第三章 线性系统的能控性与能观性c

1、1,第三章线性系统的能控性和能观测性,3.1线性系统能控性和能观测性的概念3.2线性定常连续系统的能控性3.3线性离散系统的能控性3.4线性定常系统的输出能控性3.5线性定常连续系统的能观测性3.6线性定常离散系统的能观测性3.7对偶原理3.8能控性和能观测性与传递函数的关系3.9线性定常系统结构分解3.10最小实现,2,教学要求：1.正确理解定常和离散系统可控性与可观测性的基本概念与判据。2.熟练掌握能控标准型与能观测标准型。3.掌握对偶原理，规范分解方法。4.理解传递函数的实现问题，重点内容：能控、能观测的含义和定义。定常系统的能控、能观测的各种判据。线性变换的不变性。实现与最小实现的特点

2、和性质。,3,研究系统的目的:更好地了解系统和控制系统。含义1:控制作用:对状态变量的支配能控性。系统输出能否反映状态变量能观测性。含义2:能控性:能否找到使任意初态确定终态。能观测性:能否由输出量的测量值各状态。,3.1线性系统能(可)控性和能(可)观测性的概念,4,多变系统两个基本问题:在有限时间内,控制作用能否使系统从初始状态转移到要求的状态?在有限时间内,能否通过系统输出的测量估计系统的初始状态?简单地说:,5,如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制,而由任意的始点达到终点,则系统能控(状态能控)。如果系统的所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映,则称系统是状态能

3、观测的。,6,例1:给定系统的状态空间描述:解:展开表明:状态变量,都可通过选择输入u而由始点终点完全能控。输出y只能反映状态变量,所以不能观测。,7,例2:取和作为状态变量,u输入,y=-输出。,+,-,u,L,(1)当,状态可控，可观测,(2)当,u只能控制，不可控，不可观测。,8,含义：能控性：u(t)x(t)状态方程能观测性：y(t)x(t)状态方程、输出方程,9,设若存在一分段连续控制向量u(t)，能在内将系统从任意状态转移到任意终态，则该系统完全能控。,3.2线性定常连续系统的能(可)控性,1.定义,10,说明：任意初态(状态空间中任一点),零终态能控零初态任意终态,能达,11,2

4、.定理1,（n为系统维数）,12,定理1(秩判据)证明：,13,假设则由Hamilton定理推论,14,令,15,16,例试判断下列系统的状态可控性。,(1),(2),17,（1）,该系统不可控。,解：,（2）,该系统不可控。,18,例：试判断系统能控性。,19,解：rank=23,不能控。,20,对于：行数列数的情况下求秩时：rank=rank,21,若为对角型，则状态完全能控的充要条件为：中没有任意一行的元素全为零。,3.定理2：若,22,23,例:试确定如下几个经非奇异变换后的对角线规范型系统的可控性。,1)可控,3)可控,2)不可控,4)不可控,24,例：线性系统的状态方程为其中：试判

5、断该系统的能控性。,25,解：如果rank=2,则必须要求,26,若为约当型，则状态完全能控的充要条件是：对应的每一个约当块的最后一行相应的阵中所有的行元素不全为零。（若两个约当块有相同特征值，此结论不成立。）,4.定理3：设,27,例:试判断下列已经非奇异变换成约当规范型的系统的可控性。,1)可控,2)不可控,28,例：设系统的状态方程为其中：试判断系统的能控性。,29,解：而b1是任意值，且b20,rankSc=2则该系统能控。,30,5.当的特征值,且,则可以经过,将A化为约当型。,如下:,31,32,且,33,由的最后一行组成的矩阵：,34,小结,约当型判据:系统状态完全能控的充要条件

6、是:,(1).相异特征值对应输入矩阵中没有任何一行,的元素全为零。,(2).有重根的各约当块的最后一行相对应输入,矩阵中的各行的元素不得全为零。,(3).对应中等特征值的所有约当块末行的,输入矩阵中的那些行线性无关。,35,例：设，已知,行线性无关,不全为零,能控,36,设令则：其中：,证明：,6.线性变换后系统的能控性不变,37,系统的能控性不变,38,设(单输入单输出系统)如果系统能控，则必存在一个非奇异变换可将状态方程化为能控标准型：,7.化能控系统为能控标准型,39,其中：,40,且：,41,证明：(由推得),42,43,44,45,计算可控性判别矩阵计算可控性判别矩阵的逆矩阵取出的最

7、后一行,构成行向量构造P阵,小结:变换矩阵的求法,变换可将可控系统状态方程化为能控标准型,46,例：求能控标准型。,47,解：rankSc=2能控,48,则,49,3.3线性离散系统的能控性,其中:,1.定义：设线性定常离散系统的状态方程:,50,若存在控制向量序列能在有限时间内，将系统从第k步的X(k)转移到至第n步的x(n)=0，则称系统在第k步上是能控的如果系统在第k步的所有状态X(k)是能控的，则称系统为完全能控。,51,则系统状态完全能控的充要条件：rankSc=n其中：,2.定理：设,52,证明：(以单输入为例)设假设：,53,这里x(0)是任意的,54,为满秩矩阵可求出u(0),

8、u(1),u(n-1),55,例1：判断系统的能控性。,56,解：,该系统能控,57,若已知求u(0),u(1),u(2),58,59,设x(3)=0,60,解得：因此，对于任意x(0)，都能求出u(0),u(1),u(2),使x(0)x(3)=0,61,例2：判断能控性能否存在对任意x(0)x(1)=0？,62,解：,rankSc=3=n因此该系统能控所以一定可使任意x(0)x(3)=0,63,64,但不能对任意x(0)x(1)=0,65,3.4线性定常系统的输出能控性下面研究系统输出的能控性。设线性定常系统为其中，。输出能控性定义：若对任一输出y(t0)和另一输出y(tf)，存在一个有限的

9、时间t0,tf和一个分段连续输入u(t)，能在t0,tf内使输出y(t0)转移到y(tf)，则称系统是输出能控的，否则称为输出不能控的。输出能控性判别准则：系统输出能控的充分必要条件是:,66,例：判断系统是否输出能控。解：rankCBCABD=rank1-20=1=q输出能控状态不能控,67,3.5线性定常连续系统的能(可)观测性,在实际工程实践中,往往需要知道状态变量,而由于各种原因,不一定都能直接获取,但输出变量总是可以获取和测量的。能观测性能否通过对输出的测量来确定系统的状态变量。,68,设线性定常连续系统状态空间表式：定义：对任意给定u(t)，在t0,tf内输出y(t)可唯一确定系统

10、的初态x(t0),则系统是完全能(可)观测的,简称系统能(可)观测。yx(t0)能观yx(tf)能检,确定,确定,69,线性定常系统状态完全能观测的充要条件是：,其能观测判别矩阵So秩为n，即:,2.定理1：,70,证明：设,71,这里：是一个单位阵。要使y(t)x(0),确定,72,例试判断下列系统的可观测性。,解：,该系统可观测。,73,例试确定使下列系统可观测的a,b取值。,解：,，系统可观测。,74,若A为对角型，则系统完全能观测的充要条件是：输出阵C中没有任何一列的元素全为零。,例:试判别以下系统的状态可观测性。,可观测,3.定理2：,75,例：系统状态方程为:,系统能观则要求即ra

11、nkSo=2,76,若A为约当型，则系统完全能观测的充要条件是：C阵中与每个约当块的第一列相对应的各列中，没有一列的元素全为零。(如果两个约当块有相同的特征值,此结论不成立)。,4.定理3：,77,例:试判别下列系统的状态可观测性。,1)不可观测,2)可观测,78,例:能观,79,例：设系统的状态方程为：判断系统的能观性。解：,能观,80,设A有(重根)，(重根)，(重根)，,5.约当型判据：,81,82,83,且要使系统完全能观，则由的第一列组成的矩阵：对均列线性无关。,84,小结,约当型判据:系统完全能观测的充要条件是:,(1).相异特征值对应输出矩阵中没有任何一列,的元素全为零。,(2)

12、.有重根的各约当块的第一列相对应输出矩,阵中的各列的元素不得全为零。,(3).对应中等特征值的所有约当块第一列的,输出矩阵中那些列线性无关。,85,如果系统能观测，但不是能观测标准型，则存在，将原系统化为能观测标准型：,(单输入单输出系统),6.定理4：,设,86,其中,87,其中：,88,线性变换后系统能观测性不变设令,89,90,3.6线性定常离散系统的能观测性,设定义：已知u(k)，如果能由确定x(k)，则第k步是能观测的。如果每个k步都能观测，则系统完全能观测。,91,y(k)y(k+1)y(k+n-1),已知u(k),x(k)=,92,定理：系统状态完全能观测的充要条件其中：,93,

13、证明：令u(k)=0k=0y(0)=Cx(0)k=1y(1)=Cx(1)=CAx(0)k=n-1y(n-1)=,94,当时，x(0)有解。,95,例：解：,96,3.7对偶原理,由第二章：对偶原理：,97,其中:与互为对偶.,98,99,3.8能控性和能观测性与传递函数的关系,设定理:单输入单输出线性定常系统的传递函数若有零、极点对消，则视状态变量不同的选择，系统或不能控，或为不能观测，或既不能控又不能观测。若无零、极点对消，则该系统可用一个既能控又能观测的动态方程来表示。,1.单输入单输出系统,100,设A的特征值:,则系统可化为:,验证:,101,当当,不能控,不能观测,系统能控能观测,1

14、02,验证能控性:设不能控,则一定存在零极点对消。,103,104,验证能观性:设不能观,则一定存在零极点对消。,105,106,例:解:能控标准型:,不能观测,107,能观测标准型:,不能控,108,不能控不能观测:,不能控不能观测,109,2.多输入多输出系统,1）可控的充要条件：,(SI-A)-1B的n行线性无关。,2）可观测的充要条件：,C(SI-A)-1的n列线性无关。,110,3.9线性定常系统结构分解,x,-能控能观测-能控不能观测-不能控能观测-不能控不能观测,111,系统的能控性分解设其中,系统不能控。引入变换,sc中r个线性无关列向量任意n-r个列向量存在,112,则,-能

15、控状态子向量,-不能控状态子向量,r,n-r,r列,n-r列,行,行,q行,列,列,113,则有:能控子系统:不能控子系统:,114,y,u,115,116,-,-1,117,例1：进行能控性分解。解：所以不能控。,118,选取通过则,119,能控子系统：不能控子系统：,120,系统的能观测性分解设其中所以不能观测引入变换：中个线性无关的行向量任意个行向量存在则,121,-能观测子状态,-不能观测子状态,122,则能观测子系统：不能观测子系统：,123,u,124,例：进行能观测性分解。解：,125,选取经过,126,能观测子系统：不能观测子系统：,127,系统的标准分解：假设系统：不能控也不能观测。,能控性分解,能控子系统能观性分解,128,不能控子系统，能观性分解,129,130,131,能控能观:能控不能观:不能控能观不能控不能观,132,u,y,133,例3:进行能控能观性分解。解:,系统不能控不能观.,(A,b,c)能控性分解(,),134,取则：,135,能控子系统：,不能控子系统：,显然,136,能控系统能观性分解：取,137,138,标准分解:,139,3.10最小实现,定义：G(s)的一个最小实现：如果G(s)不存在其它实现使的维数小于x的维数，则称(,)是(s)的一个最小实现。,140,定理：(s)的