利用导数研究函数的极值(上课用)

1、用函数的导数判断函数单调性的法则：,1如果在区间(a，b)内，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间；2如果在区间(a，b)内，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间；,3.如果恒有，则是?。,充分不必要条件,2.求函数单调性的一般步骤,求函数的定义域;,求函数的导数f/（x）;,解不等式f/（x）0得f(x)的单调递增区间;解不等式f/（x）0得f(x)的单调递减区间.,3.3.2利用导数研究函数的极值,1、如图，函数y=f（x）在x1，x2，x3，x4等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？2、y=f（x）在这些点的导数值是多少？3在这些点附

2、近,y=f（x）的导数的符号有什么规律？,探索思考：,x1,x3为极大值点,x2,x4为极小值点统称极值点,f(x1),f(x3)为极大值f(x2),f(x4)为极小值统称极值,极大值一定比极小值大吗？,求函数极值的一般步骤：,三、例题选讲:,（1）确定函数的定义域（2）求函数的导数（3）求方程的根（4）由方程的根左右的导数符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况,(5)计算端点值，并与极值比较大小,最值,练习,导数值为0的点一定是函数的极值点吗?,不一定是该函数的极值点.,导数为零的点是该点为极值点的什么条件？,左右导数异号.,必要不充分条件,故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-

3、2a;当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.,例2:求函数的极值.,解:函数的定义域为,令,解得x1=-a,x2=a(a0).,当x变化时,f(x)的变化情况如下表:,例3求函数y=x42x2+5在区间2，2上的最大值与最小值,当x=2时，函数有最大值13，当x=1时，函数有最小值4,1.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值，又有极小值，则a的取值范围为.,2.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3在区间（-2，,2）上既有极大值，又有极小值，则a的取值范围为.,3、已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,求a、b的值.,极值逆用

4、,a=4,b=-11.,1、下图是导函数的图象,在标记的点中,在哪一点处,(1)导函数有极大值?(2)导函数有极小值?(3)函数有极大值?(4)函数有极小值?,或,a,3函数f(x)=x的极值情况是()(a)当x=1时取极小值2，但无极大值(b)当x=1时取极大值2，但无极小值(c)当x=1时取极小值2，当x=1时取极大值2(d)当x=1时取极大值2，当x=1时取极小值2,d,(a)1(b)2(c)3(d)4,练习:求函数的极值.,解:,令=0,解得x1=-1,x2=1.,当x变化时,y的变化情况如下表:,因此,当x=1时有极大值,并且,y极大值=3;而,当x=-1时有极小值,并且,y极小值=-3.,5、已知函数f(x)=-x3+ax2+b.(1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1,求a、b的值.(2)若,函数f(x)图象上的任意一点的切线斜率为k,试讨论k-1成立的充要条件.,解:(1)由得x=0或x=4a/3.故4a/3=4,a=6.,由于当x0时,故当x=0时,f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1.,(2)等价于当时,-3x2+2ax-1恒成立,即g(x)=3x2-2ax-10对一切