第6节 函数的幂级数展开_第1页
第6节 函数的幂级数展开_第2页
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1、1,*第六节函数的幂级数展开,求幂级数,在其收敛域内以f(x)为和函数函数的幂级数展开.,问题:,2.如果能展开,是什么?,3.展开式是否唯一?,1.f(x)在什么条件下才能展开成幂级数?,麦克劳林展开式,泰勒展开式,2,一、泰勒级数,上式两端逐项求导，得,3,且展开式是唯一的.,4,定义,的泰勒级数.,的麦克劳林级数.,5,二、泰勒公式,6,上述公式称为n阶麦克劳林(Maclaurin)公式.,证略.,7,三、函数的泰勒展开,证,由泰勒公式,证明是显然的.,8,函数f(x)展开成幂级数的具体步骤：,2.写出幂级数，并求其收敛域D.,如果是,则f(x)在D上可展开成麦克劳林级数,9,例1,解,

2、10,即证得,11,12,例2,解,13,14,例3,收敛域为：,(n不为正整数),特别，,牛顿二项展开式,15,一般用间接法：根据展开式的唯一性,利用已知展开式,通过变量代换、四则运算、恒等变形、逐项求导、逐项积分等方法,求展开式.,例4,所以,16,两边求导,得,例5,17,例6,解,18,例7,解,19,基本展开式,20,(n不为正整数),特别,21,例8,解,所以,22,例9,解法1,23,所以,解法2,例9,24,例10,解,25,例11,解,26,例12,解,由幂级数展开式的唯一性，,因此，,27,以上讨论的均为麦克劳林级数，下面讨论一下一般的泰勒级数：,其收敛域为D，,一般利用麦克劳林级数间接展开.,28,例13,解,29,例14,解,而,30,例14,解,

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