第三章 可靠性的数学基础

1、,第3章可靠性的数学基础,随机事件与概率随机变量可靠性设计的几种常用概率分布,第三章可靠性的数学基础,3.1随机事件与概率,3.1.1随机事件及其运算,随机事件是随机试验的结果。,1随机现象客观世界中有两类现象：确定性现象和不确定性现象。在确定性现象中，事物的因果关系是确定的。在不确定性现象中，事物的因果率是有缺陷的。其特点是试验结果不可预知，也称为随机现象。,简单事件：随机现象的一个基本结果（一个事件）复杂事件：由随机现象的若干个基本结果组成必然事件：必然发生的事件S，由全体基本事件组成，记为不可能事件：不可能发生的事件，记为。互斥事件：又称为互不相容事件，如果事件A和事件B不可能同时发生。

2、,第三章可靠性的数学基础,2.随机事件,随机现象的某种可能结果称为随机事件，常用大写字母A、B、C、等表示。,3样本空间,对于某一随机现象，一切可能发生的基本结果都称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为样本空间，常用S表示。,掷骰子的样本空间S1,2,3,4,5,6。抽检产品等级的样本空间S1,2,3,4。电视机寿命的样本空间St：t0。,样本空间根据需要而定。一个样本空间中的基本事件可以是有限个，也可以是无限可数个，亦可以是无穷不可数个。,3.1.2概率及其特点,1概率,若基本事件总数为n，一个事件A包含k个基本事件，则事件A的概率规定为,2概率的基本特点,性质1：01。性质2：,1)事件

3、之间的关系和事件的运算事件包含,若事件A发生必然导致事件B发生事件等价AB事件的和事件的积事件的差EA-B对立事件互不相容事件AB事件A和B不可能同时发生,3概率运算的基本公式,2)事件概率的运算性质,3)条件概率与事件的独立性1.条件概率：设A、B是任意二个事件,且则称为事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率。,2.乘法公式：由条件概率可导出概率乘法公式。设事件A、B有，则,例1：有100个零件，其中正品为96个，次品为4个，现从中任取5个，求取到次品的概率？,例2：有100个零件，其中一级品有70个，二级品有25个，次品有5个。规定一、二级品都为合格品，现从合格品中任取一个，求这个零件是

4、一级品的概率。,解：,例3：某设备由各自独立的装置1和装置2组成，两装置各自失效概率分别为PA1=0.02，PA2=0.01，试分别计算以下两种情况时设备不发生失效的概率。(1)两装置必须同时工作才能保证设备正常运转；(2)两装置之一能正常工作就能保证设备正常运转。,3.全概率公式：由概率有限可加性和条件概率可以导出定义：设S为样本空间，为一组事件，若则称为样本空间S的一个划分。,全概率公式：设样本空间中事件A发生的概率,例4：设有一批零件是由甲、乙两个工人加工的，工人甲加工了全部的2/3，工人乙加工了其余的1/3，甲的次品率是3%，乙的次品率是5%，如从此批零件中任取一零件，可能抽到次品的概

5、率是多少？,解：令事件B=抽到次品；因素A1、A2=抽到甲、乙的零件已知每人加工的概率P(Ai)，每人的次品率P(B|Ai)则有：,4.贝叶斯(Bayes)公式_可靠性统计推断,设为样本空间S的一个划分，且，对于任一事件A，由条件概率的定义和全概率公式，有,条件概率,全概率公式,例5:对以往数据的分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为90，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%。试求某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少？,解记A为事件“产品合格”B为事件“机器调整良好”。则由题意知,由贝叶斯公式，所需求的概率为,5

6、.先验概率：由以往的数据分析得到的概率后验概率：在得到信息（即生产出的第一件产品是合格品）之后再重新加以修正的概率。,对两独立事件A、B，有对于有限个独立事件，有,6.事件的独立性定义：如果事件B的发生不影响事件A的概率，即则称事件A对事件B是独立的。,3.2随机变量的分布与数字特征,一、随机变量随机变量&.确定性变量定义：如果某个随机现象的结果可以用一个“变量”X来表示，且具有如下两个特点：取值的随机性。即X取哪个值事先不能肯定。取值的统计规律性。即X取某个值或X在某个区间内取值的概率是确定的。则称此“变量”为随机变量。,3.2随机变量的分布与数字特征,二、离散型随机变量的概率分布离散型随机

7、变量X的特征是:它们可能取的值是有限个或无穷可数个,由概率的定义，分布列具有如下二个性质：,3.2随机变量的分布与数字特征,三、随机变量（连续型）的分布函数,研究随机变量所取的值落在一个区间内的概率。由于，所以我们只需知道和就可以了。,定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数称为X的分布函数。,三、随机变量（连续型）的分布函数,对于任意实数x1，x2(x1x2)，有因此，若已知X的分布函数我们就能知道X落在任一区间(x1，x2上的概率。在这个意义上来说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。如果将X看成是数轴上随机点的坐标，则分布函数F(x)在x处的函数值就表示点X落在区间(，x上的概

8、率。,3.2随机变量的分布与数字特征,，即F(x)是右连续的。,，且,三、随机变量（连续型）的分布函数,分布函数的基本性质：F(x)是一个不减函数,3.2随机变量的分布与数字特征,第三章可靠性的数学基础,3.2随机变量的分布与数字特征,定义：如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负的函数f(x)，使对于任意实数x有则称X为连续型随机变量。函数f(x)称为X的概率密度函数。,四、连续型随机变量的概率密度,第三章可靠性的数学基础,3.2随机变量的分布与数字特征,四、连续型随机变量的概率密度,概率密度函数f(x)具有以下性质：若f(x)在点x处连续，则有。,第三章可靠性的数学基础,3.2随机变

9、量的分布与数字特征,五、随机变量函数的分布,第三章可靠性的数学基础,3.2随机变量的分布与数字特征,六、随机变量的数字特征,1.数学期望=均值=平均数定义：设离散型随机变量X的分布列为(k=1,2,)，则X的数学期望为,连续型随机变量X,从矩的观点来看，数学期望是一阶原点矩。常用符号代表数学期望。,第三章可靠性的数学基础,3.2随机变量的分布与数字特征,六、随机变量的数字特征,2.众数定义：众数是指一个随机变量出现概率最大的值,离散型随机变量X，设其分布列为(k=1,2,)，则X的众数m是相应于最大pk值的xk连续型随机变量X，设其概率密度函数为，则X的众数是使概率密度函数达到极大值的x值,第

10、三章可靠性的数学基础,3.2随机变量的分布与数字特征,六、随机变量的数字特征,定义：中位数是指一个随机变量取值比它大的值的概率与取值比它小的概率正好都相等的值。,3.中位数,第三章可靠性的数学基础,3.2随机变量的分布与数字特征,六、随机变量的数字特征,4.方差方差是描述随机变量X与其数学期望的偏离程度的。定义：设X是一个随机变量，则X的方差为,离散型随机变量,连续型随机变量,从矩的观点看，方差是二阶中心矩，而E(X2)为二阶原点矩。,第三章可靠性的数学基础,3.2随机变量的分布与数字特征,六、随机变量的数字特征,5.标准差在应用上引入了与随机变量X具有相同量纲的量，称为标准差或均方差，记为,

11、6.变异系数随机变量X的变异系数是一个无量纲量，定义为其标准差与数学期望绝对值之比。用以表示相对分散程度。,第三章可靠性的数学基础,3.2随机变量的分布与数字特征,六、随机变量的数字特征,7.偏态系数,定义：偏态系数描述随机变量x的概率密度函数的对称程度，是对分布偏斜方向及程度的测定。即,(1)若X0，则X的概率密度函数对称于X，即其概率密度函数无偏。(2)若X0，则为正偏。(3)若X0，则为负偏。,从矩的观点看，偏态系数是三阶中心矩。,第三章可靠性的数学基础,3.2随机变量的分布与数字特征,六、随机变量的数字特征,8.峰度系数EX,定义：峰态系数描述随机变量X的概率密度函数上凸（高峰）的状态

12、，即,(1)若EX0，则为正态曲线(2)若EX0，则分布密度曲线上凸较尖峭（高峰曲线）(3)若EXo，则曲线较平坦（低峰曲线）,从矩的观点看，峰态系数是四阶中心矩。,第三章可靠性的数学基础,3.2随机变量的分布与数字特征,六、随机变量的数字特征,9.随机变量间的协方差Cov(Xi,Xj),定义：随机变量Xi,Xj的协方差可定义为,协方差的基本性质,第三章可靠性的数学基础,3.2随机变量的分布与数字特征,六、随机变量的数字特征,10.随机变量间的相关系数XiXj,定义：随机变量Xi,Xj的相关系数可定义为,表征随机变量Xi,Xj间存在的线性关联程度。,，表明随机变量Xi与Xj不相关。若随机变量X

13、i与Xj服从正态分布，则两随机变量相互独立。,例6：测得5个元件的使用寿命分别为12年、7.5年、13年、9.5年、8.5年，试求它们寿命的均值和标准差；若已知其寿命分布密度函数为f(t)=0.1e-0.1t，其中t为时间，t0，求其寿命的均值和标准差。,解：已知5个元件的寿命，可按离散型随机变量公式计算,平均寿命：,寿命方差：,寿命标准差：,1.随机变量线性函数的均值与方差,Y的均值Y的方差,若Xi(i=1,2,n)彼此不相关，则,第三章可靠性的数学基础,3.2随机变量函数概率分布与数字特征,七、随机变量函数的数字特征,第三章可靠性的数学基础,3.2随机变量的分布与数字特征,七、随机变量函数

14、的数字特征,2.随机变量非线性函数的均值与方差_线性化法则,Y的均值:方差,若Xi(i=1,2,n)彼此不相关，则,第三章可靠性的数学基础,3.2随机变量的分布与数字特征,七、随机变量函数的数字特征,3.随机变量线性函数的相关系数,随机变量线性变换的相关系数的绝对值不变,线性函数,相关系数,第三章可靠性的数学基础,3.2随机变量的分布与数字特征,七、随机变量函数的数字特征,3.随机变量线性函数的相关系数,相关系数,第三章可靠性的数学基础,3.3常用的概率分布,一、二项分布在一次试验中只能出现两种结果之一的情况，它是一种离散型分布。,设试验只能出现成功和失败两种结果：失败X概率为p成功1X概率为

15、,二项分布的数学期望和方差为,例7：在一台设备里有4台油泵，已知每台失效概率为0.1，问：(1)如4台油泵全部正常工作，其概率是多少？(2)失效油泵不超过2台的概率,解：设X为工作失效的油泵数，X服从二项分布，X发生r次的概率为,(1)4台油泵全部正常的概率是：,(2)失效油泵不超过2台的概率包括全部正常、失效1台和2台共3种情况,第三章可靠性的数学基础,3.3常用的概率分布,二、泊松分布在二项分布中，当p很小，n很大，而为常数时，则该二项分布接近一个极限，这个极限就称为泊松分布。它是一种离散型分布。,例8：某种零件的失效率的平均值为=0.010/1000h。现只有两个备件，且半年内不能再进备

16、件，实际工作需保证设备运转50000h，问这种情况设备能够正常工作的概率为多大？,解：在50000h内的平均失效零件为：,允许2个零件失效的系统可靠度为：,例9：今有25个零件进行可靠性试验，已知在给定的试验时间内每个零件的失效概率为0.02，试分别用二项分布和泊松分布求25次试验中恰有两个零件失效的概率。,第三章可靠性的数学基础,3.3常用的概率分布,三、均匀分布在有限区间a，b内取值的均匀分布随机变量X，其概率密度函数及几何图形(图1-9)可表为,数学期望方差,分布函数,图1-9,第三章可靠性的数学基础,3.3常用的概率分布,四、正态分布_一种连续型分布,1.一般特征概率密度函数分布函数,

17、数学期望方差,第三章可靠性的数学基础,3.3常用的概率分布,四、正态分布_一种连续型分布,1.一般特征,正态分布具有如下特征：,曲线关于对称。在均值处有最大值，其值为。标准差越小，曲线的峰值越高，因而X落在附近的概率越大。,第三章可靠性的数学基础,3.3常用的概率分布,四、正态分布_一种连续型分布,2.标准正态分布,的正态分布称为标准正态分布,概率密度函数分布函数,第三章可靠性的数学基础,3.3常用的概率分布,四、正态分布_一种连续型分布,2.标准正态分布,非标准正态分布,标准正态分布,设，则,分布函数,例10：已知某轴在精加工后，其直径尺寸呈正态分布，均值=14.90mm，标准差=0.05m

18、m。规定直径尺寸在(14.900.1)mm内时就为合格品，求合格品的概率。,解：先将正态分布标准化,合格品的概率为:,查正态分布表得失效概率F(Z)=0.5存活率R(x=600)=1-F(Z)=0.5试件失效数n=100*0.5=50(件),例11:有100个某种材料的试件进行抗拉强度试验，现测得试件材料的强度均值=600MPa，标准差=50MPa。求：(1)试件强度=600MPa时的存活率、失效概率和失效试件数；(2)强度落在(550450)MPa区间内的失效概率和失效试件数；(3)失效概率为0.05(存活率为0.95)时材料的强度值。,解：(1),(2)失效概率,失效件数n=100*0.0

19、2142(件),(3)失效概率F(Z)=0.05，存活率1-F(Z)=0.95,查正态分布表得Z=-1.64，由式,因此材料强度值为518MPa。,第三章可靠性的数学基础,3.3常用的概率分布,五、对数正态分布,定义：连续型随机变量X的自然对数呈正态分布，lnXN(，)，则称X服从对数正态分布。,概率密度函数分布函数,式中：为的均值；为的标准差。,第三章可靠性的数学基础,3.3常用的概率分布,五、对数正态分布,数学期望方差,非标准正态分布,标准正态分布,设,例13：某产品的寿命服从=5,=1的对数正态分布，求t=150h时的可靠度。,解：寿命为T，则lnT服从正态分布N(5,1)。当t=150

20、h时，归一化随机变量Z为：,查标准正态分布表得累积失效概率：,可靠度为：,例14：一批弹簧钢丝的疲劳寿命T服从对数正态分布，参数。经受106次应力循环后即更换。试求：（1）更换前的弹簧的失效率和可靠度；（2）当要求弹簧具有0.99的可靠度，求更换前的应力循环次数。,第三章可靠性的数学基础,3.3常用的概率分布,六、指数分布指数分布在质量可靠性工程中常用来描述产品在正常运转期间的寿命，因此习惯上取时间T为随机变量，且T0。,数学期望方差,概率密度函数分布函数,数学期望方差,例15：某仪器的寿命T服从指数分布，其平均无故障连续工作时间MTBF为25h，试求其失效率为多少？若要求可靠性为90%，问应

21、如何选择连续工作时间？,解：失效率为：,即为了有90%的把握不出故障，该仪器连续工作时间不应超过2.63h。,概率密度函数分布函数,式中形状参数；尺度参数；位置参数。,h,第三章可靠性的数学基础,3.3常用的概率分布,七、威布尔分布威布尔分布主要用于工程中的寿命问题。,可靠度函数:失效函数:,第三章可靠性的数学基础,第三章可靠性的数学基础,3.3常用的概率分布,七、威布尔分布,2.威布尔分布的参数,(1)形状参数决定威布尔分布密度函数曲线的形状,当时，威布尔分布的失效概率为:,位置参数又称起始参数,它表示产品在时间之前具有100%的存活率,即失效是从之后开始的。由此可见,威布尔分布存在最小安全寿命,这与机械零件的强度、寿命等概念吻合。,(2)位置参数反映密度函数曲线起始点的位置在横坐标轴上的变化，但曲线形状不改变