第3章有限元法基础――概述

1、第三章有限元法基础概述,有限元方法是广泛用于解决应力分析、热传递、电磁场和流体力学等工程问题的数值方法。,通过本章的实例，使学生理解有限元建模的基本概念，包括直接公式法，最小势能原理和加权余数法。,一、工程问题二、数值方法三、有限元方法的基本步骤四、直接公式法五、最小总势能法六、加权余数法七、结果的验证,本章的内容,工程问题一般是物理问题的数学模型。数学模型是带有边界条件和初始问题的微分方程，微分方程是通过对系统应用自然的基本定律和原理推导出来的，如波动方程等。这些微分方程代表了某种物理规律或平衡。在可能的情况下，由给定的条件求解微分方程可以得到系统的精确行为。在任何给定的工程问题中，存在两种

2、影响系统行为的参数：1）系统参数，表示给定系统自然行为的参数，例如弹性模量、热传导因子和粘度等。2）扰动参数，是系统存在产生扰动的参数，如外力、力矩、介质的温度差和流体的压力差等。在有限元建模中，理解参数在刚度或传导矩阵以及负荷矩阵中的作用是非常重要的。系统参数（特性）总是在刚度矩阵、传导矩阵中得到体现，而扰动参数总是出现在负荷矩阵中。,一、工程问题,在许多实际工程问题中，由于微分方程的复杂性或边界条件和初始条件的难以确定性，得不到系统的精确解。为此我们借助数值方法来近似。解析解表明了系统在任何点上的精确行为，而数值解只在称为节点的离散点上近似于解析解。数值法的第一步都是离散化。这一过程将系统

3、分成一些单元和节点，然后对每一单元或节点建立代数方程组。这种方法假设代表每个单元的近似函数是连续的。假设单元间的边界是连续的，通过组合各单元的解产生系统的完全解。,二、数值方法,三、有限元方法的基本步骤,一、预处理阶段1建立求解域并将之离散化成有限元，即将问题分解成节点和单元。2假设代表单元物理行为的形函数，即假设代表单元解的近似连续函数。3对单元建立方程。4将单元组合成总体的问题，构造总体刚度矩阵。5应用边界条件、初值条件和负荷。二、求解阶段6求解线性或非线性的方程组，以得到节点的值，例如得到不同节点的位移量或热传递问题中不同节点的温度值。三、后处理阶段7得到其他重要的信息。如主应力、热量值

4、等。,四、直接公式法例1杆的一端固定，另一端承受负荷P，杆的厚度t，长度L。杆的弹性模量用E表示。假设应用的负荷比杆的重量大的多。,将问题域离散成有限的单元，首先将问题分解成节点和单元。我们用5节点4单元的模型代替杆，如图所示，分的越细越精确。杆的模型中有四个独立的分段，每个分段都有统一的横截面积。,1）离散化单元、节点,2）假设近似单元行为的近似解,考虑一个带有统一横截面A的实体的偏转量，横截面的长度为l，承受的外力为F，如图所示。,实体的平均应力为,实体的平均应变为,应变与应力的关系为,这里E是弹性模量,这样有,令,，则,这相当于弹簧。我们认为杆由四个弹性系数不同的弹簧组成，对每个弹簧来说

5、，,和,分别是,和,处的节点的横截面积，l是单元的长度。,静力学要求每个节点上的应力和为零，所以,节点1：,节点2：,节点3：,节点4：,节点5：,重新组合方程组，得到:,写成矩阵的形式为,=,在负荷矩阵中，将反作用力和负荷区分开来是很重要的，于是,=,上式表示成,上式中，R为反作用力，K为刚度矩阵，u为位移矩阵，F为负荷矩阵。由于杆的顶端是固定的，其位移为零，,上面的方程简化为,求解上面的方程，得到节点的位移量。,3）对单元建立方程,每个单元有两个节点，每个节点相应一个位移量，因此我们需要对每个单元建立两个方程，这些方程必须和节点的位移量和单元的刚度有关，考虑单元内部传递的力的关系。,节点满

6、足的方程为,写成矩阵形式,4）将单元组合起来表示整体问题,单元1的刚度矩阵为,它在总体刚度矩阵中的位置为,类似的，对于单元2、3、4，我们有,总体刚度矩阵为,利用单元建立方程和利用节点建立方程，得到的结果一样。,5）应用边界条件和负荷,杆的顶端是固定的，即有边界条件。在节点5处加外力P，于是,矩阵中的第一行必须包含一个1和四个0，以读取给定的边界条件,在固体力学的问题中，有限元公式一般有如下的形式：,6）求解阶段,我们以例题来说明它。,假设铝,975,845,715,585,杆的横截面面积的变化可以由下式来表示,这样，每个横截面上的面积为,每个单元的对等刚度系数为：,单元矩阵为：,总体刚度矩阵

7、为,应用边界条件,和负荷,，得到,第二行中，系数975乘以,的结果为零，我们得到如下矩阵,位移量的解是,7）获取其他信息,应力,经理论计算，应力的精确值为,在允许误差的情况下，计算结果和精确值相等。,反作用力,例2房屋的外墙壁包括许多种材料，如下表所示。假设房屋内的温度是,，房屋外的温度为,，接触面积为150ft2确定墙壁内的温度分布。,1）离散化将问题域离散成有限元。我们用一个包含七节点、六单元的模型来表示这个问题，如图所示。,2）假设近似单元行为的近似解,对于热传导问题，能量通过分子运动从高温区域向低温区域传递，热传导率由傅里叶定律得出,是热传导率的X分量，k是介质的热传导率，A是面积，,

8、这样,是温度梯度，,令,，则,U：热传递系数、U因子,单元（1）和（6）的稳态热力学行为可以用牛顿冷却定律进行建模。当运动的流体接触到温度不同的表面时，就会出现热对流。,这里，h是热传导系数，,是表面的温度，,也可以写成如下形式,是流体的温度，牛顿冷却定律,这里，,传递的热量，即,，在稳态传导下，通过传导传递的热量应该等于通过对流,节点2处的墙壁外表面，通过墙壁传导而损失的热量必须和通过周围空气对流损失的热量相等，即,将热平衡条件应用到表面的节点3、节点4、和节点5，产生如下方程：,对于节点6来说，由空气热对流损失的热量和通过石膏板传导的热量相等。,将已知的温度和未知的温度分开，我们有：,写成

9、矩阵的形式,3）用单元公式法求解该问题,对单元建立方程单元的热传导率与节点温度的关系为,用矩阵表示,单元的传导矩阵为：,用U因子表示为,对于对流单元的节点，应用能量守恒，,写成矩阵形式,此时，对流单元的热传导矩阵为：,4）将单元组合起来表示整体问题对于单元（1）来说，,它在整体传导矩阵中的位置,对于单元（2）来说，,它在整体传导矩阵中的位置,总体传导矩阵为,5）应用边界条件和热负荷,我们知道，,这样，,热传递问题的有限元公式一般为,是传导矩阵，,是温度矩阵，,是热力流矩阵。,上面方程可以简化成,上式中代入U值，有,解代数方程系统经求解得,6）求解,7）得到其他信息,我们可以由上面得到的结果，求

10、出墙壁的热量损失，因为已假设为稳定状态，所以，热量通过每个单元传递的量相等，,每个单元传递的热量为,也可以平均U因子计算，,例3如图所示，钢板承受轴向负荷，板的厚度是,in，弹性模量为,每个单元的刚度矩阵为,单元（1）的刚度矩阵为,它在整体刚度矩阵中的位置为,总体刚度矩阵为,代入参数，得到,应用边界条件,和节点4处的负荷。,求解系统方程，得位移解,每个单元的应力分别为,五、最小总势能公式法,物体上的外负荷会引起物体的变形。在变形期间，外力做的功以弹性势能的方式储存在物体中，即为应变能，考虑承受集中力F的应变能，如图所示。,对小体元来说,当体元的拉长增加量为,时，物体内储存的能量的增加为,将上式

11、写成标准的应变和应力的形式,对于单元的实体来说，形变能由下式给出,这里，V是单元实体的体积，由n个单元m个节点组成的物体的总势能为总应变能和外力做功的差,最小总势能原理表明，对于一个稳定的系统来说，平衡位置时的位移以使系统的总势能最小。,这样，有,写成矩阵形式,这里，,，对于任意单元，节点i和i+1处外力做的功，我们有,总体刚度矩阵为,进一步，应用边界条件和负荷产生,例1的精确解,如图杆的上端固定，下端作用一力P，杆的厚度为t,弹性模量为E。对于垂直于杆的任意截面A(y)，都有以下关系：,为应变，它是微分段dy上单位原始长度的变化量du。因此，,将它代入方程，有：,变化，得：,其中，横截面积为

12、,控制方程,求积分，得到杆的变形：,六、加权余数法,加权余数法是建立在为微分方程假设一个合理的解的基础上的。假设的解必须满足给定问题的初始和边界条件。因为假设的解是不精确的，将解代入微分方程将会产生误差。简单的说来，任何余数法都要求余数在一些选定的区域或点上为零。以例1来说明：,微分方程,边界条件,假设近似解。假设的近似解必须满足边界条件。我们选择：,这里,，,，,是未知系数。很显然，它满足边界条件,。将它代入方程中，得误差函数,：,其中,把,1in，,，,，,代入上式化简得：,1)配置法,在配置法中，余数,我们将在三个点上使得余数为零。选择在点,，,，,上余数为零：,因为本例有三个未知系数，

13、,在与未知系数一样多的点上为零。,通过以上三个方程可以解得：,这样，把以上系数代入假设的关系式中，得：,2）子区域法,在子区域法中，要使余数,选择子区域的个数必须等于未知系数的数目。这样有三个关系式,在一些选定的子区域内积分为零。,求解以上方程得到：,把以上系数代入假设的关系式中，得：,3）迦辽金方法,迦辽金（Galerkin）方法要求对于权函数,，余数是正交的，,i1，2.，N,三个未知数需要三个方程，我们选择权函数为,，,，,，因为这些权函数为近似解的一部分。,求解以上方程得到：,把以上系数代入假设的关系式中，得：,4）最小二乘法,最小二乘法要求假设解平方项的积分值对未知系数的值最小，有如下关系：,i1，2.，N,针对近似解中三个未知系数，得到三个方程，,求解以上方程得到：,把以上系数代入假设的关系式中，得：,加权余数解的比较,通过将位移结果和精确值进行比较来检查加权余数法的精确度,从上表可以看出，各种结果吻合的较好。在建