电子测量与智能仪器2――测量误差分析与数据处理

1、2010年3月,温州大学瓯江学院,电子测量与智能仪器,第二章 测量误差分析与数据处理,第2章 测量误差分析与数据处理,2.1 测量误差的基本原理 2.1.1 研究误差的目的 2.1.2 测量误差的表示方法 2.1.3 电子测量仪器误差的表示方法 2.1.4 一次直接测量时最大误差的估计 2.2 测量误差的分类 2.2.1 误差的来源 2.2.2 测量误差的分类 2.2.3 测量结果的评比 作业布置1,2.3 随机误差的统计特性及其估算方法 2.3.1 测量值的数学期望与标准差 2.3.2 贝塞尔公式及其应用 2.3.3 均匀颁布情况下的标准差 2.3.4 非等精密度测量 2.4 系统误差的特征

2、及其减小的方法 2.4.1 系统误差的特征 2.4.2 判断系统误差的方法 2.4.3 减小系统误差的方法,2.5 疏失误差及判断准则 2.5.1 测量结果的置信问题 2.5.2 不确定度与坏值的剔除准则 2.6 测量数据的处理 2.6.1 数据舍入规则 2.6.2 等精密度测量结果的处理步骤 2.6.3 曲线修匀 2.6.4 最小二乘法原理 2.6.5 测量不确定度,2.7 误差的合成与分配 2.7.1 误差传递公式 2.7.2 常用函数的合成误差 2.7.3 系统误差的合成 2.7.4 按系统误差相同的原则分配误差 2.7.5 按对总误差影响相同的原则分配误差 2.7.6 微小误差准则 2

3、.8 最佳测量条件的确定与测量方案的设计 2.8.1 最佳测量条件的确定 2.8.2 测量方案设计,2.1 测量误差的基本原理,2.1.1 研究误差的目的 研究误差的目的，归纳起来可有以下几个方面： 正确认识误差的性质和来源，以减小测量误差。 正确处理测量数据，以得到接近真值的结果。 合理地制订测量方案，组织科学实验，正确地选择测量方法和测量仪器，以便在条件允许的情况下得到理想的测量结果。 设计仪器时，需要用误差理论进行分析并适当控制这些误差因素，使仪器的测量准确程度达到设计要求。,2.1.2 测量误差的表示方法,1、测量误差的分类 测量误差按表示方法分，有绝对误差和相对误差；当用于表示测量仪

4、器时还有“引用误差”。 按误差的来源分，有器具误差、人身误差、影响误差及方法误差等。 按误差的性质分，有系统误差、随机（偶然）误差和疏失（粗大）误差。,2、绝对误差 （1）定义 由测量所得到的被测量值x与其真值A0的差，称为绝对误差。 x=x-A0 x是具有大小、正负和量纲的数值。它的大小和符号分别表示测得值偏离真值的程度和方向。,例：一个被测电压，其真值U0为100V，用一只电压表测量，其指示值U为101V，则绝对误差 U=U-U0=101-100=1V 为了区别起见，称满足规定标准度的用来代替真值使用的量值为实际值，用A表示。这时绝对误差写成 x=x-A 这是通常使用的表达式,（2）修正值

5、（校正值） 与绝对误差的绝对值大小相等，但符号相反的量值称为修正值，用C表示 C=-x=A-x 在测量时，利用测得值与已知的修正值相加，即可算出被测量的实际值。 A=x+C,例2.1.2 一台晶体管毫伏表的10mV挡，当用其进行测量时，示值为8mV，在检定时8mV处的修正值是-0.03mV，则被测电压的实际值为 U=8+（-0.03）=7.97(mV),说明有误差的测得值加上修正值后就可以减小误差影响。,注意：利用修正值，应在仪器的检定 有效期内，否则要重新检定。 必须指出：修正值本身也有误差，修 正后的数据只是比较接近 实际值而已。 一般规定：绝对误差和修正值的量纲 必须与测得值一致。,绝对

6、误差虽然可以说明测得值偏离实际值的程度，但不能说明测量的准确程度。 例2.1.3 测量两个电压，其实际值为U1=100V，U2=5V；而测得值分别为101V和6V。则绝对误差为 U1=101-100=1V U2=6-5=1V,3、相对误差 （1）定义 测量的绝对误差与被测量的真值之比（用百分数表示），称为相对误差用0表示。,一般情况下，可用绝对误差与实际值之比表示相对误差（有必要区分时称为实际相对误差），用A表示,例：,用相对误差可以恰当地表征测量的准确程度。,相对误差是一个只有大小和符号，而没有量纲的数值。,在误差较小或要求不太严格的场合，也可以用仪器的测得值代替实际值。这时的相对误差称为示

7、值相对误差，用x表示。 式中，x由所用仪器的准确度等级定出。由于x中含有误差，所以x只适用于近似测量。,（2）分贝误差 用对数形式表示的误差称为分贝误差，常用于表示增益或声强等传输函数的值。 例：电压增益的分贝值：,又因为,则,所以,令,例2.1.4 测量一个放大器，已知Ui=1.2mV，Uo=6000mV。设Ui的误差忽略不计，而Uo的测量误差u为3%时，求放大倍数的绝对误差A、相对误差x及分贝误差dB,测得值的相对误差愈小，表示它的准确度愈高。所以评价测量水平时应当用相对误差来比较，它是误差计算中最常用的一种表达形式。,当表示增益时 dB=10lg(1+p)dB,2.1.3 电子测量仪器误

8、差的表示方法,工作误差 是在额定条件下测定的仪器误差极限。即来自仪器外部的各种影响量（例如温度、湿度、大气压力、供电电源等）和影响特性（仪器的一个工作特性的变化对另一个工作特性的影响，如低频信号发生器的频率变化对输出电压的影响）为任意可能的组合时，仪器的工作误差可能达到的最大极限值。 优点：对使用者非常方便，可以利用工作误差直 接估计测量结果误差的最大范围。 缺点：是在最不利的条件下给出的，而实际使用 中构成最不利组合的可能性很小。因此用 仪器的工作误差来估计测量结果的误差会 偏大。,固有误差 是当仪器的各种影响量与影响特性处于基准条件时，仪器所具有的误差。 这种误差指标能够更准确地反映仪器所

9、固有的性能，便于在相同条件下对同类仪器进行比较的校准。,3、影响误差 是当一个影响量在其额定使用范围内（或一个影响特性在其有效范围内）取任一值，而其他影响量和影响特性均处于基准条件下所得的误差。 只有当某一影响量在工作误差中起重要作用时才给出，它是一种误差极限。,4、稳定误差 稳定误差是仪器的标称值在其他影响量及影响特性保持恒定的情况下，于规定时间内所产生的误差极限。 习惯上以相对误差形式或者注明最长连续工作时间。,例：DS-33型交流数字电压表就是用这四种误差标注的。工作误差：50Hz1MHz，10mV1V量程为（1.5%读数 满量程的0.5%）；固有误差：1kHz，1V时为读数的0.4%

10、1个字；温度影响误差：1kHz，1V时温度系数为10-4/oC；频率影响误差：50Hz1MHz为（ 0.5%读数 满量程的0.1%）；稳定误差：在温度-10+40oC，相对湿度80%以下，大气压力86106kPa的环境内，连续工作7小时。,目前还有一些电子测量仪器仍根据1965年制订的无线电测量仪器总技术条件（草案）按使用条件基本误差及附加误差。 （1）基本误差 指仪器在规定的正常工作条件下所具有的误差。与前述固有误差的意义基本相同，但这里所限定的测试条件较宽。 满度相对误差是绝对误差与测量范围上限或量程满度值xm的比值（用百分号表示），即,式中，xm是仪器仪表整个刻度线上出现的最大误差。,m

11、是仪器在正常工作条件下不应超过的最大相对误差。对测量者来说，在没有修正值的情况下，应当认为指针在不同偏转角时的示值误差处处相等，即在一个量程内各处示值的最大绝对误差xm是个常数。一般称此为误差的整量化。 这种误差表示方法比较多地用在电工仪表中，其准确度等级分为0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5，5.0共7级，分别表示它们满度相对误差百分数的分子可能出现的最大数值（指绝对值）。对于电子测量仪器，引用误差的优先数列为1，2，3，5，7。上述等级值通常用S表示。例如，S=1说明仪器的满度相对误差不超过1%。,（2）附加误差 它是指由于仪器超出规定的正常工作条件时所增加的误差 在使用时，除

12、考虑仪器本身的基本误差外，还要加上附加误差。 采用基本误差和附加误差的形式，对使用者来说，掌握各项误差的大小是有利的，但在估计仪器的总误差时要进行误差合成计算。,2.1.4 一次直接测量时最大误差的估计,设在只有基本误差的情况下，仪器仪表的最大绝对误差为 xm=S%xm xm与示值x的比值，即最大的示值相对误差,这个关系可以用下图说明,相对误差与刻度线分度值的关系曲线图,所以，当仪器仪表的准确度给定时，示值愈接近满度值，示值的准确度愈高。,例2.1.5 用MF-20型晶体管万用表交流电压的30V挡，分别测量6V及20V电压，求最大示值相对误差。此表交流电压挡的准确度等级为4级。 例2.1.6

13、被测量的实际值U=10V。现有：150V，0.5级和15V，2.5级两只电压表，问选择哪只表测量误差较小？,所以要合理选择仪器仪表的量程及准确度等级，不能单纯追求仪器仪表的级别,综上所述，仪表准确度的级别对测量结果的影响很大。但一定不要把仪器仪表的准确度等级和测量结果的准确度混为一谈。,2.2 测量误差的分类,2.2.1 误差的来源 1、仪器误差 仪器仪表本身及其附件所引入的误差称为仪器误差。 2、影响误差 由于各种环境因素与要求的条件不一致所造成的误差称为影响误差。 3、方法误差和理论误差 由于测量方法不合理所造成的误差称为方法误差。 用近似公式或近似值计算测量结果时所引起的误差称为理论误差

14、。 4、人身误差 由于测量者的分辨能力、视觉疲劳、固有习惯或缺乏责任心等因素引起的误差称为人身误差。,2.2.2 测量误差的分类,1、系统误差 在相同条件下，多次测量同一个量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差称为系统误差。 系统误差的特点是，测量条件一经确定，误差就为一确切的数值。用多次测量取平均值的方法并不能改变误差的大小。,产生这种误差的原因有： 测量仪器设计原理及制作上的缺陷； 测量时的实际温度、湿度及电源电压等环境条件与仪器要求的条件不一致等； 采用近似的测量方法或近似的计算公式等。 测量人员估计读数时，习惯偏于某一方向或有滞后倾向等原因所引起的误差

15、。,2、随机误差 在相同条件下，多次测量同一个量值时，误差的绝对值和符号均以不可预定方式变化的误差称为随机误差。 这一类误差的特点是，在多次测量中误差绝对值的波动有一定的界限，即具有有界性；正负误差出现的机会相同，即具有对称性。根据上述特点，可以通过对多次测量值取算术平均值的方法来消弱随机误差对测量结果的影响。,产生这种误差的原因 测量仪器中零部件配合的不稳定或有摩擦，仪器内部器件产生噪声等； 温度及电源电压的频繁波动，电磁场干扰，地基振动等； 测量人员感觉器官的无规则变化，读数不稳定等原因所引起的误差均可造成随机误差，使测量值产生上下起伏的变化。,3、疏失误差（粗大误差） 在一定的测量条件下

16、，测量值明显地偏离实际值所形成的误差称为疏失误差。 凡确认含有疏失误差的测量数据称为坏值，应当剔除不用。,产生这种误差的原因有： 一般情况下，它不是仪器本身固有的，主要是测量过程中由于疏忽而造成的。这是产生疏失误差的主观原因。 由于测量条件的突然变化引起仪器示值的改变。这是产生疏失误差的客观原因。,2.2.3 测量结果的评定,为了正确地说明测量结果，通常用准确度、精密度和精确度来评定测量结果，它们的意义如下： （1）准确度 是指测量值与真值的接近程度。反映系统误差的影响，系统误差小则准确度高。 （2）精密度 是指测量值重复一致的程度。精密度用以表示测量值的重复性，反映随机误差的影响。 （3）精

17、确度 反映系统误差和随机误差综合的影响程度。精确度高，说明准确度及精密度都高，意味着系统误差及随机误差都小。,误差来源、分类及测量结果的关系流程图如下,测量误差,仪器,人身,方法,影响,疏失,随机,系统,准确度,可取性,精密度,精确度,测量结果评定,来源,分类,表征,评定,作业布置（P59，习题） 2.1 某电压表的刻度为010V，在5V处的校准值为4.95V，求其绝对误差、修正值、实际相对误差及示值相对误差。若认为此处的绝对误差最大，问该电压表应定为几级？ 2.2 若测量10V左右的电压，手头上有现场电压表，其中一块量程为150V，0.5级；另一块是15V，2.5级。问选用哪一块电压表测量更

18、准确？,2.3 随机误差的统计特性及其估算方法,2.3.1 测量值的数学期望与标准差 1、数学期望 等精度测量：在相同条件下，用相同的仪器和方法，由同一测量者以同样细心的程度进行多次测量，称为等精度测量。 设对某一被测量x进行测量次数为n的等精度测量，得到的测量值xi(i=1,2,n)为随机变量。其算术平均值为,式中， 称为样本平均值。,当测量次数n时，样本平均值 的极限称为测量值的数学期望。,这里的Ex也称为总体平均值,随机误差：,系统误差：,所以绝对误差：,表明：绝对误差等于随机误差和系统误差的代数和,2、算术平均值原理 （1）算术平均值的意义 对于有限次测量，当测量次数足够多时则近似认为

19、,即,由此可知，当=0（且无xk值）时，测量值的数学期望可以视为被测量的相对真值。因此通常把这里经多次等精度测量的算术平均值称为真值的最佳估计值，写为,（2）剩余误差 各次测量值与其算术平均值之差，称为剩余误差（又称残差）。,对剩余误差求和,即当n足够大时剩余误差的代数和为0。 利用这一性质可以检验所计算的算术平均值是否正确。,例2.3.1 用电压表对某一被测电压测量10次，设已消除系统误差及疏失误差，得到数据如表所示（单位：V）,3、方差与标准差 定义：当n时，测量值与期望值之差的平方的统计平均值。,将此式开方，取正平方根，得,上式中，2称为测量值数列的样本方差，称为测量值数列的标准误差或样本标准差，简称标准差。,i取平方的目的是用来描述随机误差的分散程度。求和再平均后，使个别较大的误差在式中占的比例也较大，即标准差对较大的误差反映灵敏，所以它是表征精密度的参数。,2.3.2 贝塞尔公式及其应用,1、随机误差的正态分布 概率论中的中心极限定理说明，假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量之和，其中每一个随机变量对于总和只起微小的作用，则可认为这个随机变量服从正态分布，又称高斯分布。,在i影响下，测量数据xi的分布大多服从正态分布，其分布密度可以写成,（xi）与xi的曲线如图所示：,2、贝塞尔（Bessel）公式 当n为有限次测量时，