度分析,（2）瞬心法,轮子作平面运动，其瞬心 和C点重合，如图所示。,则,方向如图所示。,11.2,平面图形上各点的速度分析,解：连杆AB作平面运动，瞬心在 点，则,方向如图所示。,11.2,平面图形上各点的速度分析,连杆BC作平面运动，瞬心在 点，则,方向如图所示。,11.2,平面图形上各点的速度分析,例4 图示机构，已知曲柄OA的角速度为 ， ， 角 ，求滑块C的速度。,解：AB和BC作平面运动，其瞬心分别为 和 点，则,方向如图所示。,11.2,平面图形上各点的速度分析,例5 直杆AB与圆柱O相切于D点，杆的A端以 匀速向前滑动，圆柱半径 。圆柱与地面、圆柱与

9、直杆之间均无滑动，如图，求 时圆柱的角速度。,解一：圆柱作平面运动，其瞬心在 点，设其角速度为 。,AB圆柱作平面运动，其瞬心在 点，则,即,亦即,故,11.2,平面图形上各点的速度分析,解二：由于圆柱作纯滚动，所以O点的速度为,以O为基点，则D点的速度为,根据速度投影定理有,则,11.3,平面图形上各点的加速度分析,如图所示。由牵连运动为平动的加速度合成定理，有,由于牵连运动为平动，所以 ，于是有,而,其中,故,即：平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与相对基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这就是平面运动的加速度合成法，又称基点法。,11.3,平面图形上各点的加速度分析,例6 车

10、轮在地面上作纯滚动，已知轮心O在图示瞬时的速度为 ，加速度为 ，车轮半径为r，如图。试求轮缘与地面接触点C的加速度。,解：车轮作平面运动，取O点为基点，则C点的加速度为,取如图的投影轴，由以上的加速度合成矢量式，将各矢量投影到投影轴上得,于是,方向由C点指向O点。,11.3,平面图形上各点的加速度分析,例7 图示曲柄连杆机构中，已知曲柄OA长0.2m，连杆AB长1m，OA以匀角速度 绕O轴转动。求图示位置滑块B的加速度和AB杆的角加速度。,解：AB作平面运动，瞬心在 点，则,转向如图。,AB作平面运动，以A点为基点，则B点的加速度为,其中,11.3,平面图形上各点的加速度分析,解之得,于是,方

11、向如图所示。,11.3,平面图形上各点的加速度分析,例8 如图所示四连杆机构中，AB=1m， AD=3m， BC=CD=2m，已知AB以匀角速度 绕A轴转动。试求BC和CD杆的角加速度及BC杆中点G的加速度。,解：BC作平面运动，瞬心在 点，则,11.3,平面图形上各点的加速度分析,BC作平面运动，以B为基点，则C点的加速度为,其中,建立如图所示的投影轴，由以上形式的加速度合成矢量式，将各矢量投影到投影轴上得,解得,所以,11.3,平面图形上各点的加速度分析,BC作平面运动，以B为基点，则G点的加速度为,其中,建立如图所示的投影轴，由以上形式的加速度合成矢量式，将各矢量投影到投影轴上得,解之得

12、,11.3,平面图形上各点的加速度分析,例9 图示平面机构中，OA杆以匀角速度 绕O轴转动，通过连杆AB带动轮B在固定轮上作纯滚动。已知OA=r，轮B半径也为r，固定轮半径R=2r。求图示位置B轮的角速度和角加速度及AB杆的角加速度。,解：AB在图示瞬时作瞬时平动。因此,轮B作平面运动，瞬心 和C点重合，故,AB作平面运动，以A为基点，则B点的加速度为,11.3,平面图形上各点的加速度分析,其中,建立如图所示的投影轴，由 将各矢量投影到投影轴上得,解得,转向如图。,11.3,平面图形上各点的加速度分析,例10 图示平面机构，由四根杆依次铰接而成。已知AB=BC=2r，CD=DE=r，AB杆与E

13、D杆分别以匀角速度 与 绕A、E轴转动。在图示瞬时AB与CD铅垂、BC与DE水平，试求该瞬时BC杆转动的角速度和C点的加速度大小。,解：BC和CD作平面运动，分别以B点和D点为基点分析C点的速度，有,于是有,建立如图的投影轴，由以上速度合成矢量式，将各矢量投影到投影轴上得,11.3,平面图形上各点的加速度分析,其中,故,转向如图所示。,BC和CD作平面运动，分别以B点和D点为基点分析C点的加速度，有,于是有,11.3,平面图形上各点的加速度分析,其中,建立如图的投影轴，由以上加速度合成矢量式，将各矢量投影 轴上得,故C点的加速度大小为,11.4,运 动 学 综 合 应 用 举 例,例11 图示

14、平面机构，杆 和OC的长度均为r，等边三角形ABC的边长为2r，三个顶点分别与杆 、OC及套筒铰接；直角折杆EDF穿过套筒A，其DF段置于水平槽内。在图示瞬时， 杆水平，B、C、O三点在同一铅垂线上，杆OC的角速度为 ，角加速度为零。试求此瞬时杆EDF的速度和加速度。,解：三角板作平面运动，在图示瞬时瞬心 和B点重合。,以滑块A为动点，动系取在折杆上，静系取在地面上，则动点的速度合成矢量图如图所示。,11.4,运 动 学 综 合 应 用 举 例,由图示几何关系，得,三角板作平面运动，以C为基点，分析B点的加速度有,加速度合成矢量图如图所示。,取如图的投影轴，由以上的加速度合成矢量式，将各矢量投

15、影到投影轴上得,故,于是可得,11.4,运 动 学 综 合 应 用 举 例,再以C点为基点，分析A点的加速度，有,由牵连运动为平动的加速度合成定理有,于是可得,加速度合成矢量图如图所示。,其中,取如图的投影轴，由以上的加速度合成矢量式，将各矢量投影到投影轴上得,11.4,运 动 学 综 合 应 用 举 例,例12 半径r=1m的轮子，沿水平直线轨道纯滚动，轮心具有匀加速度 ，借助于铰接在轮缘A点上的滑块，带动杆OB绕垂直图面的轴O转动，在初瞬时（t=0）轮处于静止状态，当t=3s时机构的位置如图。试求杆OB在此瞬时的角速度和角加速度。,解：当t=3s时，轮心C的速度,轮子作平面运动，瞬心在 点

16、，则,11.4,运 动 学 综 合 应 用 举 例,取滑块A为动点，动系取在OB杆上，静系取在地面上，动点的速度合成矢量图如图所示。,由图可知,故,于是，杆OB的角速度,转向如图。,轮作平面运动，取C为基点，则A点的加速度,根据牵连运动为转动的加速度合成定理，动点A的绝对加速度为,11.4,运 动 学 综 合 应 用 举 例,于是可得,动点的加速度合成矢量图如图所示。,其中,取如图的投影轴，由以上加速度合成矢量式，将各矢量投影到投影轴上得,11.4,运 动 学 综 合 应 用 举 例,于是，杆OB的角加速度为,转向如图所示。,例：图示圆轮相对地面与相对BD均作纯滚动。已知：h=40cm，r=1

17、5cm，当=30 时，杆OC的角速度=5rad/s，=0，试求：图示瞬时圆轮中心E点的速度、加速度及圆轮的角速度、角加速度？,0,O,A,B,C,D,E,F,h,r,解：点的合成运动与平面运动的综合题 动点：BD上销钉A 动系：OAC杆,绝对运动（轨迹）：沿BD的水平直线 相对运动（轨迹）：沿OC的直线 牵连运动（轨迹）：定轴转动,vAa,vAe,vAr,A,aAa,aAr,aAe,aAe,aAK,n,作出速度矢量合成图与加速度矢量合成图 因为：vAa=vAe+vAr 其中：vAe=OA,O,A,B,R,R,4R,u,如图，半径为R的圆轮A、B在各自接触面上做纯滚动，在A轮铰接杆OA可绕O轴转

18、动。求：图示瞬时，轮A、B及杆OA的角速度？,思考题1,P1,P2,K,思考题2,O,A,B,C,P2,vA,vB,vC,如图，半径为R的圆轮C在地面上纯滚动，杆OA以匀角速度绕O轴转动，OA=r，BC=l，,求：图示瞬时，轮心C的速度和加速度？,O,A,B,C,P2,vA,vB,vC,B,aB,n,aB,aC,aCB,n,C,分别以A、B为基点，分析B、C点,点的合成运动的解题步骤： 一、选动点，二、建立动坐标系，三、速度矢量图，四、加速度矢量图。（1点，2系，3运动） 动点与动系的选取原则： 1）动点与动系不能在同一个物体上； 2）三种运动轨迹要简单。 动点的选取原则： 1）单独运动的质点； 2）运动刚体上的不动 点； 3）凸轮（圆轮）的质心（圆心）,科氏加速度例题： 1、矩形板ABCD以匀角速度绕固定轴z转动，点M1和点M2分别沿对角线BD和边线CD运动，在图示位置时相对板的速度分别为v1和v2，则点M1和点M2科氏加速度分别为,v1,v2,M1,M2,A,B,