解三角形应用举例

1、1.2.应用举例,正弦定理,余弦定理,（R为三角形的外接圆半径）,三角形边与角的关系：,2、 大角对大边，小角对小边 。,利用余弦定理判定三角形形状,三角形的面积公式,复习. 下列解ABC问题, 分别属于那种类型？根据哪个定理可以先求什么元素？,第4小题A变更为A=150o呢？_,余弦定理先求出A,或先求出B,正弦定理先求出b,正弦定理先求出B(60o或120o),无解,余弦定理先求出a,斜三角形的解法,用正弦定理求出另一对角,再由A+B+C=180，得出第三角,然后用正弦定理求出第三边。,正弦定理,余弦定理,正弦定理,余弦定理,由A+B+C=180,求出另一角，再用正弦定理求出两边。,用余弦

2、定理求第三边，再用余弦定理求出一角，再由A+B+C=180得出第三角。,用余弦定理求出两角，再由A+B+C=180得出第三角。,一边和两角 (ASA或AAS),两边和夹角(SAS),三边(SSS),两边和其中一 边的对角(SSA),例1. A、B两点在河的两岸(B点不可到达)，要测量 这两点之间的距离。（备用工具：皮尺、测角仪）,测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC51o， ACB75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m).,分析：所求的边AB的对角是已知的,又知三角形的一边AC,根据三角形内角和定理可计算出边AC的对角,根据正弦定理,可以计算出边AB

3、.,你能根据所学知识设计一种测量方案吗?,应用一：测量距离问题,解：根据正弦定理，得,答：A、B两点间的距离约为65.7米。,变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？,例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达）， 设计一种测量两点间的距离的方法。,分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。,D,解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得BCA=, ACD=, CDB=, BD

4、A=.,计算出AC和BC后，再在 ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离,在 ADC和 BDC中，应用正弦定理得,A,B,C,D,30,45,30,60,分析： 在ABD中求AB 在ABC中求AB,变式练习：,1、分析：理解题意，画出示意图,2、建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中,3、求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这些三角形，求得数学模型的解。,4、检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。,解斜三角形应用题的一般步骤是：,课堂小结：通过本节课，你有什么收获？,解决有关三角形应用性问题的思路、 步骤和方法,实际问题,抽象概括 画示意图,建立数学模型,推理

5、演算,数学模型的解,实际问题 的 解,检验作答,还原说明,练习、自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为620，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）,（1）什么是最大仰角？,（2）例题中涉及一个怎样的三角 形？,在ABC中已知什么，要求什么？,练习自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为620，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.

6、01m）,已知ABC中AB1.95m，AC1.40m， 夹角CAB6620，求BC,解：由余弦定理，得,答：顶杆BC约长1.89m。,应用二：测量高度问题,（1）底部不可以到达,练习,用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方的上,分别测得气球的仰角是和,已知BD=a,测角仪的高度是b，求气球的高度。,答案 ：,（2）底部可以到达,应用二：测量高度问题,例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角8，求此山的高度CD.,分析：要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形

7、的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出BC的长。,分析：要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出BC的长。,例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角8，求此山的高度CD.,解：在ABC中，A=15, C=25-15=10. 根据正弦定理，,CD=BCtanDBCBCtan81047(m),答：山的高度约为1047米。,应用三：测量角度问题,答：此船应该沿北偏东560的方向航行，需要航行113.15 n mile.,应用四：有关三角形计算,例8: 如图,在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边分别为68m, 88m, 127m, 这个区域的面积是多少？（精确到0.1m2）,解：设a=68m , b=88m, c=127m, 根据余弦定理可得：,答：这个区域的面