离散型随机变量的均值与方差

1、设离散型随机变量可能取的值为,为随机变量的概率分布列，简称为的分布列.,取每一个值的概率则称表,对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握了随机变量取值的统计规律.在实际应用中，我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.,思考一:,某射手射击所得环数的分布列如下：,在100次射击之前,试估计该射手100次射击的平均环数.,分析：平均环数=总环数100,所以,总环数约等于（40.02+50.04+60.06+100.22)100.,故100次射击的平均环数约等于40.02+50.04+60.06+100.22=8.32.,一般地：对任一射手,若已知他的所得

2、环数的分布列，即已知则可以预计他任意n次射击的平均环数是记为,我们称为此射手射击所得环数的期望，它刻划了所得环数随机变量所取的平均值。,思考二:关于平均的意义,1.某商场要将单价分别这18元，24元，36元每公斤的3种糖果按需分3：2：1的比例混合销售，对混合糖果怎样定价才合理?,2.如果混合糖果中每一颗糖果的质量相等,你能解释权数的实际含义吗?,由于平均在每1kg的混合糖果中,3种糖果的质量分别是第一种1/2kg,第二种1/3kg,第三种1/6kg,每公斤这种糖果的价格为:,思考二:关于平均的意义,1.某商场要将单价分别这18元，24元，36元每公斤的3种糖果按需分3：2：1的比例混合销售，

3、对混合糖果怎样定价才合理?,在混合糖果中任取一颗糖果,这颗糖果为第一种糖果的概率为1/2,第二种糖果的概率为1/3,第三种糖果的概率为1/6,每公斤这种糖果的价格为:,2.如果混合糖果中每一颗糖果的质量相等,你能解释权数的实际含义吗?,数学期望的定义:,一般地，随机变量的概率分布列为,则称,为的数学期望或均值，简称为期望.,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.,结论1：则;,结论2：若B(n，p)，则E=np.,所以，的分布列为,结论1：则,E=0Cn0p0qn+1Cn1p1qn-1+2Cn2p2qn-2+kCnkpkqn-k+nCnnpnq0,P(=k)=Cnkpkqn-k,证明：,=np

4、(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=np,(kCnk=nCn-1k-1),结论2：若B(n，p)，则E=np,期望在生活中的应用广泛,见课本第6364页例2.例3,1、随机变量的分布列是,(1)则E=.,2、随机变量的分布列是,2.4,(2)若=2+1，则E=.,5.8,E=7.5,则a=b=.,0.4,0.1,3.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分的期望为,1.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同

5、时取2个，则其中含红球个数的数学期望是.,1.2,2.（1）若E()=4.5,则E()=.（2）E(E)=.,-4.5,0,这是一个特殊的二项分布(两点分布)的随机变量的期望,那么一般地,若B(1，p)，则E=?,P,不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是90分,例2.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选或选错不得分,满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.,思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的均值为

6、90分的含义是什么?,例题3.根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01,该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失60000元,遇到小洪水时要损失10000元,为保护设备,有以下3种方案:方案1.运走设备,搬运费为3800元;方案2.建保护围墙,建设费为2000元,但围墙只能防小洪水方案3.不采取措施,希望洪水不发生.试比较哪一种方案好?并说明理由.,思考1.某商场的促销决策：统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元；如遇下雨可则损失4万元。6月19日气象预报端午节下雨的概率为40%，商场应选择哪种促销方

7、式？,所以商场应选择在商场外进行促销.,思考2.有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1，你赢8元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢这场赌博对你是否有利?,随着赌博场次增加,设赌者盈利.,1、本节课学习了离散型随机变量的期望及公式：（1）E(a+b)=aE+b;（2）若B（n,p），则E=np,2、会根据离散型随机变量的分布列求出期望。,彩球游戏准备一个布袋，内装6个红球与6个白球，除颜色不同外，六个球完全一样，每次从袋中摸6个球，输赢的规则为：,6个全红赢得100元5红1白赢得50元4红2白赢得20元3红3白输100元2红4白赢得20元1红5白赢得50元6个全白赢得100元,你

8、动心了吗?,如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？,已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x1、x2的分布列如下：,试比较两名射手的射击水平.,如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？,显然两名选手的水平是不同的,这里要进一步去分析他们的成绩的稳定性.,方差定义,一组数据的方差：,在一组数：x1,x2,xn中，各数据的平均数为，则这组数据的方差为：,类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差.,离散型随机变量取值的方差和标准差:,它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。,记忆方

9、法:“三个的”,练习一下,练习1.已知随机变量x的分布列,求Dx和x.,解：,2.若随机变量x满足P（xc）1，其中c为常数，求Ex和Dx.,Exc1c,Dx（cc）210,结论1：则;,结论2：若B(n，p)，则E=np.,(1)则,(2)若B(n，p)，则D=?,可以证明,对于方差有下面两个重要性质：,则,特别的是X服从两点分布,则DX=pq,1.已知随机变量x的分布列为则Ex与Dx的值为()(A)0.6和0.7(B)1.7和0.3(C)0.3和0.7(D)1.7和0.212.已知xB(100,0.5),则Ex=_,Dx=_,sx=_.E(2x-1)=_,D(2x-1)=_,s(2x-1)

10、=_,D,50,25,5,99,100,10,3、有一批数量很大的商品，其中次品占1，现从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为X，求EX和DX。,2，1.98,4.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数X的均值,方差和标准差.,3.5,2.92,1.71,再看一例,例2,如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？,已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x1、x2的分布列如下：,试比较两名射手的射击水平.,如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？,如果对手在8环左右,派甲.如果对手在9环左右,派乙.,例题1：甲乙两人每天产量相同，它们的次品个数分别为，其分布列为,判断甲乙两人生产水平的高低？,期望值高，平均值大，水平高方差值小，稳定性高，水平高,E=00.3+10.320.230.2=1.3,E=00.1+10.520.4=1.3,D=(01.3)20.3+(11.3)20.3（21.3）20.2（3-1.3)20.2=1.21,结论：甲乙两人次品个数的平均值相等，但甲的稳定性不如乙，乙的生产水平高。,D=0.41,例2:有甲乙两个单位