利用导数研究函数的图像_第1页
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文档简介

1、利用导数研究函数的性质,主要内容：,一、函数的单调性，极值，最值,二、利用导函数的单调性研究函数图像的凹凸性,在研究函数特性时往往需要知道函数的直观图形，利用函数的一阶、二阶导数可以绘制出函数的较精细的图形.,下面来看导数的几何意义:,如图,曲线c是函数y=f(x)的图象,p(x0,y0)是曲线c上的任意一点,q(x0+x,y0+y)为p邻近一点,pq为c的割线,pm/x轴,qm/y轴,为pq的倾斜角.,斜率!,p,q,割线,切线,t,请看当点q沿着曲线逐渐向点p接近时,割线pq绕着点p逐渐转动的情况.,单调性,导数的正负,函数及图象,切线斜率的正负,函数单调性与导数的关系？,负,正,负,正,

2、在区间(a,b)上递增,在区间(a,b)上递减,正,正,负,负,f(x)0,f(x)0,由上我们可得以下的结论:,如果在某个区间内恒有,则为常数.,定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数,如果在这个区间内0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数.,函数的极值定义,如果对x0附近的所有点x，都有f(x)f(x0),则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作y极大值=f(x0)；并把x0称为函数f(x)的一个极大植点。,函数的极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点,已知函数y=f(x)，设x0是定义域（a,b)内任一点，,、,函数的最值,最大值：一般的，设函数y=f(x)的定义域为i,如果存在实数m满足：任意的x属于i,都有f(x)m存在某个x满足f（x）=m，则称m是函数f（x）的最大值。最小值：一般的，设函数y=f(x)的定义域为i,如果存在实数m满足：任意的x属于i,都有f(x)m存在某个x满足f（x）=m，则称m是函数f（x）的最小值。对于一段在闭区间上连续的函数，通过把极值和两个端点值比较得到最值”,曲线弯曲方向凹凸性,观察右图：,切线的斜率越来越大,二阶导数为正，曲线开口向上，是凹弧；二阶导数为负，曲线开口向下，是凸弧；二阶导数为零，且两侧异号

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