《随机过程与排队论》知识点复习

1、随机过程与排队论,email：guxf tel:2020年7月3日星期五,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,1402,教学内容,概率论的基本知识 随机过程的基本概念 随机过程的定义及分类 随机过程的分布及数字特征 独立过程与独立增量过程 泊松过程 更新过程,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,1403,教学内容,马尔可夫过程 马尔可夫过程的概念 离散参数马氏链 齐次马氏链状态的分类 连续参数马氏链 生灭过程,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,1404,教学内容,排队系统概述 m/m/1/排队 m/m/排队系统 m/m/c/排队系

2、统 m/m/c/k混合制排队系统 m/m/c/m/m系统及损失制系统 有备用品的m/m/c/m+k/m系统 一般服务的m/g/1/排队系统,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,1405,一、概率论的基本知识,概率空间及其基本概念,随机试验、样本点、样本空间、随机事件体 随机事件、基本事件和可测空间 概率、概率空间、概率的性质 条件概率、乘法公式、事件的独立性、全概率公式与贝叶斯公式,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,1406,1、条件概率空间,设概率空间(,f,p)，af，bf，且p(a)0，在事件a已经发生的条件下，事件b发生的条件概率定义为：,给定概率空间(,f,

3、p)，af，且p(b)0，对任意bf有p(b|a)对应，则条件概率p(b|a)是(,f)上的概率，记p(b|a)pa，则(,f,pa)也是一个概率空间，称为条件概率空间。,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,1407,2、乘法公式,设概率空间(,f,p)，如果a,bf，且p(ab)0，则下述乘法公式成立： p(ab)p(a)p(b|a)p(b)p(a|b),推广：,设概率空间(,f,p)，如果aif，i=1,2,n且p(a1a2an)0，则下述推广的乘法公式成立： p(a1a2an) p(a1)p(a2|a1)p(a3|a1a2)p(an|a1a2an-1),2020/7/3,计算

4、机科学与工程学院 顾小丰,1408,3、全概率公式与贝叶斯公式,设事件组b1,b2,bn两两互不相容，即bibj (1ijn)，且 ，p(bi)0，i=1,2,n，则对任意事件a，有,全概率公式：,贝叶斯公式：,j=1,2,n。,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,1409,4、随机变量及其分布,一、随机变量 设(,f,p)为概率空间，如果定义样本空间上的一个单值实函数xx()，满足 ：x()xf -x+ 则称x()为随机变量。随机变量缩写为r.v.。,二、分布函数 设xx()是概率空间(,f,p)上的随机变量，对任意实数x，定义函数 f(x)pxx -x0）的k阶爱尔朗分布，记为

5、xek，其分布函数为,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14016,8、二维随机变量（向量）,如果x和y是定义在同一概率空间(,f,p)上的两个随机变量，则称(x,y)为二维随机变量(向量) ，记为二维r.v.(x,y)。,设(x,y)是二维随机变量，定义函数 f(x,y)pxx,yy， -x+，-y+ 为r.v.(x,y)的二维联合分布函数。,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14017,9、离散型二维随机变量,如果二维若随机变量(x,y)至多只取可列无穷多对数值(xi,yj)，i,j=1,2,，令pijpxxi,yyj，它满足： (1) pij0， (2) 1，

6、 则称(x,y)为离散型二维随机变量。 称 pijpxxi,yyj，i,j=1,2, 为(x,y)的联合分布律。称,为(x,y)的联合分布函数。,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14018,边缘分布律、条件分布律,为r.v.x的边缘分布律。称,为r.v.y的边缘分布律。称,为在已知y=yj的条件下，r.v.x的条件分布律。称,为在已知x=xi的条件下，r.v.y的条件分布律。,如果pijpi. p.j，i,j=1,2,，则称r.v.x与y相互独立,称,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14019,10、连续型二维随机变量,若存在非负可积函数f(x,y)，使得二维r

7、.v.(x,y)的联合分布函数满足：,则称(x,y)为连续型二维随机变量，并称f(x,y)为连续型二维随机变量的联合概率密度函数，简称联合概率密度。,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14020,11、边缘分布函数,设二维r.v.(x,y)的联合分布函数为f(x,y)， fx(x)f(x,+)， -x+ 称为r.v.x的边缘分布函数。 fy(y)f(+,y)， -y+ 称为r.v.y的边缘分布函数。,设二维r.v.(x,y)的联合概率密度为f(x,y)， ， -x+ 称为r.v.x的边缘概率密度函数。 ， -y+ 称为r.v.y的边缘概率密度函数。,2020/7/3,计算机科学与

8、工程学院 顾小丰,14021,12、条件概率密度与条件分布函数,fy|x(y|x)f(x,y)fx(x)，-x+,-y+ 称为已知x=x的条件下，r.v.y的条件概率密度。 fx|y(x|y)f(x,y)fy(y)，-x+,-y+ 称为已知y=y的条件下，r.v.x的条件概率密度。,称为已知x=x的条件下，r.v.y的条件分布函数。,称为已知y=y的条件下，r.v.x的条件分布函数。,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14022,13 随机变量的数字特征,1）数学期望,若离散型r.v.x的分布律为pkpx=xk，k=1,2,，当 时，称,为r.v.x的数学期望(均值),若连续型r

9、.v.x的概率密度函数为f(x),x(-,+)，当 时，称,为r.v.x的数学期望(均值),2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14023,2）方差,设x是随机变量，若ex-e(x)2存在，称 d(x)ex-e(x)2 为r.v.x的方差(或记为var(x)，称 为r.v.x的均方差或标准差。,事实上有： d(x)ex-e(x)2 e(x22xe(x) e2(x) e(x2)-e2(x),2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14024,3）常见随机变量的数学期望和方差,泊松分布x()：e(x)d(x)； (负)指数分布：e(x)1/，d(x)1/2； 正态分布xn(,2

10、)：e(x)，d(x)2； 爱尔朗分布xek：e(x)k/，d(x)k/2。,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14025,3）k阶矩,设r.v.x有e(|x|k)+，e|x-e(x)|k +，则 称ke(xk)为x的k阶原点矩； 称ke(|x|k)为x的k阶绝对矩； 称kex-e(x)k为x的k阶中心矩； 称ke|x-e(x)|k为x的k阶绝对中心矩。,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14026,4）协方差,若ex-e(x)y-e(y)，称 cov(x,y)ex-e(x)y-e(y) e(xy)-e(x)e(y) 为随机变量x和y的协方差，称,为随机变量x和y的

11、相关系数，称 xy0 为随机变量x和y不相关。,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14027,5）协方差矩阵,设n维r.v.(x1,x2,xn)，若 cijcov(xi,xj)exi-e(xi)xj-e(xj) i,j1,2,n存在，则称,为n维随机变量(x1,x2,xn)的协方差矩阵。,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14028,6）特征函数,随机变量x的特征函数定义为 x(u)=e(eiux)，i,当r.v.x为离散型随机变量时，,当r.v.x为连续型随机变量时，,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14029,二、随机过程的基本概念,1、随机过程

12、 设(,f,p)是一个概率空间，t是一个参数集(tr)，x(t,)，tt，是t上的二元函数，如果对于每一个tt，x(t,)是(,f,p)上的随机变量，则称随机变量族x(t,)，tt为定义在(,f,p)上的随机过程(或随机函数)。简记为x(t)，tt，其中t称为参数，t称为参数集。,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14030,2、样本函数与状态空间,随机过程x(t,)是定义在t上的二元函数：一方面，当tt固定时，x(t,)是定义在上的随机变量；另一方面，当固定时，x(t,)是定义在t上的函数，称为随机过程的样本函数。 随机过程在时刻t所取的值x(t)=x称为时刻t时随机过程x(t

13、),tt处于状态x，随机过程x(t),tt所有状态构成的集合称为状态空间，记为e，即： ex：x(t)=x,tt,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14031,3、随机过程的分类,按状态空间和参数集分类,按概率分布规律分类,独立过程 独立增量过程 正态过程 泊松过程,维纳过程 平稳过程 马尔可夫过程 ,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14032,4、随机过程的分布,设x(t),tt是一个随机过程，对于每一个tt，x(t)是一个随机变量，它的分布函数 f(t,x)px(t)x，tt，xr=(-,+) 称为随机过程x(t),tt的一维分布函数。,如果对于每一个tt，随

14、机变量x(t)是连续型随机变量，存在非负可积函数f(t,x)，使得,则称f(t,x)，tt,xr为随机过程x(t),tt的一维概率密度(函数)。此时 f(t,x)fx(t,x)，tt，xr,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14033,二维分布函数,设x(t),tt是一个随机过程，对任意s,tt，(x(s),x(t)是一个二维随机变量，它的联合分布函数 f(s,t;x,y)px(s)x,x(t)y， tt，xr 称为随机过程x(t),tt的二维分布函数。,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14034,二维概率密度,如果(x(s),x(t)是连续型二维随机变量，存在非

15、负可积函数f(s,t;x,y)，使得,成立，则称f(s,t;x,y)，s,tt，x,yr为随机过程x(t),tt的二维概率密度(函数)。此时,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14035,5、随机过程的数字特征,给定随机过程x(t),tt，称 m(t)ex(t)，tt 为随机过程x(t),tt的均值函数(数学期望)。,若x(t),tt的状态空间是离散的，则x(t),tt是离散型随机变量，x(t)的概率分布为pk(t)px(t)=xk，k=1,2,，则,若x(t),tt的状态空间是连续的，则x(t),tt是连续型随机变量，x(t)的一维概率密度为f(t,x)为，则,2020/7/3

16、,计算机科学与工程学院 顾小丰,14036,方差函数,给定随机过程x(t),tt，称 d(t)dx(t)ex(t)m(t)2，tt 为随机过程x(t),tt的方差函数。显然， d(t)ex(t)m(t)2ex2(t)m2(t)。 称 为随机过程x(t),tt的均方差函数(标准方差函数)。,若x(t),tt是离散型随机变量，x(t)的概率分布为pk(t)px(t)=xk，k=1,2,，则,若x(t),tt是连续型随机变量，x(t)的一维概率密度为f(t,x)为，则,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14037,协方差函数和相关函数,给定随机过程x(t),tt，称 c(s,t)cov

17、(x(s),x(t)ex(s)m(s)x(t)m(t) 为随机过程x(t),tt的协方差函数。显然， c(s,t)ex(s)x(t)m(s)m(t)， c(t,t)d(t)ex(t)m(t)2。,给定随机过程x(t),tt，称 r(s,t)ex(s)x(t) 为随机过程x(t),tt的相关函数。显然， c(s,t)r(s,t)m(s)m(t)，r(s,t)c(s,t)m(s)m(t),给定随机过程x(t),tt，称,为随机过程x(t),tt的相关系数。,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14038,6、重要随机过程,1）独立过程,给定随机过程x(t),tt，如果对任意正整数n及任

18、意t1,t2,tnt，随机变量x(t1),x(t2),x(tn)相互独立，则称随机过程x(t),tt为独立过程。 特别，如果x(n),n=1,2,3,是相互独立的随机变量，则称x(n),n=1,2,3,为独立随机序列。,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14039,2）独立增量过程,设随机过程 x(t),tt，t0,+)， 如果对任意正整数n2，t1,t2,tnt且t1t20，w(t)n(0,2t)，(0) 则称随机过程w(t),t0是参数为2的维纳过 程(或布朗运动)。,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14045,维纳过程的概率分布及数字特征,一维概率密度函数

19、一维特征函数 增量分布 协方差函数,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14046,维纳过程的二维概率分布,均值函数向量 二阶协方差矩阵 二维概率分布 二维概率密度函数 二维特征函数,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14047,维纳过程的性质,维纳过程是平稳独立增量过程。 维纳过程是正态过程。 维纳过程是马尔可夫过程。,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14048,6）泊松过程,如果取非负整数值的计数过程n(t),t0满足： n(0)0； 具有独立增量； 对任意0s0,n(t)(t), pn(t)=k,均值函数 m(t)en(t)t； 方差函数 d(t

20、)dn(t)t。 一维特征函数,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14051,泊松过程的概率分布和数字特征,二维概率分布,pn(s)=j, n(t)=k pn(s)=j,n(t)-n(s)=k-j,ts,pn(s)=jpn(t-s)=k-j,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14052,泊松过程的概率分布和数字特征,协方差函数和相关函数 协方差函数 c(s,t)min(s,t)， 相关函数 r(s,t)min(s,t)2st。,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14053,泊松过程的性质,泊松过程是平稳独立增量过程；,设n(t),t0是参数为的泊松过程

21、，tn,n=1,2, 为点间间距序列，则tn,n=1,2,是相互独立同分 布的随机变量，且都服从参数为的(负)指数分布。,设n(t),t0是参数为的泊松过程，n,n=1,2, 为等待时间序列，则 n(n,)，即概率密度 为：,即n阶爱而朗分布。,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14054,7、马尔可夫过程,定义1 给定随机过程x(t),tt，如果对于参数中任意n个时刻ti,i=1,2,n，t1t2tn有,px(tn)xn|x(t1)=x1,x(t2)=x2,x(tn-1)=xn-1 px(tn)0，则此链是遍历的，且极限分布等于平稳分布。,首返概率,平均返 回时间,周期,以三个

22、层次区分状态类型,状态,非常返态,常返态,零常返态,正常返态,有周期,非周期,遍历态,4）齐次马氏链状态的分类,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14066,5）连续参数马尔可夫链,设随机过程x(t),t0，状态空间e=0,1,2,。若对于0t1t2 0，则此齐次马氏链x(t),t0为遍历的齐次马氏链。 即,存在且与i无关，并且极限分布j,je是唯一的平稳分布：,对固定的i,j，函数pij(t)是t0的一致连续函数。,满足连续性条件的连续参数齐次马氏链x(t),t0存在下列极限,其中qi表示在时刻t时通过状态i的通过速度(或通过强度)；qij表示时刻t时从状态i转移到状态j的速度

23、(或强度)，qij统称转移速度。,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14071,转移概率函数的性质(续2),设齐次马氏链x(t),t0，状态空间e=0,1,2,s，其转移速度,设x(t),t0为连续参数齐次马氏链，当qi0，,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14079,有限状态生灭过程的平稳分布,有限状态e=0,1,2,n的生灭过程x(t),t0是遍历的齐次连续参数马氏链。生灭过程存在极限分布即为平稳分布j,je。 q0 即,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14080,有限状态生灭过程的平稳分布的解,解得生灭过程x(t),t0，e=0,1,2,n的

24、平稳分布j,je为：,当0 1 n-1 ，1 2 n 时，有,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14081,无限状态生灭过程的平稳分布,无限状态e=0,1,2,的生灭过程x(t),t0若满足,是遍历的齐次连续参数马氏链。生灭过程存在极限分布即为平稳分布j,je。 q0 即,及,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14082,无限状态生灭过程的平稳分布的解,解得生灭过程x(t),t0，e=0,1,2,的平稳分布j,je为：,特别，当0 1 =2 ，1 2 3 时，只要/1，则j,je存在，且有,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14083,等待时间：顾客进

25、入系统的时刻起到开始接受服务止这段时间 逗留时间：顾客在系统中的等待时间与服务时间之和,三、 排队论,队长：系统中的顾客数(包括正在接受服务的顾客) 等待队长：系统中的排队等待的顾客数,它们都是随机变量，是顾客和服务机构双方都十分关心的数量指标，应确定它们的分布及有关矩。,系统的忙期：从顾客到达空闲的系统，服务立即开始，直到系统再次变为空闲的这段系统连续繁忙的时间 系统的闲期：系统连续保持空闲的时间 忙期循环：相邻两次忙期开始的时间间隔,输出过程：也称离去过程，指接受服务完毕的顾客相继离开系统的过程。,在假定到达与服务是彼此独立的条件下，等待时间与服务时间是相互独立的。它们是顾客最关心的数量指

26、标，应用中关心的是统计平衡下它们的分布及期望值。,忙期反映了系统中服务员的工作强度。在排队系统中，统计平衡下忙期与闲期是交替出现的。,刻画输出过程的主要指标是相继离去的间隔时间和在一段已知时间内离去顾客的数目，这些指标从一个侧面反映了系统的工作效率。,。,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14084,1、m/m/1/,问题的叙述 顾客到达为参数(0)的泊松过程，即相继到达的间隔时间序列n，n1独立、服从参数为(0)的负指数分布f(t)1-e-t，t0； 顾客所需的服务时间序列n,n1独立、服从参数为(0)的负指数分布g(t)1-e-t，t0； 系统中只有一个服务台； 容量为无穷大

27、，而且到达过程与服务过程彼此独立。,输入过程,服务时间，排队,服务机构,系统容量,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14085,1) 队长,n(t)，t0是可列无限状态e0,1,2,上的生灭过程，其参数为,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14086,1) 队长（续）,在统计平衡的条件下(0)的负指数分布； 系统中只有一个服务台； 容量为无穷大，而且到达过程与服务过程彼此独立。,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14092,1）队长,我们仍用n(t)表示在时刻t系统中的顾客数，令,pij(t)pn(t+t)j|n(t)i，i,j0,1,2,于是，n(t

28、)，t0是e0,1,2,上的生灭过程，其参数为,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14093,1）队长（续）,定理 令pj ，j=0,1,2,，则对一切 ，,pj，j0存在，与初始条件无关，且,构成参数为的泊松概率分布。,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14094,1）队长（续）,在统计平衡的条件下，有,平均队长,平均等待队长,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14095,2）等待时间与逗留时间,定理 在统计平衡下，进入系统接受服务的顾客的等待时间分布函数为： wq(t)pwqt,平均等待时间为：,平均逗留时间为,2020/7/3,计算机科学与工程学

29、院 顾小丰,14096,3、具有可变服务率的m/m/1/,顾客到达为参数(0)的泊松过程 ； 顾客所需的服务时间序列n,n1独立、服从负指数分布，具有两个服务率1、2(012)，当队长m（m是一个固定的正整数）时，服务员用速率1工作，当队长m时，服务员用速率2工作； 系统中只有一个服务台； 容量为无穷大，而且到达过程与服务过程彼此独立。,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14097,1）队长,用n(t)表示在时刻t系统中的顾客数，令,pij(t)pn(t+t)j|n(t)i,i,j0,1,2,于是，n(t)，t0是e0,1,2,上的生灭过程，其参数为,2020/7/3,计算机科学

30、与工程学院 顾小丰,14098,1）队长（续）,令,当21时，pj0，j=01,2, 当21时，pj，j0存在，与初始条件无关，且,，则,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14099,1）队长（续）,在统计平衡的条件下，有,平均队长为,平均等待队长为,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,140100,2）等待时间与逗留时间,在统计平衡下，有 pj+pj，j=0,1,2,顾客在系统中的平均逗留时间为,顾客在系统中的平均等待时间为（由little公式）,顾客在系统中接受的平均服务时间为,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,140101,4、m/m/排队系统,顾

31、客到达为参数(0)的泊松过程 ； 顾客所需的服务时间序列n,n1独立、服从参数为(0)的负指数分布； 系统中有无穷多（足够多）服务台，每个服务台是并行独立进行服务的。,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,140102,1）队长,于是，n(t),t0是可列无限状态e0,1,2,上的生灭过程，其参数为,我们用n(t)表示在时刻t系统中的顾客数，,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,140103,1）队长（续）,令 ，pj(t)pn(t)=j，pj ，j0， 则,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,140104,1）队长（续）,对于m/m/排队系统，因为有足够多的

32、服务台，所以,平均队长,平均等待队长,平均等待时间,逗留时间服务时间,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,140105,5、m/m/c/排队系统,顾客到达为参数(0)的泊松过程 ； 顾客所需的服务时间序列n,n1独立、服从参数为(0)的负指数分布； 系统中有c(c1)个服务台独立并行服务； 系统容量为无穷大，而且到达与服务是彼此独立的。,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,140106,1）队长,我们用n(t)表示在时刻t系统中的顾客数，令,pij(t)pn(t+t)j|n(t)i，i,j0,1,2,于是，n(t)，t0是可列无限状态e0,1,2,上的生灭过程，其参数为

33、,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,140107,1）队长（续）,令 ，c ，pj pn(t)=j，j0，,则当ct)e-t，t0； m台机器各自独立运转，一旦发生故障，有空闲的工人立即对其进行修理，每个工人对每台发生故障的机器的修理时间均服从参数为(0)的负指数分布； 当c个维修工人都忙于维修故障的机器时，发生故障的机器不是等待维修，而是立刻送到其它地方去修理，或者停产大修； 每台机器的运转相互独立，修理与运转相互独立，每个工人之间的修理也相互独立。,如果没有空闲的工人，发生故障的机器就等待修理，直到有空闲的工人为止；,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,14012

34、5,1）故障的机器数,假定n(t)表示在时刻t发生故障的机器数，令,pij(t)pn(t+t)j|n(t)i，i,j0,1,2,于是，n(t)，t0是有限状态空间e0,1,2,c上的生灭过程，而且顾客源是有限的，其参数为,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,140126,1）故障的机器数（续）,令pj ，j=0,1,2,c，则对任意 ，,pj， 0jc存在，且,上述分布pj，0jc称为恩格塞特(engset)分布，而,称为恩格塞特损失公式，这是损失的概率。,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,140127,1）故障的机器数（续）,当m=c时，即m台机器m个维修工人，我们

35、有,此时，平均发生故障的机器数为,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,140128,9、 有备用品的m/m/c/m+k/m系统,问题的叙述 m台机器正常工作，另有k台机器备用，有c个维修工人。当运转的机器发生故障时，发生故障的机器立刻由维修工去修理，修好后转入备用； 处于正常运转的机器不足m台时，只好缺额生产； 每台机器的寿命，即连续正常运转时间均服从参数(0)的负指数分布，即p(t)e-t，t0； m台机器各自独立运转，一旦发生故障，有空闲的工人立即对其进行修理，每个工人对每台发生故障的机器的修理时间均服从参数为(0)的负指数分布； 每台机器的运转相互独立，修理与运转相互独立，每个工人之间的修理也相互独立。,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,140129,1）故障的机器数,假定n(t)表示在时刻t发生故障的机器数，令,pij(t)pn(t+t)j|n(t)i，i,j0,1,2, 1)当ck，即维修工人数小于等于备用机器台数时，有,2020/7/3,计算机科学与工程学院 顾小丰,140130,1）故障的机器数(续),间e0