第2章 光纤传输基本理论

1、第2章光纤传输基本理论,2.1光纤传输基本方程及解2.2多模光纤的光传输特性2.3单模光纤的光传输特性2.4光纤传输中的非线性现象,2.1光纤传输基本方程及解,由于任何光信号都可分解成具有一定相对关系的单色光的组合，为了得到光纤传输的特性，我们需要导出在单色光输入情况下光纤的输出特性。本节分析光纤中光的传输特性。,2.1.1麦克斯韦方程与波动方程光信号在光纤中的传输由麦克斯韦方程描述，可写,(2.1),式中,E(r,t)、H(r,t)分别为电场强度矢量和磁场强度矢量；D(r,t)、B(r,t)分别为电位移矢量和磁感应强度矢量；Jf(r,t)为电流密度矢量，f(r,t)为电荷密度分布，是电磁场的

2、源。当介质内传输的电磁场强度E(r,t)和H(r,t)增大时，电位移矢量D(r,t)和磁感应强度矢量B(r,t)也随之增大，它们的关系通过物质方程联系起来D(r,t)=0E(r,t)+P(r,t)B(r,t)=0H(r,t)+M(r,t),(2.2),式中,0为真空中的介电常数，0为真空中的磁导率；P(r,t)、M(r,t)分别为感应电极化强度和磁极化强度。对光纤这种无自由电荷的非磁性介质，Jf(r,t)=0，f(r,t)=0，M=0，感应电极化强度可表示为P(r,t)=PL(r,t)+PNL(r,t)(2.3),式中,PL为电极化强度的线性部分，PNL为电极化强度的非线性部分，它们与电场强度

3、的关系为,(2.4),在本节，我们只考虑光纤为线性介质的情况，非线性问题留在本章第4节中讨论。假设光纤为各向同性介质，则D(r,t)=E(r,t)=0(1+(1)E(r,t)B(r,t)=H(r,t),(2.5),考虑上面所提到的光纤的一些特性，光信号在光纤中传输的麦克斯韦方程可简化为,(2.6),考察输入为单色光的情况，光纤中任一点上的光信号的场强分布可表示为E(r,t)=E(r)exp(-t)H(r,t)=H(r)exp(-t),(2.7),将上式代入式（2.6），并作适当的变换可得,(2.8),实际使用的光纤一般是弱导光纤，即纤芯和包层的折射率非常接近，在一个波长的空间范围内的变化非常缓

4、慢，上式中的/可以忽略不计，则有,(2.9a),(2.9b),其中，k0=2/，是自由空间波数，是波长，n=()1/2是介质的折射率。这就是描述光纤中光场分布的基本方程，称为波动方程或亥姆霍兹方程。这是一个矢量方程，n只有在均匀介质中才是常数。,2.1.2波动方程的近似解根据光纤的具体结构，利用上述矢量波动方程，原则上是可以得到某些少数特定结构的光纤中光场的精确分布。但方法烦琐，结果复杂，利用这些结果去分析光纤的色散特性很困难。本节我们通过一种标量的近似解法结合阶跃光纤进行求解。给出一些物理意义明确的结果。,我们知道，对通信用光纤，纤芯、包层折射率相差很小，1。在这种情况下，纤芯、包层界面上全

5、反射角的临界角接近90，光纤中导行波的射线几乎是与光纤轴平行传播的。这种波接近TEM波。电磁场的轴向分量很小，横向分量占优势，该横向场的极化方向在传播过程中基本保持不变，横向电场和磁场之间的关系可用波阻抗Z=(0/)1/2来表示。,现在我们近似假定横向场的极化方向保持不变，这样就可用一个标量来描述它，它将满足标量亥姆霍兹方程。由此我们可以通过解该横向场的标量亥姆霍兹方程求得解答。这种方法叫标量近似分析法。可以看出，标量近似分析法是以n1n2为前提的。下面我们将用标量近似分析法推导出场方程、特征方程，介绍标量解的模式分布，讨论各模式的传输特性及光纤中的功率分布等。,1.标量场方程由于假定了弱导波

6、光纤中的横向场的极化方向保持不变，采用直角坐标系来表示场分量比较方便，因此，分析问题时将同时采用直角坐标系和圆柱坐标系，如图2.1所示。假定折射率为n2的包层无限大，在后面我们将看出该假设的合理性。,图2.1光纤坐标,选横向场的极化方向与y轴一致，即电场只有y分量，x分量为零，则式（2.9a）变为(2.10)解此方程并满足纤芯、包层交界面上的边界条件，就可得到光纤的标量解。将式（2.10）写到圆柱坐标系中，得到,(2.11),根据光纤截面折射率分布的圆柱对称性和轴向平移不变性，在以光纤轴线为轴的柱坐标系统中，光纤中光场的分布应有下列形式Ey(r,z)=R(r)cosmexp(jzt)(2.12

7、)这里z是z方向的传播常数，如果z方向有能量损失，则z是复数，虚数部分代表单位距离的损失，实数部分代表单位距离相位的传播。将式（2.12）代入式（2.11），整理后得,上式中第一个式子是m阶贝塞尔方程，第二个式子是变质的贝塞尔方程。m、z对应着方程的某一种解，表示光场的某种特定分布，这种特定分布通常称为某种模式。为了方便起见，引入两个有用的参量，令,(2.13),u叫做导波的径向归一化相位常数，w叫做导波的径向归一化衰减常数。它们各表示在纤芯和包层中导波场沿径向的变化情况。下面分析场方程的解。在纤芯内，R(r)的解应是贝塞尔函数的组合,(2.14),(2.15),其中，Jm为贝塞尔函数，Ym为

8、聂曼函数。R(r)在纤芯处应为驻波解，由于Ym(0)为无穷大，与场的实际情况不符，因此B为0。在包层内，R(r)的解应是修正贝塞尔函数的组合,(2.16),其中，Im和Km分别为第一类和第二类修正的贝塞尔函数。R(r)在包层中随r的增加应减小，是衰减解，而Im在r趋近无穷时也趋于无穷，所以C应为0。于是R(r)可写为,(2.17),J与K两种函数的曲线示于图2.2中。利用上式，光纤中Ey的表示式可写成,(2.18),在推导上式中利用了纤芯界面上的边界条件，E1=E2，简化掉了一个常数。横向磁场只包含Hx分量，根据Ey可写成,(2.19),图2.2贝塞尔函数和修正的贝塞尔函数图形,从麦克斯韦方程

9、，可求出Ez和Hz的表示式：,ra,(2.20),ra,ra,ra,(2.21),比较场的轴向和横向分量的大小，可以发现，弱波导光纤的轴向分量比横向分量的值小得多。因为轴向分量的表示式中含有u/aK0和w/aK0，而,(2.22),它们都在数量级。所以合成场基本在光纤横截面上，近似一个TEM波。,2.标量解的特征方程根据边界条件可以导出特征方程，前面在求解场的横向分量的表示式时已用了纤芯界面上场的角向分量连续的条件，现在再用界面上轴向分量连续的条件。在r=a处，Ez1=Ez2，则,(2.23),(2.24),利用弱导条件，上式可写成下面两个式子,1)LPmn模的截止条件我们先简单分析一下光纤中

10、传输的导行波的特性。考察包层中的电场，我们有,(2.25),根据修正贝塞尔函数的特性，上式近似为,(2.26),式中，C为比例常数。从上式可以看出，当w20时(即w为实数时)，场在纤芯外呈指数衰减型，在r相当大处，E(r)趋于零。这时光波封闭在光纤中传输，对应为传导模。根据式（2.14），若,(2.27),w成为虚数，包层中的场将成振荡型，而振幅不减小，意味着光能向外辐射，这时的光场为辐射模式。显然，w=0刚好是传导模和辐射模的分界处，将wc=0定义为传导模的截止条件。下面考察截止这种极端情况下特征方程的解。首先我们引入一个有用的参量归一化频率，定义为,(2.28),它与光纤的参数和传导光波的

11、波长有关，在wc=0时，Vc=uc，分别称为归一化截止频率和归一化截止相位常数。显然，在截止条件下得到的特征函数的解uc就是所对应模式的截止条件Vc。在截止条件下，w=0，Km(w)近似为,(2.29),可以证明，特征方程（2.23）的右端在任何值时都为零。于是，截止时有,当uc不为0时,(2.30),(2.31),这就是截止情况下的特征方程，由此可以解出uc，确定截止条件。uc是m-1阶贝塞尔函数的根。,当m=0时，J-1(uc)=J1(uc)=0，可解出uc=1,n-1=0，3.83171，7.01559，10.17347，这里1,n-1是一阶贝塞尔函数的第n-1个根，n=1,2,3,。显

12、然，LP01模的截止频率为0，LP02模的截止频率为3.83171，这意味着当归一化频率V小于3.83171时，LP02模不能在光纤中传输，而LP01模总是可以在光纤中传输的。当m0时，Jm-1(uc)=0，可解出uc=m-1，n，它是m-1阶贝塞尔函数的第n个根，n=1,2,3,。对于m=1，uc=0n=2.40483，5.52008，8.65373，。表2.1列出了较低阶LPmn模截止时的uc值。,表2.1截止时较低阶LPmn模的uc值,2)LPmn模远离截止时的解及其物理意义从上面对模式截止条件的分析可以看出，在光纤中，随着归一化频率V的增大，它所截止的模式的阶数也增加，即传播的模式增加

13、。现在我们分析另一种极端情况：远离截止时的情况。随着光纤归一化频率的增加，导波的径向归一化衰减常数w越来越大，这意味着导波在包层中径向衰减加快，导波能量往光纤纤芯中集中，当V和w足够大时，除靠近V的几个高阶模外，导波能量基本集中在光纤纤芯当中。我们把这种状态称为远离截止的情况。,根据V的定义，当V时，比值a/，于是那些远离截止的较低阶模的衰减常数w，这时Km(w)可用大宗量下的近似式表示,(2.32),将上式代入特征方程（2.24）可得,(2.33),因而远离截止时的特征方程可简化为Jm(u)=0(2.34)远离截止时的特征值是m阶贝塞尔函数的根mn（n=1,2,3,）。表2.2中列出了mn较

14、低阶的值。,表2.2远离截止时LPmn模的u值,综上所述，LPmn模的u值在截止时为m-1阶贝塞尔函数的第n个根，在远离截止时为m阶贝塞尔函数的第n个根，在一般情况下应在这两者之间变化。由特征方程式（2.24）并结合V的定义，用数值方法可作出一般情况下u-V的关系曲线，如图2.3所示。由该图可清楚地看出各模式的截止条件和允许的u值的范围。,图2.3u-V关系曲线,上面讨论了沿y方向极化的LP模，并假定它沿圆周方向是cosm变化的。实际上还存在着与Ey垂直的x方向的极化场Ex。这两种极化波又都有选取sinm和cosm的自由。尽管它们有形式上的差别，但在弱导近似下的传播常数是相同的，可用同一组标号

15、m、n表征，统称为LPmn模，又称之为简并模。每一个LPmn模一般有四重简并。当m=0时，sinm=0，LP0n模只有两重简并。图2.4给出了LP01模和LP11模的各种可能分布。,图2.4LP01和LP11模电场的可能分布,在LP模分析法中，各LPmn模的标号m、n有明确的物理意义，它们表示对应模场在光纤横截面上的分布规律。由式（2.18）可知，LPmn模在纤芯中的横向电场分布为,(2.35),它沿圆周及半径方向的分布规律分别为,(2.36),(2.37),显然，光场在圆周方向上的变化情况与m有关，当m=0时,(正弦规律),(余弦规律),(2.38),说明在圆周方向上无光场变化，在圆周方向上

16、出现最大值的个数为0。当m=1时,(2.39),由式（2.37）可见，光场沿径向的变化与n有关。下面以m=0为例加以说明。这时LP0n模的场沿径向按零阶贝塞尔函数的规律变化。在远离截止的情况下，对LP01模u=01=2.40483，它沿径向的变化规律为,(2.40),在r=0处，R(0)=1；在r=a处，R(a)=0，它沿r的变化情况如图2.5(a)所示。对LP02模u=02=5.52008，它沿径向的变化规律为,在r=0处，R(0)=1；在r=0.4357处，R(r)=0；在r=a处，R(a)=0，它沿r的变化情况如图2.5(b)所示，沿半径有两个最大值。可见，n表示沿半径最大值的个数。,图

17、2.5LP0n模的电场强度径向分布,2.1.3标量场模的光功率分布计算各模式在纤芯和包层中的功率分布是有实际意义的。首先，从计算结果可以看出功率在纤芯中的集中程度。另外，实际光纤中存在损耗，这些损耗分别产生在纤芯、包层及两者的分界面上，而各部分的衰减与各部分的传输功率成正比。因此，为了计算损耗也需知道功率在光纤中的分布情况。,将轴向玻印亭矢量分别在纤芯和包层横截面上积分，就可求出纤芯和包层中传输的功率分别为,(2.42),(2.43),将式（2.18）和式（2.19）代入式（2.42）得到纤芯中传输的功率为,(2.44),类似地，可得包层中的传输功率为,(2.45),对弱导光纤，n1n2=n，

18、并令C=-a2A2/4Z0，则,(2.46),光纤纤芯中光功率与总功率之比为,(2.47),在推导上式时利用了特征函数。光纤包层中光功率与总功率之比为,(2.48),利用上式可求得包层中光功率与V的关系曲线，如图2.6所示。,图2.6各模的包层功率与V值的关系,下面我们讨论V和V逐渐减小两种情况下的光功率分布。V时，LPmn模的u值对应m阶贝塞尔函数的根。Jm(u)=0，且wV，所以Pcore/Ptotal=1说明光功率完全集中在纤芯中。随着V值减小，高的模次逐渐截止，即w0，则,(2.49),上式可进一步表示成,(2.50),2.1.4单模与多模光纤的分类及处理方法上面我们在两种极端情况下对

19、光纤的传输特性进行了分析，可以看出，光纤中传输的模式数由归一化频率决定，当归一化频率确定后，光纤中所传输的模式数和模式分布也就确定了。一般情况下，光纤中有许多模式，每一模式有其特定的传播常数。由于模式之间的传播常数不同，各模式之间将有色散，这种色散称为模间色散。光纤的传输特性由所有能够传输的模式叠加后确定。,根据前面的分析，当光纤的归一化频率小于LP11模的截止频率时，光纤中将只有LP01模能够运行，我们将,(2.51),称为光纤的单模传输条件。因为归一化频率是工作波长和折射率分布的函数，当光纤参数确定后，只有工作波长大于某一特定波长时，光纤才能实现单模传输。我们称这个特定波长为光纤的截止波长

20、，可表示为,(2.52),2.2多模光纤的光传输特性,在上一节我们指出，用波动理论研究多模光纤的传输特性非常复杂，很难得到一些简洁的、有意义的结果。在多模光纤中，由于波长一般远小于光纤的直径，可以用射线光学来研究它的传输特性。所谓射线光学是波长趋于0时由波动理论近似后得到的一种描述光波行为的理论。它的核心方程为射线微分方程，由麦克斯韦方程在波长趋于0的情况下得到，可表示为,这是矢量形式的射线微分方程，其中，r是一条光线上某代表点的矢量位置，s是该点在光线上从某固定点量起的长度，上式右边为折射率梯度。利用该方程，原则上就可以对各种折射率分布情况下光线的传输特性进行描述。但实际上在折射率分布复杂的

21、情况下解该矢量微分方程并不容易，一般不直接使用该方程，,(2.53),而是灵活使用由该方程在一些具体条件下得到的更简单的方程，如折射、反射定律等。下面我们利用射线光学理论分析最常见的阶跃光纤和梯度光纤的传输特性。,2.2.1阶跃光纤的传输特性阶跃折射率分布的多模光纤是结构最简单的多模光纤，它的纤芯和包层的折射率分布都是均匀的，分别为n1和n2，且n1n2。通过这种光纤的光线有两种：子午光线和斜射光线，如图2.7所示。所谓子午光线是那些在光纤内的两次全反射中通过光纤轴线的光线，而斜射光线就是一些与光纤中心轴既不平行，也不相交的光线。这两种光线在光纤传输过程中具有不同的性质。,图2.7子午光线和斜

22、射光线(a)子午光线及其入射条件；(b)斜射光线的概念,1.阶跃光纤中子午光线的传输特性在光纤中，通过光纤中心轴的任何平面都称为子午面，而位于子午面内的光线就是子午光线。子午面有无限多个，它在光纤端面上的投影即为光纤端面上的直径。根据光的反射定律，如果光纤是一个均匀的直圆柱体，子午线将始终位于一个子午面内，且在光纤入端的入射角等于光纤出端的出射角。所以，对子午光线的研究可在子午平面内进行。如图2.7(a)所示，假定在某子午面内，光线以入射角入射到光纤端面中心再射入到光纤中，,在光纤内，此光线与轴线的夹角为0。由式(2.53)可以导出，在两均匀介质的分界面处有,(2.54),上式为描述光在两介质

23、截面上折射行为的斯涅尔定律，其中n0为空气中的折射率，其值一般取1。如果要该光线能够在光纤中传播而不折射出去，则必须满足在纤芯、包层界面上产生全反射的条件，即,(2.55),在上式中，当等号成立时对应的入射角称为最大入射角，以max表示。也就是说只有在光纤端面入射角max的光线才能在光纤中传播。对光纤而言，这个可能的最大的入射角叫做光纤的接受角，它仅与n1、n2有关。习惯上，我们将接受角的正弦值定义为光纤的数值孔径，用N.A表示,将上式代入式（2.54）就得到入射子午光线传播的条件,(2.56),(2.57),由于以小于光纤接受角进入光纤中的子午光线都可以在光纤中传输，而这些光线所走的路径不同

24、，这些光线之间将出现色散，这就是我们在上节中提到的模间色散。下面我们计算轨迹不同的光线到达光纤输出端产生的传输时间差及相应的色散。,式中,为芯包间相对折射率差，表示为,(2.58),在图2.7(a)中，=0时的入射光线传播时间最短，而传播时间最长的光线对应于max：,(2.59),通常用沿光纤单位长度传播时间内所产生的信号时延展宽来度量模间色散。用0和max分别表示为0和max两条光线沿光纤单位长度传播的时间，则时延展宽为,(2.60),显然，时延展宽与成正比。对多模光纤而言，一般为1%左右。设纤芯折射率为n1=1.5，则0=n1/c=5s/km，当=1%时，可算得=50ns/km，对应的传输

25、带宽仅为20MHz/km。,2.阶跃光纤中斜射光线的传输特性入射到光纤端面的光束除了子午光线外，还有很多斜射光线。斜射光线就是一些与光纤中心轴既不平行，也不相交的光线。它们和光轴是异面直线，所以对于斜射光线的讨论必须在三维空间中以矢量方法进行。由于斜射光线与光纤中心轴不在一个平面，斜射光线在光纤内进行一次全反射，平面的方位就要改变一次。其光路轨迹是空间的螺旋折线，其端面上的投影如图2.7所示。它可以是左旋折线，也可以是右旋折线，并且这些螺旋折线和光轴是等距离的。,在图2.8中，方向矢量为S0=L0i+M0j+N0k的光线入射到光纤端面的位置P0=x0i+y0j上（i、j、k为单位矢量）。设m为

26、表示第m次反射点的径向矢量，而Sm为紧接第m次反射前的光线方向矢量，根据反射前后光线共面的条件有：(Sm-Sm+1)m=0(2.61)再由入射角等于反射角的条件有(Sm+Sm+1)m=0(2.62),图2.8均匀光纤中的斜射光线,此外，在纤芯、包层交界面发生全反射的条件为,(2.63),为了研究在光纤入射端什么样的斜射光线可以在光纤中传播，我们将S0和P0代入式（2.63）得,(2.64),稍作变化，上式可写成,(2.65),这就是说，满足上式的入射端的入射光线，都可以成为斜射光线在光纤中传输。如果入射光线在x0=a，y0=0处入射，则n1L0N.A(2.66),2.2.2梯度光纤的传输特性由

27、式（2.60）可知，阶跃光纤模间色散很大，脉冲展宽严重，传输带宽很窄，限制了通信容量。为了尽量减小模间色散，人们研制了梯度折射率分布的光纤。所谓梯度折射率分布光纤是指光纤纤芯中折射率分布是随r变化的光纤。下面我们分析梯度折射率光纤的传输特性。,1.梯度折射率光纤中的光线与阶跃折射率分布光纤一样，梯度光纤中的光线也分子午光线和斜射光线两种。由于梯度光纤中纤芯折射率分布是随r变化的，光纤中子午光线不是直线传播，而是曲线传播。如图2.9(a)所示。光线的弯曲是遵循折射定律的。为了说明问题，我们将沿径向r方向连续变化的折射率分为不连续变化的若干层表示，如图2.9(b)所示。假定一射线以入射角射向光纤端

28、面的K点，进入纤芯后，它先是从光密介质向光疏介质传播。,图2.9,这时，每经过一个界面，它将折离法线，其轴向角将逐渐减小，在某一半径r=rm处，射线与光轴平行。在此以后，光线将由光疏介质向光密介质传播，每经过一个界面，它将折向法线，其轴向角逐渐增大。这样就形成了周期变化的子午线轨迹。显然，折射率分布不同的光纤，有不同的射线轨迹。同一光纤中，以不同角度入射的光线的轨迹也将不同。,斜射光线是不经过光纤轴心的空间曲线，射线轨迹同样按照折射定律发生弯曲，形状比较复杂。图2.10中示出了不同光线在光纤端面上的投影。显然，斜射光线被限制在两个圆柱面之间，这两个圆柱面被称为焦散面。若两个焦散面重合，就得到螺

29、旋线，它在端面上的投影为一个圆。斜射线情况很复杂，既不容易激励，也不容易传播（衰减大），实际上传播的光线都是子午光线。下面的讨论仅限于子午光线。,图2.10梯度光纤中的光线在端面上的投影(a)子午光线；(b)斜射光线,2.子午光线的轨迹方程对非均匀折射率介质中光线轨迹的分析一般要利用式(2.53)给出的射线方程。但是，采用该方程所做的分析在数学上非常复杂。为了容易理解，在本问题中我们直接应用折射定律给出一种简洁的分析。,图2.11梯度光纤中子午光射线轨迹剖析,图2.11给出了梯度光纤中的一个子午面。纤芯折射率分布n(r)随半径r的增加而减小。子午光线的轨迹由n(r)决定。由于射线是弯曲的，它的

30、轴向角z随坐标而变化。在z=0处，射线离光纤轴的距离是r0，轴向角为z0，光纤在该点的折射率是n0，r0、n0、z0表示射线的起始状态。根据折射定律，该射线满足下列条件n(r)cosz=n0cosz0(2.67),上式表明，射线上任一点轴向角的余弦与该点的折射率的乘积等于一个常数n0cosz0。令N0=cosz0，则n(r)cosz=n0N0(2.68)若在图2.11中射线的轨迹上任取一单元长度ds，则,(2.69),(2.70),代入式（2.68）得,经整理得,(2.71),(2.72),这就是代表射线变化规律的微分方程。当光纤的折射率分布及初始条件n0、N0给定时，对该方程积分就可求得射线

31、的轨迹,(2.73),3.光纤的最佳折射率分布自聚焦光纤研制梯度折射率光纤的目的是降低多模光纤的模间色散，那么，折射率分布n(r)为怎样的函数时，才能使多模光纤的模间色散最小呢?当然，最好的分布应该使各射线在Z方向的传播速度一样，从而实现自聚焦。只要所有的子午光线都具有相同的空间周期长度，就说明这些子午光线能够自聚焦。人们已经证明，双曲正割型折射率分布能够实现自聚焦，即,(2.74),式中，A是常数；n(0)是纤芯中心处折射率。将n(r)代入式（2.73）就可求出子午光线的轨迹方程为,(2.75),从上式可得,(2.76),由此可知，射线的轨迹是Z的周期函数。设射线的空间周期长度为L，则从上式

32、可得,(2.77),由于A是表示光纤分布的参数，与初始条件无关，因此L也与初始条件无关。这说明当折射率分布为双曲正割型分布时，不同初始条件入射的子午光线有相同的轴向速度，能得到自聚焦。,4.抛物线分布光纤的传输特性由于理想的双曲正割分布是难以实现的，人们设想用平方律分布去近似它。当把双曲正割函数展开时，发现它与平方律分布很接近。,(因为Ar1),(2.78),因此，有理由认为平方律分布的光纤具有较小的模间色散。将式（2.78）代入式（2.73）就可得到平方律分布光纤中光线的轨迹方程。从轨迹方程出发，经过数学推导，可得到平方律分布光纤的信号时延展宽为,(2.79),与2成反比。当=1%时，平方律

33、分布光纤的时延展宽仅为阶跃光纤时延展宽的1/200。即带宽提高了200倍。,5.梯度光纤的数值孔径梯度光纤芯部折射率是r的函数，不同r处接收光的能力不一样。纤芯中心处的数值孔径为,(2.80),这与阶跃光纤的数值孔径表达式完全一样。对端面上任一点r处，其数值孔径为,(2.81),2.3单模光纤的光传输特性,2.3.1LP01模的特性与光功率分布在前面已经指出，LPmn模的纵向分量很小，可以把它看成是横电磁波，因此对LP01模的分析也只考虑横向电场的情况。将m=0、n=1代入LPmn模的横向电场方程式（2.18），并且圆周方向取余弦规律分布，则可得LP01模的横向电场分布为,(2.82),(2.

34、83),将m=0、n=1代入LPmn模的特征方程式（2.24），可得LP01模的特征方程,(2.84),功率强度是电场强度的平方，利用式（2.82），纤芯中光功率强度分布为,(2.85),图2.12示出了V=2.40483时，LP01模在纤芯中的功率分布。图中以半径r=a处的功率Py(a)为参考，示出在不同r/a处的功率比R为,(2.86),图2.12LP01模在纤芯的功率分布,因为包层中有相当的功率传输，为了得到低衰减，单模光纤必须要有足够厚度的沉积内包层，内包层厚度的大小取决于包层中场强沿r的分布及剖面的结构。依式（2.82）可知，包层中LP01模的电场强度为,(2.87),根据修正贝塞尔

35、函数的近似式,(2.88),在相对径向位置t=r/a及r=a处的场强比为,(2.89),包层中LP01模的光功率强度分布为,(2.90),在相对径向位置t=r/a及r=a处的功率强度比为,(2.91),如果包层厚度r=6a，那里的光功率密度小于10-8，在这以外的总光功率可以忽略不计(如图2.13所示)。V值不同，电场透入包层的厚度也不同。在保证单模传输的情况下，V值越大越好。V值大，沉积内包层的厚度可以薄一些。图2.14给出了不同V值下，包层内传输的功率份额与径向位置的关系。,图2.13LP01模功率强度在光纤包层中的,图2.14不同V值下包层内传输功率分布(V=2.40483)与径向位置关

36、系,2.3.2单模光纤的传输特性在单模光纤传输中，实际传输信号的频谱都有一定的宽度。频谱的宽度取决于两个因素，一是半导体激光器发射的光的固有的频谱宽度，二是电信号调制造成的频谱展宽。一般来说，信号频谱宽度远小于光信号的中心频率。在单模光纤中不同频率的光的单模传输特性不同，这就在不同频率的光之间引起传播时间的差异，产生色散。由第1章第2节中的讨论可知，这种具有一定频谱宽度的光信号在一定长度的光纤中传输后，单位传输距离上的时间宽度差近似为,式中,f0为信号中心频率，f为信号频谱宽度。在单模光纤中，由于没有模间色散，色散都与波长有关，因此色散也叫做波长色散。通常用单位波长间隔内频谱成分通过单位长度光

37、纤所产生的色散表示色散，该色散值称为波长色散系数，用D()表示，单位是ps/(nmkm)。,(2.92),为求出单模光纤中的色散系数，需首先得到的解析表达式。为此，我们定义一个归一化传播常数b,(2.93),(2.94),将用b表示,(2.95),将上式代入式（2.93），经过一系列的数学运算并整理得,(2.96),式中，H为纤芯中所传输功率占总功率的比值。显然，上式第一项只与纤芯和包层的折射率随波长的变化及在其中传播的能量有关，称为材料色散系数Dm；第二项只与光纤中导波的传播常数随波长的变化特性有关，称为波导色散系数Dw；第三项既与光纤中导波的传播常数随波长的变化特性有关，又与折射率差值随波

38、长的变化有关，称为折射率分布色散系数Dp。实际上，d/d很小，Dp0，再考虑到纤芯和包层两种材料的随波长变化的二阶导数基本相等，总色散系数可以简化为,为了加深对单模光纤中色散特性的理解，下面将推导上式。首先利用弱导条件，将进一步简化为,(2.97),则,(2.99),(2.98),先求对0的一阶导数,(2.100),其中,(2.101),分别为纤芯和包层中的群折射率。由于,(2.102),因此,(2.103),(2.104),将上式代入式（2.99）得,这就是式（2.97）。第一项是材料色散系数，第二项与波导的归一化传播常数b和归一化频率V有关，而b和V又都是光纤折射率和光纤结构参数的函数，故

39、称为波导色散。,材料色散与SiO2材料的折射率对波长的二阶导数成比例。图2.15示出了SiO2材料的折射率与波长的关系。图2.16示出了SiO2材料的色散系数与波长的关系。从图2.16可以看出，在波长1.29m附近有一零材料色散波长0。不同的掺杂材料和掺杂浓度会使0有所移动，但变化甚微，因此材料色散可用纯SiO2的材料色散代替。过了零材料色散波长，在较长波长区色散为正值。,图2.15SiO2材料折射率与波长的关系,图2.16SiO2材料色散与波长的关系,波导色散项是由传播常数随波长的变化引起的，它与归一化频率和归一化传播常数的变化有关。图2.17给出了诸波导参数与V的关系曲线，从而可以求出波导

40、色散。它的大小可以与材料色散相比拟。在感兴趣的波长区域内，波导色散均为负值。其幅度由纤芯半径、相对折射率差及光纤剖面结构确定。一般讲，纤芯越小，折射率差越大，波导色散也越负。在一定的波长范围内，波导色散与材料色散具有相反的符号。改变光纤的折射率分布和剖面结构参数，可以改变波导色散的值，从而在所希望的波长上实现零色散，如图2.18所示。,图2.17波导参数与归一化频率的关系,图2.18V保持一定改变纤芯半径移动零色散波长,2.3.3单模光纤中LP01模的高斯近似阶跃光纤中，LP01模的场在纤芯中取零阶贝塞尔函数的形式。由于对贝塞尔函数的处理复杂，而高斯函数与贝塞尔函数接近，人们就设想能否用高斯函

41、数取代贝塞尔函数以简化对基模的分析。假设以下列高斯函数来近似贝塞尔函数,(2.106),现在的问题是能否找到一个合适的值，使该高斯函数能以足够高的精度去取代贝塞尔函数。我们可以用不同的方法去寻找值，常用的方法是按耦合效率最高的方法来确定值。耦合效率是按下式定义的,(2.107),将精确的贝塞尔函数场携带的能量归一化为1。在上式中，用式（2.106）表示的高斯场取代精确磁场，而电场以精确解代入。显然，高斯场取不同的值时，将得到不同的。改变，可以找出在给定的归一化频率下使最大的值，记作0。这个0就定义为单模光纤的模场半径。图2.19给出了0/a和相应值与/c同V的函数关系。可以看出，在通常的/c范

42、围内(0.81.8)，96%。这表明高斯近似法是好的。在0.8/c2的范围内，0/a能以优于1%的准确度近似为,(2.108),用高斯场来等效精确场的最大限制是不能用它来等效光纤包层中的场，这是因为精确场的衰减比高斯场缓慢。因而包层中的场要寻找另外的近似方法。当wr/a2时，包层中的场可用下式近似,(2.109),此式的准确度优于5%。,利用高斯近似法我们来计算LP01模在光纤中的功率分布。在高斯近似下，它们具有简单的形式,(2.110),(2.111),图2.20示出了两种公式计算的功率比与/c的函数关系。由图可以看出，除大的/c值外，高斯近似法得到的准确度是可以接受的。,图2.190/a,

43、与/c,V的关系曲线,图2.20Pcore/Ptotal与/c的关系曲线,2.3.4非均匀单模光纤的近似分析以上我们所做的分析都是在阶跃光纤中进行的，实际使用的光纤有时并不是均匀的。即使是名义上均匀的光纤，由于在制造过程中出现的不完善，其折射率也将是随半径变化的非均匀光纤，因此需对非均匀单模光纤进行研究。有实际意义的折射率分布有两种，一种是在光纤纤芯和包层交界面附近，纤芯中的折射率下降，如图2.21所示。这是由于在制造过程中，纤芯材料与包层材料互相向对方扩散而形成的。另一种情况是光纤轴线上折射率下降，如图2.22所示，这是MCVD制造方法所引起的一种典型缺陷。,这两种折射率分布可统一用下式表示

44、,(2.112),式中，f(r/a)是折射率分布形状函数。在ra时f(r/a)=0。对折射率在纤芯、包层界面梯度化情况,(2.113),图2.21梯度折射率分布剖面形状,图2.22中心凹陷梯度分布剖面形状,对折射率中心凹陷情况，,(2.114),是中心下降的相对深度。,对于这样的非均匀光纤，有各种近似解法。其中之一是将它等效为一个均匀光纤来进行分析。这种方法是基于以下两个事实为基础的：第一，非均匀光纤的场型与均匀光纤的场型非常相近；第二，均匀光纤的特性已知。对于一个已知折射率分布的非均匀光纤，只要找出其等效的均匀光纤，便可用前面已讨论过的均匀光纤来描述它。寻找等效均匀光纤时常假定其包层折射率就

45、等于真实光纤包层的折射率，因而需要决定的是其等效半径、等效相对折射率差、等效的归一化频率。求等效均匀光纤要经过比较复杂的数学运算，这里从略，只给出一种精确度可以接受的近似结果。,对折射率在纤芯、包层界面梯度化情况,(2.115),对折射率中心凹陷情况,(2.116),在这两种情况下均有,(2.117),如前所述，单模光纤的主要问题之一是求出LP11模的归一化截止频率Vc。对折射率在纤芯、包层界面梯度化情况，由式（2.115）可得,(2.118),由于等效阶跃光纤的LP11模的归一化截止频率Vec=2.4048，因此实际光纤LP11模的归一化截止频率为,(2.119),这样，就可确定光纤制造不完

46、善对单模光纤工作范围的影响。折射率中心凹陷也将影响LP11模的归一化截止频率，但由于LP11模在光纤轴心处为零，因此造成的影响很小。,2.3.5单模光纤中的偏振态传输特性单模光纤中，有极化方向互相垂直的两个基模LPy01和LPx01，它们的电场各沿y、x方向极化。因而单模光纤实际上传输着两个模式。在理想光纤中，光纤横截面的形状及折射率分布是均匀对称的，LPy01和LPx01的传播常数相等，即这两个模式是完全简并的。但实际光纤总带有某种程度的不完善，例如纤芯几何形状的椭圆变形，光纤内部的残余应力，光纤的弯曲、扭转等引起的折射率的各项异性，,都将使LPy01和LPx01模的简并受到破坏，它们的传播

47、常数x和y不再相等。这种现象叫做双折射现象。=x-y是表明双折射程度的物理量，叫做单模光纤的双折射。双折射在单模光纤中引起一系列复杂的效应，影响到单模光纤的传输特性。双折射对单模光纤传输特性的影响主要表现在两个方面，一是引起极化色散，二是使光波的极化状态沿光纤的长度而变化。这两种现象的分析比较复杂，下面只作简单介绍。,1.极化色散由于LPy01和LPx01模的传播常数x和y不同，因此引起这两个模式传输的不同步，从而形成色散。这种色散叫做极化色散。极化色散是模间色散的一种，但它与多模光纤中的模间色散不同，在完善光纤中它不存在。极化色散用LPy01和LPx01两个模式的单位长度上的时延差来表示。这

48、两个模式传输单位长度所用时间各为tpx、tpy，于是,(2.120),若用nx和ny分别表示两个双折射轴的折射率，则,(2.121),对石英光纤，上式时延差中第二项远小于第一项，所以极化色散可简化为,(2.122),可见，极化色散与光纤双折射成正比。,2.单模光纤极化状态的变化由于LPy01和LPx01两个模式的相位常数x和y不同，这两个模式在传输过程中的相位差将沿光纤发生变化，这就引起总的电场和磁场的极化方向沿光纤发生变化。这种效应在某些应用场合必须加以考虑。比如，在集成光学器件中，输入光场必须保持一定的极化方向才能得到高的耦合效率；再如在相干光通信中，从单模光纤输出的光场要与本地的光场叠加

49、后送到探测器中去检测，这要求两光场的极化方向保持恒定。下面我们介绍光纤中光场的一些基本极化特性。,讨论一种简单情况，即单一频率的线极化波激励具有均匀双折射的单模光纤的情况。具有均匀双折射的单模光纤有两个互相垂直的特定轴，当LP01的电场沿这两个方向极化时，将分别得到最大和最小的相位常数。这两个轴称为双折射轴。我们使用直角坐标系，并使Ox轴和Oy轴与光纤的双折射轴重合，如图2.23所示。沿这两个方向极化的电磁波的相位常数分别为x和y。今有一频率为，电场强度幅度为E0的线极化波与Ox轴成角（叫做输入极化角）对该单模光纤进行激励，如图2.23所示。将E0分解在两个轴上，其对应分量的幅度为,图2.23

50、,这两个分量即LPx01、LPy01模。设在输入端它们的相位是相同的，如光纤中没有衰减，则在沿光纤的任意点z处，LPx01、LPy01模的瞬时值表示为Ex=axcos(t-xz)=E0coscos(t-xz)Ey=aycos(t-yz)=E0sincos(t-yz)(2.124),(2.123),这两个模式之间的相位差为=(x-y)z，它是随z变化的。这样两个模互相垂直、幅度不等、相位差为的线极化波合成为一个椭圆极化波。因两波的相位差是随z变化的，所以其极化状态也随z变化。为了说明椭圆极化波的性质，引入两个参数：输出极化角和极化椭圆度。沿光纤的椭圆极化波的长轴一般并不与光纤的双折射轴重合，设它

51、与Ox轴成角，如图2.23所示，这一角度称为输出极化角。设极化椭圆的长轴和短轴方向的电场幅度各为amax及amin，相应的光强为Imax及Imin，则椭圆极化度的定义,当极化椭圆度P=0时，amax=amin，此时极化椭圆长轴和短轴相等，椭圆极化波成为圆极化波。当P=1时，amin=0，此时椭圆极化波变为线极化波。P在01之间变化。,(2.125),(2.126),可见，单模光纤的输出极化角与输出极化椭圆度P都与输入极化角及LPx01、LPy01模在z点的相位差有关。在不同的地点，不同，因而极化状态随z变化。图2.24给出了光波的极化状态随变化的情况。可以看出，单模光纤中光波的极化状态是沿z做

52、周期性变化的。当经过一段长度L后，两模式的相位差变化2，则极化方向也旋转2的角度，又恢复到原来的情况。这个长度L叫做单模光纤的拍长。,图2.24相位差不同的椭圆极化波,由于L(x-y)=2(2.127)所以,(2.128),可以看出，拍长越短，双折射越严重。,2.4光纤传输中的非线性现象,在第1章中我们已经讲到，由于光纤很细，纤芯中电场强度很高，又由于光纤中衰减很小，非线性现象的作用时间可以持续的较长，这就使得光纤中的非线性效应不能被忽视。光纤非线性特性对光信号传输的影响比较复杂，可以造成功率损耗、新频率成分的产生和光信号畸变等。在现代光纤通信系统中，随着光源发射功率的增加、光纤损耗进一步的降

53、低、多信道传输方式的采用，光纤中的非线性愈来愈明显，已经成为影响光通信发展的主要因素。,在石英光纤中，由于材料结构的反演对称性，非线性效应由三阶极化率产生。非线性现象本质上是在非线性介质中传输的光场进行能量和动量交换的过程。对光纤中非线性传输特性的研究，原则上可以将光纤材料的三阶极化率代入麦克斯韦方程，通过推导非线性耦合波方程，来得到各种非线性光学现象的耦合波方程，最终利用耦合波方程对各具体非线性光学现象进行研究。但是，非线性耦合波方程的推导极其复杂。本节不做具体的数学推导，在重点介绍各种非线性光学现象的物理本质后，将直接给出耦合波方程。,在非线性光学现象中，根据非线性介质是否参与非线性过程的

54、能量交换，可分为弹性非线性现象和非弹性非线性现象。两者的区别在于前者非线性介质不参与非线性过程的能量交换，而后者参与。在石英光纤中，三阶极化率产生的非线性效应既含有弹性非线性现象，也含有非弹性非线性现象。光纤介质中，当窄线宽脉冲激光束在其中传输时，可以出现受激布里渊散射（SBS）、受激喇曼散射（SRS）、自相位调制（SPM）；,当输入激光的线宽很宽（例如波分复用系统）时，还会出现四波混频（FWM）、互相位调制（XPM）等非线性现象。在这些非线性现象中，受激布里渊散射（SBS）、受激喇曼散射（SRS）属于非弹性非线性现象，其它则属于弹性非线性现象。下面我们分别介绍这些非线性光学现象及其对传输特性

55、的影响。,2.4.1受激喇曼散射（SRS）1.喇曼散射与受激喇曼散射喇曼散射是这样一种现象，当某一频率的光输入非线性介质时，在散射输出光中出现了光频率偏移的现象。喇曼散射可看成是介质中的分子对入射光的调制，即分子间的相对运动导致分子电偶极矩随时间的周期性调制，从而对入射光产生散射作用。设入射光的频率为l，介质分子的振动频率为v，则产生的散射光的频率分别为s=l-v及as=l+v，前者称为斯托克斯散射光（stokes），后者称为反斯托克斯散射光（anti-stokes），,v只与组成介质的分子结构有关，与入射光波长无关。上述两类散射的图像可用图2.25所示的能级图来说明。,图2.25喇曼散射原理

56、图(a)斯托克斯散射光；(b)反斯托克斯散射光；(c)频谱图,图2.25（a）中，介质分子原来处于基态（V=0），如其吸收一频率为l的入射光子就会跃迁到一个虚能级（图中虚线所示）上，经过约亚皮秒时间后，该分子又从虚能级跃迁到较低的(V=1)能级上形成声子，同时发射一个频率为s=l-v的stokes光子。另一方面，如果分子原来就处在激发态(V=1)能级上（即声子），如图2.25（b）所示，则吸收一频率为l的入射光子后会跃迁到一个虚能级（图中虚线所示）上，经过约亚皮秒时间后，,该分子又从虚能级跃迁到较低的(V=0)能级上，激发一个anti-stokes光子，然后回到基态。次后，将stokes光子和

57、anti-stokes光子视为输入光子，又产生s-v=l-2v和as+v=l+2v等的二阶光子和anti-stokes光子。如图2.25（c）所示。更高阶的以此类推。Anti-stokes散射光强度与处于激发态的分子数有关。热平衡状态下，激发态的粒子数远小于基态的粒子数。因此，一阶stokes散射光总是首先被激励，,且比antistokes散射光强exp(-hv/kT)倍，式中k为玻尔兹曼常数，T为绝对温度。antistokes散射光强烈地依赖于温度，在低温下，它几乎完全消失。喇曼散射有普通喇曼散射和受激喇曼散射之分，普通喇曼散射过程属于一种自发散射过程，相应产生的喇曼散射光十分微弱，不论是s

58、tokes散射光还是antistokes散射光，都不是相干光。可是，当用强激光输入到非线性介质中时，在一定的条件下，喇曼散射光有激光的性质，这就是所谓的受激喇曼散射，,相应产生的喇曼散射光较强，不论是stokes散射光还是antistokes散射光，都是相干光。受激喇曼散射只有在入射光超过某一阈值后才能产生，它具有高方向性、高强度，通过介质时将获得放大。在实际工作中，由于只有在强激光作用下喇曼散射才值得研究，因此人们普遍感兴趣的是受激喇曼散射。在这里也将重点讨论受激喇曼散射问题。,2.SRS耦合波方程对SRS过程的严格描述需采用量子理论。鉴于在感兴趣的范围内，入射光和stokes波都比较强，也

59、可采用经典电磁理论进行定量描述。这时，需给出描述入射波（采用激光技术中的术语称为泵浦波）与stokes波在非线性介质中相互作用关系的耦合波方程。可以证明，该耦合波方程为,(2.129),在以上诸式中,pp、ps分别为泵浦光和stokes波的功率；p和s分别为光和泵浦stokes波的损耗系数；gr为喇曼增益系数，它表示两个波间能量的耦合强度，取决于非线性介质的增益特性及波长间距；k为保偏系数，当泵浦波和stokes波的偏振方向重合时,k=1，一般情况下1k2；Ae为泵浦光和stokes波的相互作用面积，在单模光纤中就近似纤芯的面积。利用该SRS光功率耦合波方程，结合边界条件我们就可以定量分析SRS过程。,假定信道中输入连续功率恒定光，此时光纤中信号光功率只与位置坐标有关，与时间坐标无关。这种假定条件下对应的SRS的情形称为SRS的稳态模型，在不考虑自发喇曼散射的情况下，SRS光功率耦合波方程相应地变为,(2.130),3.石英光纤的喇曼增益特性在早期单模光纤的SRS实验中，Stolen等人测得了石英光纤中的喇曼增益系数,如图2.26所示。它是通过测量自发喇曼散射的截面积得出的，与用泵浦波结构的石英光纤喇曼放大器测得的喇曼增益系数值基本相同。喇曼增益系数一般与光纤的纤芯的成分有关，对不同的掺杂物，喇曼增益系数有很大的变化。图2.26给出了泵浦波长为p=1.0m时熔