直线与抛物线的位置关系中点弦问题

1、抛物线的简单几何性质(2),2020年7月3日星期五,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,关于x轴对称,关于x轴对称,关于y轴对称,关于y轴对称,（0,0）,（0,0）,（0,0）,（0,0）,复习回顾：,直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系的判断方法：,1、根据几何图形判断的直接判断,2、直线与圆锥曲线的公共点的个数,形,判断直线与双曲线位置关系的操作程序,把直线方程代入双曲线方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直线与双曲线的 渐进线平行,相交（一个交点）,计 算 判 别 式,F,x,y,问题：你能说出直线与抛

2、物线位置关系吗？,二、讲授新课：,判断直线与抛物线位置关系的操作程序：,把直线方程代入抛物线方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直线与抛物线的 对称轴平行,相交（一个交点）,计 算 判 别 式,总结：,例1、已知直线l：yx1和抛物线 C：y24x，设直线与抛物线的交点为 A、B，求AB的长.,三、例题选讲：,例2、已知抛物线C：y24x，设直线与抛物线两交点为A、B，且线段AB中点为M（2，1），求直线l的方程.,中点弦问题的解决方法： 联立直线方程与曲线方程求解 点差法,1、求过定点（0，2），且与抛物线y24x相切的直线方程.,说明：（1）联立方程组，结合判别式求解 （2）注意斜率

3、不存在的情形,练习：,1、在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线：4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离.,巩固与练习：,2）抛物线 上的点到直线 的距离的最小值是（ ）,2、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值.,F,A,B,M,解：,解法二：,F,A,B,M,2、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值.,3、已知抛物线y2=2x,过Q(2,1)作直线与抛物线交于A、B，求AB中点的轨迹方程.,解：,焦点F(0,1/4a),准线y=-1/4a,设P(x1,y1),Q(x2,y2), 直线PQ:x=ky+k/4a 由抛物线第二定义, p=

4、PF=y1+1/4a, q=PF2=y2+1/4a 联立y=ax2,x=ky+k/4a, 得16a2k2y2+(8ak2-16a)y+k2=0 y1+y2=(16a-8ak2)/16a2k2=(2-k2)/2ak2, y1y2=k2/16a2k2=1/16a2 1/p+1/q=1/(y1+1/4a)+1/(y2+1/4a)=(y1+y2)+1/2a/y1y2+(y1+y2)/4a+1/16a2 =(2-k2)/2ak2+1/2a/1/16a2+(2-k2)/2ak2/4a+1/16a2(同乘8a2k2) =4a(2-k2)+4ak2/k2+2-k2=8a/2=4a,6、已知直线l：x=2p与抛物线 =2px(p0)交于A、B两点， 求证：OAOB.,证明：由题意得，A(2p,2p),B(2p,-2p) 所以 =1， =-1 因此OAOB,变式1: 若直线l过定点(2p,0)且与抛物线 =2px(p0)交于A、B两点，求证：OAOB.,变式2： 若直线l与抛物线 =2px(p0)交于A、B两点， 且OAOB ，则_ _.,直线l过定点(2p,0),高考链接：过定点Q（2p