函数的对称性

1、函数的对称性,有些函数,其图像有着优美的对称性，,同时又有着优美的对称关系式,1,-3,-1,-2,1,6,5,4,3,2,7,8,（偶函数）,Y=F(x)图像关于直线x=0对称,知识回顾,从”形”的角度看，,从”数”的角度看，,F(-x)=F(x),X,Y,1,-3,-1,-2,1,6,5,4,3,2,7,8,f(x)=,f(4-x),f(1)=,f(0)=,f(-2)=,f(310)=,f(6),f(4-310),0,Y=f(x)图像关于直线x=2对称,f(3),f(4),从”形”的角度看，,从”数”的角度看，,x,y,1,f(1+x)=,f(3-x),f(2+x)=,f(2-x),f(x

2、)=,f(4-x),对于任意的x你还能得到怎样的等式？,从”形”的角度看，,从”数”的角度看，,Y=f(x)图像关于直线x=2对称,1,-3,-1,-2,6,5,4,3,2,7,0,Y,x,1,-3,-1,-2,1,6,5,4,3,2,7,8,x=-1,f(x)=,f(-2-x),思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称,Y,x,1,-3,-1,-2,1,6,5,4,3,2,7,8,x=-1,f(-1+x)=,f(-1-x),思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称,f(x)=,f(-2-x),Y,x,1,猜测：若y=f(x)图像关于直线x=a对称,在y=f(x)图像上任取一点P,点P

3、关于直线x=a的对称点P,则有P的坐标应满足y=f(x),也在f(x)图像上,P(x0,f(x0),P,P(2a-x0,f(x0),f(x0)=f(2a-x0),即：f(x)=f(2a-x),x0,2a-x0,y=f(x)图像关于直线x=a对称,（代数证明）,求证,已知,y=f(x)图像关于直线x=a对称,f(x)=f(2a-x),在y=f(x)图像上任取一点P,若点P关于直线x=a的对称点P,也在f(x)图像上,P(x0,f(x0),P,P(2a-x0,f(x0),f(x0)=f(2a-x0),f(x)=f(2a-x),x0,2a-x0,y=f(x)图像关于直线x=a对称,（代数证明）,已知

4、,求证,y=f(x)图像关于直线x=a对称,则y=f(x)图像关于直线x=a对称,?,f(x)=f(2a-x),P在f(x)的图像上,y=f(x)图像关于直线x=a对称,f(a-x)=f(a+x),y=f(x)图像关于直线x=0对称,特例：a=0,轴对称性,思考？若y=f(x)满足f(a-x)=f(b+x),则函数图像关于对称,F(-x)+F(x)=0,y=F(x)图像关于(0,0)中心对称,中心对称性,类比探究,a,从”形”的角度看，,从”数”的角度看，,F(x)+F(2a-x)=0,x,y,o,a,y=F(x)图像关于(a,0)中心对称,从”形”的角度看，,从”数”的角度看，,中心对称性,

5、类比探究,x,2a-x,F(x)+F(2a-x)=0,F(a-x)+F(a+x)=0,x,y,o,a,从”形”的角度看，,从”数”的角度看，,中心对称性,类比探究,a+x,a-x,y=F(x)图像关于(a,0)中心对称,b,a,F(a+x)+F(a-x)=2b,F(x)+F(2a-x)=2b,b,中心对称性,y=F(x)图像关于(a,b)中心对称,类比探究,x,y,o,思考？,(1)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=0,(2)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=2c,则函数图像关于对称,则函数图像关于对称,知识内容：,函数图像的对称性,对称关系式,y=F(x)图像关于x=

6、a轴对称,F(x)=F(2a-x),F(a-x)=F(a+x),y=F(x)图像关于点(a,b)中心对称,F(x)+F(2a-x)=2b,F(a-x)+F(a+x)=2b,数学思想方法:,1.数形结合,2.由特殊到一般,3.类比思想,知识迁移：,已知对任意x，有f(x+2)=f(-x),当x2,3，y=x,求当x-1,0时，f(x)的解析式？,谢谢!,奇函数,F(-x)=-F(x),即：F(-x)+F(x)=0,函数图像关于(0,0)中心对称,-x,x,F(x)+F(2a-x)=0,F(a-x)+F(a+x)=0,函数图像关于(a,0)中心对称,-x,x,a,函数图像关于(a,0)中心对称,F

7、(a+x)+F(a-x)=0,F(x)+F(2a-x)=0,函数图像关于(a,0)中心对称,函数图像关于直线x=0对称,F(-x)=F(x),函数图像关于直线x=a对称,F(a-x)=F(a+x),x=a,F(x)=F(2a-x),函数图像关于(0,0)中心对称,函数图像关于(a,0)中心对称,F(-x)=-F(x),F(a-x)+F(a+x)=0,F(x)+F(2a-x)=0,轴对称,中心对称性,函数图像关于轴对称,证明：,（必要性）,1,-3,-1,-2,6,5,4,3,2,1,-3,-1,-2,2,1,-3,-1,-2,1,6,5,4,3,2,7,8,思考？若函数图像关于轴对称，,有怎样

8、的对称关系式？,函数y=f(x)图像关于x=a轴对称,证明：,（必要性）,任取y=f(x)图像上一点P(x0,y0),若点P关于直线x=a的对称点P也在f(x)图像上,分析：,P(x0,y0),P,P(2a-x0,y0)代入y=f(x),Y0=f(2a-x0),y=f(x)图像上每一点及其关于x=a对称点都在y=f(x)图像上,则y=f(x)图像上图象关于x=a对称,则由P的任意性可知,？,f(x)=f(2a-x),函数图像关于直线x=0对称,F(-x)=F(x),函数图像关于直线x=a对称,F(a-x)=F(a+x),x=a,F(x)=F(2a-x),函数图像关于(0,0)中心对称,函数图像关于(a,0)中心对称,?,任取y=f(x)图像上一点P(x0,y0),设P是P关于直线x=a的对称点,由f(x)图像关于x=a对称,P也在y=f(x)图像上,P(x0,y0),P,f(2a-x0)=f(x0),即：f(x)=f(2a-x),x0,2a-x0,P(2a-x0,y0),猜测：若f(x)图像关于直线x=a对称,f(x)有怎样的对称关系式？,证明:,y0=f(x0),若P也在f(x)图像上，,(2a-x0,y0),P,P(2a-x0,y0),代入y=f(x),f(2a-x0),=f(