数学物理方法课件

1、使用教材：数学物理方法，梁昆淼编,数学物理方法,数学物理方法是物理类及其它相关理工类极为重要的基础课，数学物理方法是连接数学与物理学的桥梁是通往科学研究和工程计算的必经之路因为它教导我们怎样将一个自然现象转化为一个数学方程它非常充分地体现了科学的精髓，即：定量化因而数学物理方法在科学中的地位尤为突出,第一篇复变函数论,把微积分延伸到复域。使微分和积分获得新的深度和意义。,第一章复变函数,1.2复变函数,1.3复变函数的导数,1.4解析函数,1.1复数与复数运算,1.5多值函数,式中,x、y为实数，称为复数的实部与虚部,（一）复数的基本概念,几何表示：,1.1复数与复数运算,复数：,复平面,为复

2、数的模,为复数的辐角,1、复数表示,由于辐角的周期性，辐角有无穷多,为辐角的主值，为主辐角，记为,例：求,的Argz与argz,解：z位于第二象限,复数的三角表示：,复数的指数表示：,应用：,（二）无限远点,共轭复数：,Riemann球面,复球面,零点,无限远点,（三）复数的运算,1、复数的加减法,有三角关系：,2、复数的乘法,3、复数的除法,或指数式：,4、复数的乘方与方根,乘方,故：,方根,故k取不同值，取不同值,注意：,1）、,2）、,3）、,例：讨论式子在复平面上的意义,解：,为,圆上各点,例：计算,解：,令,例：计算,解：,令,1.2复变函数,（一）、复变函数的定义,对于复变集合E中

3、的每一复数,有一个或多个复数值,w称为的z复变函数,z称为w的宗量,（二）、区域概念,由,确定的平面点集，称为定点z0的邻域,（1）、邻域,（2）、内点,定点z0的邻域全含于点集E内，称z0为点集E的内点,（3）、外点,定点z0及其邻域不含于点集E内，称z0为点集E的外点,（4）、镜界点,定点z0的邻域既有含于E内，又有不含于E内的点，称z0为点集E的镜界点。,内点,镜界点,外点,内点,镜界点,外点,（5）、区域,A）全由内点组成,B）具连通性：点集中任何两点都可以用一条折线连接，且折线上的点属于该点集。,（6）、闭区域,区域连同它的边界称为闭区域，如,表示以原点为圆心半径为1的闭区域,（7）

4、、单连通与复连通区域,单连通区域：区域内任意闭曲线，其内点都属于该区域,（三）、复变函数例,后面补充详细介绍,（四）、极限与连续性,设w=f(z)在z0点的某邻域有定义,对于0，存在0,使,有,称z-z0时A为极限，记为,注意：z在全平面，z-z0须以任意方式,1、函数的极限,关于极限的计算，有下面两个定理,定理一,设：f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,z0=x0+iy0,那么,的充要条件是：,证：,必要性,如果,那么根据极限的定义，就有：,当,即当,时,也就是当,这就是说：,充分性,如果上面两式成立，那么当,所以当,定理二,如果,那么：,2、函数的连续性,定义：,如果

5、,那么我们称f(z)在z0处连续，如果f(z)在区域B内处处连续，我们就说f(z)在B内连续。,根据这个定义和上述定理一，容易证明下面的定理,定理三：,函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z=x0+iy0处连续的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续。,例如：,在复平面内除原点外处处连续。,定理四：,1）在z0连续的两个函数f(z)与g(z)的和、差、积、商（分母在z0不为零）在z0处仍连续。,2）如果函数h=g(z)在z0连续,函数w=f(h)在h0=g(z0)连续，那么复合函数w=f(g(z)在z0处连续。,函数f(z)在曲线C上z0点处连续的意义是指：,在闭曲

6、线或包括曲线端点在内的曲线段上连续的函数f(z)，在曲线上是有界的，即存在一正数，在曲线上恒有,1.3导数,w=f(z)是在z点及其邻域定义的单值函数,在z点存在，并与z-0的方式无关，则,下面讨论复变函数可导的必要条件,比较两式有,称为科西-黎曼条件（C.R.条件）,C.R.条件不是可导的充分条件,例：证明在z=0处满足C.R.条件，但在z=0处不可导,证：,满足C.R.条件,在z=0处,但在z=0处，若一定，,随而变，故在z=0处不可导,下面讨论f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z点可导的充分条件,证明：,1）u,v在z处满足C.R.条件,2）u,v在z处有连续的一阶偏微商,因为u,

7、v在z处有连续的一阶偏微商，所以u,v的微分存在,由C.R.条件,此式z无论以什么趋于零都存在，,C.R.方程的极坐标表示：,故f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z点可导,当考虑z沿径向和沿恒向趋于零时，有,例：试推导极坐标下的C.R.方程：,方法一：,当分别考虑z沿径向和沿恒向趋于零时，,沿径向趋于零,沿恒向趋于零,方法二：,从直角坐标关系出发,同理,例：证明f(z)=zn在复平面上每点均可导,证：,例：证明f(z)=z*在复平面上均不可导,证：,求导法则,例：证明f(z)=ex(cosy+isiny)在复平面上解析，且f(z)=f(z)。,1.4解析函数,若w=f(z)是在z0点及其

8、邻域上处处可导，称f(z)在z0解析,若w=f(z)是在区域B上任意点可导，称f(z)在区域B解析,证：,满足C.R.条件且一阶偏导连续,一些初等函数的定义及计算,1、指数函数在复平面定义一个函数，满足下列3个条件:,i）f(z)在复平面内处处解析；,我们已经证明f(z)=ex(cosy+isiny)在复平面上解析，f(z)=f(z)，且当Im(z)=0时，f(z)=ex。故定义该函数为指数函数，记作：,ii）f(z)=f(z),iii）当Im(z)=0时，f(z)=ex,其中x=Re(z),等价于：,与ex一样，expz服从加法定理,证：,用ez代替expz，但没有幂的意义，仅仅是符号，因此

9、：,特别：当x=0，有：,此函数的周期为2i，因：,2、对数函数：,我们把满足方程:ew=z的函数w=f(z)称为对数函数,令：,则：,所以：,因此：,为多值函数，记：,Argz取主值argz，则：,其它各支为：,当z=x0时，主值lnz=lnx即为实变函数,例：求Ln2,Ln(-1)以及与它们相应的主值,Ln2=ln2+i2k,k=0、1、2，主值为ln2,主值为ln(-1)=i,不难证明：,例：,又：,解析性：,就主值而言，由反函数的求导法则，可知：,3、幂函数：,定义：,1）当s为整数时：,为单值函数，否则为多值函数。,2）当s=p/q时,(p和q为互质的整数，且q0)，则具有q个值，k

10、可取0,1,2,（q-1）,3）当s=1/n时：,解析性：,同理可得：,例：求,和,的值,4、三角函数和双曲函数：,由此可得：,推广到复数，定义：,为周期函数，周期为2：,同理：,容易推出：,解析性：,同理：,还可得：,许多实数三角函数的公式在复数领域也成立，例：,由此得：,由定义，当z=iy时：,其它三角函数的定义如下：,双曲函数的定义如下：,为周期函数,周期为2i,chz为偶函数，shz为奇函数,5、反三角函数：,设：,那么称w为z的反余弦函数，记作：,由：,得eiw的二次方程：,它的根为：,两端取对数，得：,由于：,与,互为倒数，故,为多值函数,另：,例1：求|sinz|的值,解：,例2

11、：求方程sinz=2,解：,或,解析函数的性质：,1、若函数f(z)=u+iv在区域B上解析，则：,u(x,y)=C1v(x,y)=C2(C1,C2为常数)是B上两组正交曲线簇。,证：,曲线u(x,y)=C1v(x,y)=C2的斜率分别为：,由柯西-黎曼方程得：,故正交,2、后面可证在某区域上的解析函数，在该区域上有任意阶导数。,由C.R.条件,前一式对x求导，后式对y求导，相加,同理,u(x,y)和v(x,y)都满足二维Laplace方程,又特别称为共轭调和函数,令：,称为梯度(gradient)矢量,二维,三维,Laplace方程表示为：,例1：研究函数f(z)=|z|2的解析性,解：,当

12、z0=0时，这个极限是零。,当z00时，令z0+z沿直线y-y0=k(x-x0)趋于z0,由于k的任意性，此式趋于一个不确定的数，故极限不存在。,因此，f(z)=|z|2在z=0处可导，而在其它点都不可导，故处处不解析。,例2：如果w=u(x,y)+iv(x,y)为解析函数，那么它一定能单独用z来表示。,证：,如果把,带入,那么w可看作是z和z*的函数，只要证明,若给定一个二元调和函数，可利用C.R.条件，求另一共轭调和函数，方法如下：,C.R.条件,上式为全微分，因为,设已知u(x,y)，求v(x,y),方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）,方法二、凑全微分显式法,方法三、不定积分法

13、,例：已知解析函数实部u(x,y)=x2-y2,求v(x,y),解：,故u为调和函数,u(x,y)=x2-y2,方法一、曲线积分法,方法二、凑全微分显式法,u(x,y)=x2-y2,方法三、不定积分法,例2：已知解析函数f(z)的虚部,求实部u(x,y)和这个解析函数,改用极坐标,按照柯西-黎曼方程,得：,例3：已知解析函数f(z)实部求v(x,y),解：,化为极坐标求解,1.5平面标量场,在物理及工程中常常要研究各种各样的场，如电磁场、声场等，这些场均依赖于时间和空间变量。若场与时间无关，则称为恒定场，如静电场、流体中的定常流速等。若所研究的场在空间的某方向上是均匀的，从而只需要研究垂直于该

14、方向的平面上的场，这样的场称为平面场。,考虑平面静电场，在没有电荷的区域，静电场的电势满足二维拉普拉斯方程，这样，电场所处区域上的某一解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的实部或虚部就可以被用来表示该区域上静电场的电势，我们把这一解析函数叫作该平面静电场的复势。,设u(x,y)是电势,等势线簇,曲线簇v(x,y)=常数垂直与等势线簇u(x,y)=常数,v(x,y)=常数,v(x,y)=常数，是电场线簇,由解析函数的性质,任取两点A（x1,y1）、B(x2,y2)，作任一曲线联接A和B，,穿过曲线AB的电通量为：,如右图所示，曲线AB的切线的方向余弦分别为,所以：,上述结果说明v(x,y)的值本身就具有意义，两点的值之差就是两点之间穿过的电通量，故v(x,y)称为通量函数。,由此可见，只要给出复势，就不仅给出了电势分布，而且还直接给出电场线簇