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1、北京邮电大学出版社 Beijing University of Posts and Telecommunications Press,电 路 分 析 基 础,吴文礼 编著,目 录,第一章 导论 第二章 电路基本概念 第三章 电路定律 第四章 电路的分析方法 第五章 一阶电路 第六章 高阶电路和复数频率 第七章 正弦稳态电路分析 第八章 交流功率 第九章 频率响应,BUPT Press,第一章 导论,1.1 电量和国际单位制 1.2 力、功和功率 1.3 电荷与电流 1.4 电压 1.5 电能和电功率,BUPT Press,1.1 电量和国际单位制,本书采用国际单位(SI)制，国际单位有9个基本

2、单位： 长度米(m) 质量千克(kg) 时间秒(s) 电流安培(A) 温度开尔文(K) 物质的量摩尔(mol) 平面角弧度(rad) 立体角球面度(sr) 发光强度坎德拉(cd) 所有其他的物理量都从基本单位导出。,BUPT Press,电路分析中常用的物理量如下表所示，我们应尽可能使用国际单位的10的幂次及约量。,BUPT Press,1.2 力，功和功率,我们从“力等于质量乘以加速度”物理概念出发可知，1牛顿就是使1千克质量的物体能产生1米/秒2的加速度的力，即 同样，在力的作用下使物体移动一定距离时就做功。1焦耳等于1牛顿米,即 功和能量单位相同。 功率是做功的速率或能量从一种形式转化为

3、另一种形式的速度，功率的单位为瓦特(W),即:,BUPT Press,1.3 电荷与电流,电荷有正电荷和负电荷，电荷流动形成电流，电流单位为安培（A），一般用I表示恒定电流，i表示随时间变化的电流。在1s时间内通过一定截面1C电荷的电流为1A。 一般可表示为： 对于时变电流可表示为： 由于电荷移动可以为正，也可以为负，设定正电荷移动的方向为电流的正方向，故负电荷移动的方向为反方向。在电路分析中比较重要的是金属导体中的电流，它由原子结构最外层电子的运动产生的。,BUPT Press,1.4 电压,电压通常是电位，是指电荷在电场中的位能。电压差（也叫电位差）是电荷从一点移动到另一点所需要做的功能。

4、电压的单位是伏特，单位符号V。1V等于移动1C电荷需要1J功。即 电压的计量符号用下标表示对应于哪两点，如果字母a代表一点，字母b代表另一点，需要W焦耳的功来从b点向a点移动Q库仑电荷，则Vab=W/Q。注意，第一个下标点是电荷移动到达点。 电压极性的定义：如果从b向a移动正电荷做功，则a点对b点为正。,BUPT Press,1.5 电能和电功率,电荷在电场中移动会吸收或释放能量，这种能量称为电能。电能单位是焦耳(J)，电能的转换速率是电功率(P)，单位是瓦特(W)，即每秒中电能的变化量J/s，可表示为 由于电压V=J/C，电流A=C/s，即 VA=(J/C)(C/s)=J/s,BUPT Pr

5、ess,故电功率等于电压和电流的乘积，即 P=VI 由于V，I随时间变化，则瞬间功率也为时间函数，功率是能量对时间的微分 P=dW/dt 在电动机等其他设备中输出功率常用称为马力(horsepower-hp)的单位表示。 马力与瓦特的关系为： 1hp=745.7W,BUPT Press,第二章 电路基本概念,2.1 电路元件分类 2.2 电压源 2.3 电流源 2.4 电阻元件 2.5 电容元件 2.6 电感元件,BUPT Press,2.1 电路元件分类,电器设备可用具有不同性能电路元件组成的电路图或网络图来描述。简单的电路元件是二端元件。按性能可分为七种基本元件，用图2.1表示: 图2.1

6、,BUPT Press,有源元件：能提供电路能量的是电压源(a)，(b)或电流源(c)，(d)。其中用圆圈表示的(a)和(c)是独立电压源和电流源，不受电路变化影响。用菱形表示的(c)和(d)是受控电压源和电流源，随电路变化而变化。电压源和电流源通称为有源元件。 无源元件：将电路中能量转化其它形式和将它储存在电场或磁场中的元件是电阻R，电容C和电感L。其符号如2.1中的(e)，(f)和(g)。称R，L和C为无源元件。,BUPT Press,2.2 电压源,理想电压源的定义是：其两端电压与通过它的电流无关，电压源的电压叫做源电压，又叫做电动势。源电压可以是时间的函数，图2-1中(a)，(b)是电

7、压源的符号，(a)是独立电压源，(b)是受控电压源，图中u为源电压，“+”和“-”表示u是“+”端相对于“-”端的电压。,BUPT Press,2.3 电流源,理想电流源的定义是：通过它的电流与其两端的电压无关，通过电流源的电流叫做源电流，源电流可以是时间的函数。图2.1中(c)，(d)是电流源的符号，图中表示源电流，箭头表示源电流的参考方向。实际电流的方向与箭头方向相同，则取为正，反之取负。2.1中(c)为独立电流源的符号，(d)为受控电流源的符号。,BUPT Press,2.4 电阻元件,电阻元件是吸收电路传输的电能,使其转化为其他能量的装置。表现这一物理属性是欧姆定律，即电阻两端的瞬时电

8、压只取决于流过它的瞬间电流。 R称为元件的电阻值，单位是欧姆，符号为“”。1 =1V/A。 最早是通过导体的导电性能认识电阻的。导体的导电性能是用导体的电阻率来衡量的，均匀截面的导体的电阻是 式中，是导体的长度（m），A是截面积（m2），是电阻率计量符号，国际单位为欧姆米。,BUPT Press,一般，电阻率比较高的材料做成电阻器，电阻器吸收的功率是 电阻器所能承受的功率称为额定功率。工作时电阻器吸收的功率要小于电阻的额定功率，一般称额定瓦数。 瞬时功率的积分可确定电阻元件的耗能。,BUPT Press,2.5 电容元件,电容是以聚集电荷的形式贮存电能的二端元件。电容器的特点是两端的瞬时电压只

9、取决于其中的瞬时电荷量。按电流注入端为电压的正极性端，如图2.2所示。 电容的单位是法拉，称为“F”，用“C”表示电容量的值。对于 填充线性介质的电容器，其电荷，电压，电流，功率及能量 的关系如下： 图2.2 电容元件在电场中的储能,BUPT Press,2.6 电感元件,电感是贮存磁场能量的元件。二端电感就是自感。对于填充线性磁介质的线圈，其瞬时磁通量正比于通过它的瞬时电流。如图2.4所示电压和电流参考方向相同时，依据电磁感应定律可得电路的方程为 L称为电感元件的电感量，单位是亨利，符号为H。 电感的功率和能量的关系如下 图2.4电感的参考方向,BUPT Press,在t1到t2电感吸收能量

10、 电感元件在磁场中的储能为,BUPT Press,例：,当00 (5-6) 这里RC称为电路的时间常数，由(5-5),(5-6)式看出，电容器的电压 和电流 分别以初始值 和 按指数规律下降，随时间增加，逐渐减小到零，下降的速度由时间常数 来决定。 越大下降得越慢，见图5.1(b)和(c)。由图可看出 为下降到初始值的1/e所需要的时间。,BUPT Press,5.4 通过一个电阻对电容充电,在t=0时刻，将一个没有电荷的电容，通过一个电阻接到电压为 的电池上，如图5.4(a)所示。电容上的电压通过电阻中流过的注入电流而逐渐上升到 ，此时电阻中的电流减小到零。这一过程称为电容充电过程。由于电路

11、中储能元件初始状态能量为零，也称为零状态响应。 图5.4,BUPT Press,对于t0时开关已经合上，回路的KVL方程为 。将 代入，整理后将方程变为 其全解为 。 其中通解（或称自然响应）为 的形式，由于激励函数为常数，故特解为 。求出待定系数A和U。将 和 代入上式得,BUPT Press,当 ， 得： 当 ， 得： 将A,U代回得出其全解： 利用 可得 和 见图5.4(b),(c)所示波形。,BUPT Press,5.5 通过一个电阻使电感中的电流消耗掉,图5.6所示的RL电路中，设在t=0时电流为 ，此时电感中储存磁能，在t0时，电流流过电阻消耗电感中的能量，随磁场能量消耗尽，回路中

12、电流 变为0。 由KVL可知电流 应满足 它的解是 ， 代回可得： 初始条件 则 其中 为电路的时间常数。 图5.6,BUPT Press,5.6 在电感中建立一个直流电流,将一个电感中电流为零的RL电路，突然接到一个直流电源上，电感中电流将从零以指数形式进行增长，时间常数为L/R。按图5.8(a)所示电路，说明求解过程。 当t0时开关合上，应用KVL列出 方程并求解 通解 ，特解 ， 可得 图5.8 当 时， 得,BUPT Press,对于通解 ，可得 其中 为电路时间常数 这样就可得到电感中电流 和两端电压 ，波形画于图5.8(b)和(c)。,BUPT Press,5.7 恒定激励一阶电路

13、的三要素公式,对于既有外加激励又有初始储能的电路，它的换路响应，称为全响应。由叠加原理可认为全响应是零输入响应和零状态响应的叠加。如图5.9所示电路 ， 全响应为 图5.9,BUPT Press,对于较复杂的这样恒激的一阶电路常用的求解方法，是用三要素公式。对于图5.9的 KVL方程为 标准微分方程为 其解为u(t)。 是特解项， 为通解项，对通用形式， 设特解为 ，通解为 。则对于换路后激励一阶电路的响应，一般形式为 可利用换路定则和稳定状态 以后来确定 和 。,BUPT Press,时， 时， 由此可得一阶响应的通式 其中 为响应的终值。上式称为换路后恒定激励一阶电路响应的三要素公式。由于

14、三要素 和 表达了一阶电路的物理特征，完全可以从相应电路求出，就简化电路响应的求解。该公式不仅适用于换路后恒定激励一阶电路任意响应求解，也适应一阶电路零输入的求解。,BUPT Press,例：,如图5.11(a)所示电路中，在t=0时将开关合上。求t0时电容两端的电压和流过电容中的电流。 解：利用换路定则，可得 在t=0时刻，电容器可等效为 的电压源，求 的等效电路如图5.11(b)所示，则 图5.11,BUPT Press,t0时，对于电容器回路可等效为图5.11(c)所示电路。可得时间常数 时，电路终值等效电路仍为图5.11(c)所示 图5.11,BUPT Press,利用三要素公式可以写

15、出 t0时， 和 的波形分别如图5.11(d)和(e)所示。 图5.11,BUPT Press,5.8 一阶电路的脉冲响应,如图5.12(a)所示电路表示输入信号为矩形脉冲的开关模型；波形如图5.12(b)所示。 图5.12 这就是把矩形脉冲信号，等效为在 t0时输入端对地短路（接地），在 t=0时刻将输入接到电压源（或电流 源） 上，并保持到t=T时再将输入 端接地。其表示式为,BUPT Press,结合具体例子进行推导，如图5.13(a)所示的一阶串联RC电路中，电压源提供了一个持续时间为T，高度为 的脉冲，如图5.13(b)所所示t0时求解为 利用 时的条件 ，代入上式得： 所以 对于特

16、殊情况 时，即强迫函数和自然响应具有相同指数 时，上式不成立，此时强制响应改为 ，自然响应不变，则可得：,BUPT Press,5.10 一阶电路对突加正弦激励的响应,正弦电源是常用的一种电源，我们以图5.18所示的电路为例，分析t=0时开关闭合换路后电路的电流 。 利用欧拉公式得到正弦函数和虚 指数函数的关系 当 时 使用图5.17的分析结果，就可以 得到正弦激励下电路中电流响应 。 即 图5.18 (5-30),BUPT Press,可以看出当 时， ; 经过一段时间 趋于零则达到稳态响应 瞬态响应自由分量为 在开关闭合瞬间，如果调整开关闭合瞬间 ,使 则接入相位角 应满足 使用同步开关，

17、选择瞬时值等于 的瞬间闭合开关，则自由分量为零，换路后无瞬变过程，能立刻进入新的稳定工作状态。可以克服换路出现的过流现象。,BUPT Press,5.11 一阶电路中强响应的总结,一阶电路典型微分方程为 强迫响应 是由强迫函数 决定的，在下面的表5-1中总结了一些常用的强迫函数和对应的强迫响应 。这些响应可以通过代入微分方程求出。用表5-1中这些函数加权的线性组合以及它们的时间延迟，可以推导出新的函数的强迫响应。,BUPT Press,表5-1(a),BUPT Press,表5-1(b),BUPT Press,5.12 微分电路与积分电路,一阶RC和RL电路最常的用途是做微分电路或积分电路。这

18、是双端口电路，它们的基本特征是输出口的电压与输入口的电压对时间的微分或对时间的积分成比例。也就将输入端的波形通过这种电路转换成其导数或积分形式的波形。 1 微分电路与积分电路的基本结构及特征 微分电路与积分电路，比较理想的是由运算放大器构成的有源电路组成，这里只介绍由RC和RL组成的电路。 图5.19(a),(b)是最基本的微分电路：,BUPT Press,图5.19(c),(d)是最基本的积分电路： 微分电路的条件是电路的时间常数非常小，信号的持续时间足够长。 积分电路的条件是电路的时间常数很大，信号持续时间相对较短。时间常数大到何种程度可根据具体工作情况合理选择。,BUPT Press,2

19、 微分电路应用实例,微分电路是提取阶跃信号和脉冲信号前后沿的简单实用电路。 例 图5.20(a)所示电路是单片计算机常用的上电复位电路。其中输出端接到计算机CPU芯片复位端，输入端接到CPU芯片供电电源 上，每次开机时， 从0V上升到+5V，输出端也跳升到+5V，然后按指数规律下降，当低于2.2 V( )时，复位作用结束。求该电路有效复位脉冲宽度 （见图5.20(b)所示） 图5.20,BUPT Press,解：设在t=0时开机由0V上升到+5V。 利用三要素公式来计算 当 时 可得： 开机经过82ms以后CPU复位结束，投入正常启动程序。我们可根据不同芯片对复位脉冲最小持续时间的要求，来改变

20、电路的时间常数，电阻应根据芯片复位端输入阻抗不同首先确定下来，然后再对时间常数要求，计算出电容的数值。,BUPT Press,3 积分电路应用实例,RC积分电路经常用作简单的脉冲延时，消除窄脉冲干扰和电源退耦等。 例 图5.22(a)所示电路，其中RC积分电路起脉冲延时的作用。 输入信号 为矩形脉冲如图5.22(b)所示，设整形电路的 触发电平为2.5V，输入阻抗忽略不计。求整形输出相对于输 入信号的延时。 解：由图5.22(b)可知,输入信 号的脉冲宽度为T=0.4ms 当 时， 利用三要素公式求得,BUPT Press,设 上升到触发电平的时间为 ，则 由此式可得 当 时， 设 下降到触发

21、电平的时间为 ， 代入上式得 则 由此看出脉冲宽度大于电路时间常数4倍 以上时信号幅度为整形触发电平2倍时， 上升和下降延迟相等，整形后输出信号 的脉冲宽度与输入信号相同。,BUPT Press,5.13 突变情况的分析,如果在电路中，有两个电容上的电压值不同，换路后将两个电容并联在一起瞬间使两个电容上的电压相等，显然电容上的电压发生了突变，称之为突变情况，同样对含两个以上电感的电路换路也可能发生突变情况。对于突变情况，我们仍然可用瞬间电荷守恒或磁链守恒规律求出初始值。 例 图5.25所示电路，是常用的RC分压器，设电路的初始状态为 零。输入信号为 求 ，并说明如何调节 能使此电路无过渡过程。

22、,BUPT Press,解：t0时，可以列出以 为未知数的电路微分方程来求解。 图5.25 设电容 上的电压为 , 则 列出a节点的KCL方程整理成标准形式 由(5-34)式看出该电路是一阶电路，可用三要素公式来求解。,BUPT Press,电路的时间常数 当 时 当 时 已知在 时， ，故a节点的总电荷为零。 所以在 时刻这两块极板上总电荷仍然保持为零，即 因为当 时， 可得,BUPT Press,输出电压为 由上式看出，当 时， 此时电路将不出现瞬变过程。此时输入波形与输出波形仅相差一个衰减系数 ，并完全相似。改变 ，输出波形变化如图5.26所示。,BUPT Press,第六章 二阶电路、

23、高阶电路和复数频率,用二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。二阶电路一般有二个独立的储能元件（两个电容，或两个电感，或一个电容和一个电感）。含有更多个储能元件的电路，得用更多阶微分方程描述称为高阶电路。本章以一些二阶电路的例子，介绍其分析方法，复频率和零极点图。其中串联RLC电路和并联RLC电路是教学大纲要求内容，复频率、零极点、强迫响应和自然响应是自学内容。,BUPT Press,6.1 串联RLC电路 6.2 并联RLC电路 6.3 复数频率 6.4 在s域中的一般化的阻抗 6.5 网络函数和零极点图 6.6 强迫响应 6.7 自然响应,BUPT Press,6.1 串联RLC电路,图6.1

24、所示电路，是一个无激励电源的串联的RLC电路，当开关闭和时的KVL方程是 可得 解为 其中 , 称为电路的自然频率。 这样二阶电路的零输入响应（自然响 应），含有两项指数规律变化的分量， 需要两个条件来确定常数和。 由于 和 对其相应影响很大，分为 以下几种情况分析。 时称为过阻 尼情况， 时为临界阻尼情况， 时为欠阻尼情况， 时为无阻尼情况。,BUPT Press,1 过阻尼情况（ ） 在这种情况下， 都是正实数 2 临界阻尼的情况（ ） 当 时， 即 , 电路的微分方程式变为 其特征方程有一对重根 ，由微分方程理论可知，其解的形式为,BUPT Press,3 欠阻尼或振荡的情况（ ） 当电

25、路中电阻 时，出现 欠阻尼或振荡的情况。这时微分方程式 的特征方程的解 和 是共轭复数。 其解可以写成指数形式 也可以推导出正弦形式 4 无阻尼情况（ ） 当 时， ，电路出现无衰减情况，也称无阻尼 情况。此时， 这种情况下,BUPT Press,过阻尼 临界阻尼 欠阻尼或振荡 无阻尼,BUPT Press,6.2 并联RLC电路,图6.6所示的并联RLC电路的响应与串联RLC电路的响应相似。在时开关闭合，由节点电压法，列出KCL方程可得： 其解的形式为 这里 其中， 称暂态阻尼因子 电路自由振荡频率,BUPT Press,1 过阻尼情况（ ） 在这种情况下，其解的形式为 2 临界阻尼情况（

26、） 当 时， ，即 。是临界阻尼情况， 并联RL电路微分方程式为 其特征方程有一对重根 ，其解的形式为,BUPT Press,3 欠阻尼（振荡）情况（ ） 当并联RLC电路中电阻 时，就处在欠阻尼的振荡情况 。 这时电路微分方程的特征根 和 为共轭复数 其中 是阻尼振荡的角频率，并联RLC欠阻尼时的微分方程与串联 RLC欠阻尼时微分方程形式相同。故其解的形式也相同，即,BUPT Press,6.3 复数频率,以前我们讨论过电路驱动函数是一个常数，或是一个正弦函数，或者是一个指数函数。现在我们要引入复数频率s，它能统一上面提到的三个函数，并能简化分析，无论是暂态还是稳态响应分析都是需要的。 对于

27、指数函数，我们仅关心其余弦项 ， 为了使其更具有广泛代表性，引入一个常数A和因子 。 其中， 复频率 的单位 ， 的单位ran/s， 的单位也是 。这就是具体单位 的奈培频率。,BUPT Press,这样，当 和 都是非零时，可表示为一个衰减的余弦函数（只考虑是 负值的情况）。如果 和 都是零，变为一个常数。当 ，而 是非零的负数时，则变为一个指数衰减函数。在表6-1中对于表达式 给出几个相对应于s值的函数。 表6-1,BUPT Press,在图6.9中，是函数 的波形。可以看出，当 时，没有阻尼，变为幅度为 的余弦波。当 ，变为 初始值为 的 指数衰减函数。当 和 都不为零 时，结果是有阻

28、尼的余弦函数。 。 图6.9,BUPT Press,6.4 在S域中的一般化的阻抗（R,L,C）,一个形式为 的驱动电压（电压源），施加到一个无源网络回路，将产生支路电流和元件两端的电压，它们都有相同的时间函数，即 为 和。因此，仅需要确定电流和电压的幅度和相位。对于一个网络，用时间域表示为图6.10(a)，则在S域应表示为图6.10(b)。对于S域中元件的阻抗见表6-2。,BUPT Press,表6-2 由此看出在s域中，串联RL电路的阻抗是R+sL。因此电感在s域 内的阻抗是sL。电阻在s域中的阻抗为电阻的阻值。同样我们分析 一个串联的RC电路，可以得到在s域内串联电路的阻抗是 。 所以电

29、容在s域中的阻抗为 。,BUPT Press,6.5 网络函数和零极点,网络函数H(s)定义为指数输出Y(s)的复数幅值与指数输入X(s)的复数幅值之比。例如，若X(s)是驱动电压，Y(s)是两个端点的输出电压。H(s)可以由输入输出微分方程推导出来: 线性电路由大量元件组成，网络函数是s的有理函数并能写成下列形式： 因为H(s)是输出响应与激励的比率。当 时，不管激励有 多大，响应将是零，故称零点。而当 时，不管激励有多 小，响应将是无穷大，故称为极点。,BUPT Press,6.6 强迫响应,网络函数能以零极点形式表示并用图解得到响应。对于网络函 数H(s)，现在设 由此得出，网络对于一个

30、有 的激励响应，可以通过H(s)的零极点图中测量零点和极点到S点之间的向量长度以及它们与正 轴之间的角度来确定。,BUPT Press,6.7 自然响应,在本章中，我们重点研究一阶，二阶的强迫响应或稳态响应，现在可以通过很有用的复数频率方法得到响应。很容易地求暂态响应特性的自然频率，它们就是网络函数的极点。 例 如图6.14，求当一个电压源V(s)加到 中间时的自然频率。 解：其网络函数为 自然频率为 在时间域内，自然暂态电流形式是 其全响应是 ，利用初始条件 确定常数 ， 时强迫响应。,BUPT Press,第七章 正弦稳态电路分析,7.1 引言 7.2 正弦信号的基本参数 7.3 正弦信号

31、的相量表示法 7.4 电阻、电容、电感元件的复数模型 7.5 阻抗和导纳 7.6 相量形式的基尔霍夫定律 7.7 网孔电流分析法 7.8 节点电压分析法 7.9 戴维南和诺顿定理,BUPT Press,7.1 引言,正弦电路是激励电源可以用正弦函数来描述的电路，也称为正弦交流电路。或简称为交流电路。本章主要讲述由正弦电源驱动的电路的稳态响应,在信号分析理论中，正弦信号是合成其它信号的基本信号。因此，正弦电路的分析方法，不论对理论分析和实际应用都是非常重要的。 由于正弦稳态电路的响应也是同频率的正弦形式，仅是幅度和相位发生变化。将同频率的正弦信号用复数相量表示，电路的微分方程变换为复数代数方程。

32、把正弦交流电路分析变为处理复数的代数方程，并把电阻电路基本电路定律和原理，基本分析方法，基本概念，等效变换推广应用于正弦交流电路中。本章重点要掌握好，正弦信号的相量表示法，正弦电路的相量分析法及其它有关的基本概念。,BUPT Press,7.2 正弦信号的基本参数,7.2.1 正弦信号的三个特征量 正弦电压的波形如图7.1所示，当以时间t为自变量，其表达为 以相角为自变量时，则为 其中 称为角频率，T为正弦信号的周期。而 称为正弦信号的频率。 称为初相角，既可用弦波表示也可以用角度表示， 如果初相角用 表示，则正弦电压的一般表示式为,BUPT Press,我们称 为正弦信号的三个特征量。 ：称

33、为正弦信号幅度，取值为正值。 ：称为角频率，取值为弧度/秒。 f ：称为正弦信号的频率，是每秒信号交变的次数，f越大表示信号变 化 越快。 T ：称为正弦信号变化的周期。 ：称为初相角，其值表示余弦波形的正峰值点与纵轴之间的距离， 如正峰点在纵轴的左侧 值为正，反之 值为负。 同样正弦电流信号可表示为：,BUPT Press,7.2.2 正弦信号的峰值，平均值及有效值,1 峰值 ： 对正弦信号来说就是它的振幅或称最大值，在电路计算中有人在其单位下面加p。如 表示310伏是峰值电压。有时见到620 表示信号的最低点到最高点之间的值为620伏,称为峰峰值。 2 平均值 ： 对于一般周期性信号的平均

34、值是指一个周期内的平均值，其计算公式如下： 其中，T为周期信号的周期， 是以计算方便为原则选择的起始点。 由于标准正弦信号正半周与负半周是完全对称的，所以它的均值总是为零的。对于以后要学到的整流电路中，主要考虑其正半周的平均值。,BUPT Press,3 有效值： 在相同阻值电阻中，在相同时间内，通过交流电流 所产生的热量，与通过一个直流电流I产生热量相等，则称I为 的有效值。 有效值的定义为 有效值一个正数。在数学上称周期函数f(t)的有效值为瞬时式的均方根值，即 正弦信号的有效值是最大值的0.707倍。对于交流仪表中所标的数值都是有效值。我们日常使用的50Hz交流电压有效值是220V。,B

35、UPT Press,7.3 正弦信号的相量表示法,对于可以余弦表示得正弦信号，可看成是一个 在XY平面上以原点为中心，以为角频率旋转 的向量，在X轴上投影，如图7.4所示。（对于 用正弦函数表示的信号，是旋转向量在Y轴上的 投影。）向量的长度或者幅值是余弦函数的幅 值或最大值，向量与横轴（X轴）的夹角是余 弦函数的相位角，就可以用向量来表示正弦信号。 设旋转向量的幅度为 ，则 位置1可表示 位置2可表示 位置3可表示 如果电压或电流被表示为正弦函数，用相位 减去 的方法，将其转化为余弦函数。,BUPT Press,相量是有向线段或称自由矢量，我们在字母上面加“ ”如 来标注。余弦函数的相位角是

36、相量的角度，向量图可认为是在 时刻，有向线段按逆时针旋转时所在的位置。 正弦信号向量表示的具体方法见下表所示。,BUPT Press,1 相量的三种表示形式,相量可以当作一个复数对待，当水平轴与一个复平面的实数轴相同时，相量就成为一个复数并且适用于通常法则，根据欧拉同一性法则，对一个相量有三个等效符号： 极坐标形式 正交形式 指数形式 余弦表示式也可以写成： 利用指数形式可以得到如何处理相量的积和商： 因为 则 又因为 则,BUPT Press,2 振幅相量和有效值向量,向量长度用信号的振幅值（最大值）表示称为振幅相量，其符号用 表示，相量长度用信号的有效值表示称为有效值相量，其符号用 表示。

37、 例 已知正弦电压，电流如下，试分别写出它们的振幅相量及有 效值相量 解：振幅相量 有效值相量,BUPT Press,7.4 电阻，电容，电感元件的复数模型,1 电阻元件的复数模型 如图7.5(a)所示，在关联参考方向下，电阻R中的电流 与电阻两端电压 的关系为 若 则 可得在关联参考方向下， 是同频率，同 相的一对正弦变量，相量运算关系为 用有效值表示为,BUPT Press,2 电容元件的复数模型,如图7.6(a)中电容电流与电容两端电压在关联参考方向下，关系应满足： 若 则 在关联参考方向下， 为同频率的正弦变量；在相位关系上， 超前 。其幅度间满足 的关系。,BUPT Press,电容

38、正弦特性运算式（7-10）中的复数部分，即 由此可得 可见电容元件的复数模型为 ，见图7.6(b)所示。 上式称为电容元件的复数欧姆定律，它表明了正弦电路中电容元件的电压相量与电流相量的正比关系。比例系数 称为复数电容抗，简称复数容抗，记作 ，当f的单位为Hz，C的单位为F时， 的单位为 。 复数容抗的模值 称为容抗。容抗的大小与 成反比关系。当 时，相当于直流信号，则容抗为 ，电容呈现开路状态，也就是电容不能通过直流电流。当 时，电容相当于一条短路线。,BUPT Press,3 电感元件的复数模型,在图7.8所示的电感元件中，在关联参考方向下，电感中电流与电感两端电压的关系为 在正弦情况下，

39、 若 则,BUPT Press,复数关系为： 由此可得出电感元件的复数模型为 ，见图7.8(b)所示，上式称为电感的复数欧姆定律，其中 称为复数电感抗，简称复数感抗，记为 ，在f以Hz为单位，L以H为单位时，复数感抗也是以为 单位。复数感抗的模值为 称为感抗，而幅角称为感抗角，在关联参考方向下，电感电压超前电感中电流 。感抗和频率成正比。当 时，也就是直流状态感抗为零，相当于电感短路。当 时，电感等效开路。,BUPT Press,7.5 阻抗和导纳,一个正弦电压或电流加到一个无源的RLC电路中产生一个正弦响应。当用时间函数描述u(t)和i(t)时，电路称为时间域电路；当用相量来分析电路时，成为

40、复数频率域电路，简称频率域电路。电压和电流可以分别写成 阻抗Z：定义为相量电压和相量电流之比，即 导纳Y：定义为阻抗的倒数，即 当电压的单位为V，电流的单位为A时，阻抗的单位为欧姆 ，导纳的单位为姆欧 。,BUPT Press,当阻抗写成正交形式时，实部是电阻R，虚部是电抗X。虚部的符号可正可负，如果为正，X称为感抗，如果为负，X称为容抗。当导纳写成正交形式时，其实部是电导G，虚部是电纳B。电纳符号为正时称为容纳，为负时称为感纳。因此： 利用公式可得出它们之间的关系 上式在串联电路和并联电路等效转换有用。,BUPT Press,（1） 阻抗的组合 对于两个阻抗并联阻抗为 （2）阻抗图 由于Z是

41、一个复数，可在复平面表示出来，称为阻抗图。 Z的一般形式为 。由于电阻 ，所以一个 阻抗Z表示为复平面右半平面中的一个点。,BUPT Press,（3）导纳的组合 所以，串联电路容易用于阻抗处理， 并联电路容易用于导纳处理。 （4）导纳图 图7.13所示的是两个导纳及其相加的导纳图。其中 为容纳， 为感纳。它们的向量和为 ，是 和 并联组合的 导纳。,BUPT Press,7.6 相量形式的基尔霍夫定律,1 相量形式的基尔霍夫定律 KCL的相量形式： KVL的相量形式： 在正弦电路中，流入任意 在正弦电路中，对任何一 割集（包括顶点割集）的 个闭合路径中，各支路上 电流相量（ ）之和 电压相量

42、（ ）之和 恒为零。 恒为零。,BUPT Press,2 正弦电路中的分压和分流 （1）串联阻抗对总电压的分压等于阻抗之比。 （2）并联阻抗（导纳）对总电流的分流等于阻抗比例的倒数或是 导纳之比。 其中,BUPT Press,7.7 网孔电流相量分析法,图7.17所示的交流阻抗网络也称为频率域网络，其形式与直流电阻网络是一样的，所以矩阵方程形式也是一样的，故可列为 其中： 是网孔电流的相量。 （ 的公共阻抗）= （ 的公共阻抗）= 0 （ 的公共阻抗）=,BUPT Press,由此看出矩阵是对称的。 在方程右边的 列中， （k1，2，3）是定义为 （网孔k中驱动电压之和），网孔电流由电压源负端

43、进入取正号，反之为负号。 对于图7.17可得， （1）输入阻抗和转移阻抗 如图7.19所示的单电源网络，可得 输入阻抗是 而网孔（或回路）与网孔之间 ，转移阻抗是 （2）网络电压传输系数,BUPT Press,7.8 节点电压分析法,对n4的正弦网络，矩阵方程为 是节点1的自导纳，它是连接节点1的所有导纳的总和。同样, 分别是节点2和节点3的自导纳。 是节点1和节点2之间的耦合导纳，它是连接到节点1和节点2 之间的所有导纳之和的负值，有 。同样，其它耦合导纳 为 。因此，Y矩阵是对称的。 在方程右边，I列其构成也是 为流入节点k的电流的总和 流入节点k的电流）（k1，2，3） 流出节点k的电流

44、取值为负。,BUPT Press,输入导纳和转移导纳,节点电压分析方法的矩阵方程为 与网孔电流法的矩阵方程 在形式上相同 所以，在理论上，输入导纳和转移导纳可以按照输入阻抗和转移阻抗的形式来定义： 其中， 分别是 的余因子。,BUPT Press,7.9 戴维南和诺顿定理,对于交流正弦网络，戴维南和诺顿定理也是适用的，只是将开路电压 ，短路电流 和等效电阻 用开路相量电压 ，短路相量电流 和等效阻抗 代替，见图7.25。,BUPT Press,例：,在如图7.26所示的网络中，已知输入电压的相量为 ，分别利用戴维南定理和诺顿定理，求出输出电压相量 。 解：(1)用戴维南定理求解。 首先按虚线以

45、左看成a，b两端 有源二端网络。 等效电压源为a，b两端开路电压 ， 等效内阻 为输入端短路ab之间向 左看入的阻抗。,BUPT Press,(2) 用诺顿定理求解。 我们将两端网络的等效输出向左移到 两点上。（因为 在a，b两端求短路电流会出现分母为0）,BUPT Press,第八章 交流功率,8.1 瞬时功率 8.2 平均功率（有功功率）与无功功率 8.3 复功率，视在功率和功率三角形 8.4 功率因数的改善 8.5 最大功率传输,BUPT Press,8.1 瞬时功率,某一支路瞬时功率是指其瞬时吸收的功率，若该支路电流为i，支路两端电压为u，如图8.1所示，则瞬时功率为 设电压和电流分别

46、表示为 则 其中 ， 是有效值。 是电压与电流之间相位差。其波形如图8.2所示。,BUPT Press,由此看出，对于无源支路从正弦电源 瞬时吸收的功率，是以 为 中心，以UI为幅度，以2频率按 正弦变化的。支路吸收功率和释 放功率的比例，是取决于该支路 电压和电流之间的相位差 。 当 时，支路从 外电路吸收的功率大于向外 电路释放的功率。在图8.2 所示的瞬时功率波形图中， 阴影部分为向外电路释放功率期间。,BUPT Press,8.2 平均功率（有功功率）与无功功率,1 平均功率 对于正弦电源及其它周期信号电源的平均功率，定义为瞬时功率一个周期内的平均值，用大写字母P表示，则 纯阻电路 纯

47、电抗支路 对于一般支路 时， 支路的平均功率是支路中等效电阻上所消耗的功率。瞬时功率的平均值，也称为有功功率。它表示该支路消耗能量的平均速度。,BUPT Press,2 无功功率 无功功率用大写字母Q表示，定义为 同理可得 无功功率表示支路电抗元件与该支路以外电路交换能量的最大速度，即瞬时无功分量的最大值。可以看出，对于感性支路无功功率Q为正值，对于容性支路无功功率Q为负值。对于无功功率与有功功率具有相同的量纲为伏安，其单位不同，有功功率单位为瓦特(W)，无功功率为乏(VAR)。一瓦特和一乏均为一伏安。,BUPT Press,8.3 复功率，视在功率和功率三角形,功率的两个组成部分P和Q各起不

48、同作用并且不可直接相加，但是我们可以用称为复功率S的向量形式将两者很方便的联系在一起。 它的模值 称为视在功率，单位为伏安(VA)，U和I为有效值。 将三个标量S,P和Q可以分别表示为直角三角形的斜边，水平边和垂直边，称为功率三角形，如图8.3（a）所示。对于等效为串联支路的功率三角的形式，是简单的由因子 标定的阻抗三角形，如同8.3（b）所示。对于电感性负载的功率三角形和电容性负载的功率三角形分别表示于图8.3（c）和（d）。,BUPT Press,几种功率总结如下： 复功率： 视在功率： 有效功率： 无功功率： 功率因数：在实际电路设备应用时， 将有效功率（也称为有用 功率）与视在功率之比

49、称 为功率因子pf，即,BUPT Press,8.4 功率因数的改善,从功率因数定义中可知，功率因数是电路消耗的有功功率与输入到电路的视在功率之比。要想使电源设备，如发电机，变压器等提供容量（视在功率）尽量的转换为负载的有效功率就要改善负载电路的功率因数。对纯电阻的负载电路的功率因数为1称为单位功率因数，改善功率因数就是在负载两端加一个元件，使之接近单位功率因数。,BUPT Press,例：,图8.5（a）所示电路是日光灯工作电路的简化模型，其中R是日光灯管的理想模型， 两端工作电压为110V，功率为40W。电源是220V， 50Hz的正弦波。 求：（1）保证日光灯正常工作情况下的图8.5（a

50、）所示电路的 功率因数 （2）可用图8.5（b）所示电路来改善功率因数，为使电路 功率因数为1，应配电容的容量。,BUPT Press,解：（1）根据日光灯瓦数及工作电压，可以求出电路图8.5（a） 的工作电流。 （有效值） 这个电路的负载为R,L串联的感性负载，其功率因数 （2）电路中电压 超前电流 相位角为 。我们在两端并 联一个补偿电容C，电容的电流 超前 相角为 ， 调整电容大小改变 的大小，使 与 和电源电流 与 同相，如图8.5（c）所示，则电路的功率因数为1。,BUPT Press,由8.5（c）所示的相量图可得 因为 所以 电路的视在功率 可见电路的功率因数为1时，电源供出的视

51、在功率将全部为有用功率。,BUPT Press,8.5 最大功率传输,具有开路电压 ，内阻抗为 的等效电源，向负载提供平均功率 ，当 等于 的共轭复数时为最大值。 即： 负载能获得的最大功率为 一般传输效率为 可见当负载获得最大功率时， ，有一半功率消耗再电源内阻上了。所以对于动力电源供电系统不能追求最大功率，而是追求高效率。,BUPT Press,第九章 频率响应,9.1 频率响应 9.2 简单RC电路的频率响应 9.3 RC选频电路 9.4 RC有源电路频率特性分析举例 9.5 串联谐振电路及谐振时的特性 9.6 串联谐振曲线及回路的选择性 9.7 并联谐振及谐振时的特性 9.8 储能元件

52、的品质因数、损耗因数,BUPT Press,9.1 频率响应,线性电路对正弦输入的响应为正弦信号，并具有相同的频率。但输入频率不同正弦的响应信号可能有不同的幅值和相角，所以这种响应是频率的函数，也称为电路的频率特性。一个正弦信号可以用它的幅值和相角表示成相量，则频率响应定义为输出相量与输入相量之比，它一般是j的复函数。 ReH和ImH是H(j)的实部和虚部，|H|和是它的幅值和相位角。,BUPT Press,对于同一个线性电路选择不同输入和输出变量就可以得到不同频率响应,对于图9.1（b）所示的二端口网络，可以定义如下频率响应： 输入阻抗： 输入导纳： 电压传输系数： 电流传输系数： 转移阻抗

53、： 转移导纳：,BUPT Press,9.2 简单RC电路的频率响应,简单RC电路是指由一个电阻和一个电容组成的RC双端口电路，如图9.3所示。 分析图9.3（a）电路不接负载（负载开路）的电压传输系数。不难看出 与 之比是阻抗分压的关系，即 幅频特性： 相频特性：,BUPT Press,特性如图9.4所示。 从9.4（a）幅频特 性看出，这种电路 对高频成分进行了 削弱，而保留了低频成分。 对于这种能削弱一部分频率 成分而保留一部分频率成分的特性都可以称为滤波特性。根据削弱和保留频率范围的不同，可将具有滤波特性电路分为以下几类： 低通电路：削弱高频成分保留低频成分； 高通电路：削弱低频成分保留高频成分； 带通电路：保留中间某一段频率成分，削弱高出和低于该中间段以 外的频率成分； 带阻电路：削弱中间某一段频率成分，保留该中间段以外的频率 成分。,BUPT Press,由此可见图9.3（a）是低通电路，对于图9.3（b）电路，用同样方法分析出是高通电路。 对于理想滤波电路，其通带内所有频率成分相对幅值无改变地通过，而通带以外的频率成分全部被阻止。理想的相频特性在通带应具线性特性。以低通电路为